imported>Biggerj1 am 7. November 2021 um 20:22 Uhr

2021-11-07T20:22:26Z

Neue Seite

{{Belege}}
Der '''Auswahlsatz einer Stichprobe''', auch '''Auswahl-, Inklusions-, Ziehungs-''' oder '''Einschlusswahrscheinlichkeit''', selten '''Stichprobengewichte''' (engl. ''inclusion probability''), gibt an, mit welcher [[Wahrscheinlichkeit]] eine oder mehrere Elemente einer [[Grundgesamtheit]] in eine [[Zufallsstichprobe]] gelangen. Inklusionswahrscheinlichkeiten lassen sich nur für Zufalls[[stichprobe]]n berechnen.

Als Inklusionswahrscheinlichkeit 1. Ordnung <math>\pi_i</math> wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass das i-te Element der Grundgesamtheit in einer Stichprobe vom Umfang <math>n</math> enthalten ist. Analog ist die Inklusionswahrscheinlichkeit 2. Ordnung <math>\pi_{ij}</math> (mit <math>i\neq j</math>) die Wahrscheinlichkeit mit der das i-te und j-te Element in eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> gelangen.

Bei einer uneingeschränkten oder einfachen Zufallstichprobe lassen sich die Inklusionswahrscheinlichkeiten direkt angeben. Bei [[Komplexes Stichprobenverfahren|komplexeren Stichprobenverfahren]] treten [[Designeffekt]]e auf. Hier hat auch nicht jedes Element die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

== Berechnung der Inklusionswahrscheinlichkeiten ==

Die Inklusionswahrscheinlichkeit 1. Ordnung <math>\pi_i</math> lässt bei einer ''uneingeschränkten'' oder ''einfachen'' Zufallstichprobe mittels der [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]] berechnen:

: Die hypergeometrische Verteilung beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei N gegebenen Elementen („Grundgesamtheit des Umfangs N“), von denen M die gewünschte Eigenschaft besitzen, beim Herausgreifen von n Probestücken („Stichprobe des Umfangs n“) genau k Treffer erzielt werden, d. h. die Wahrscheinlichkeit für X = k Erfolge in n Versuchen.

Da es nur ein i-tes Element in der Grundgesamtheit gibt, ist M=1 und entweder zieht man es (k=1) oder nicht (k=0):

: <math>\pi_i = P(X=1) = \frac{{1\choose 1}{N-1 \choose n-1}}{{N \choose n}} = \frac{n}{N}</math>

Demnach gilt:
: <math>\sum_{i=1}^N \pi_i = n</math>

Analog lassen sich die Inklusionswahrscheinlichkeit 2. Ordnung für eine ''uneingeschränkte'' Zufallstichprobe berechnen; hier gilt M=2 und k=2:

: <math>\pi_{ij} = P(X=2) = \frac{{2\choose 2}{N-2 \choose n-2}}{{N \choose n}} = \frac{n}{N}\frac{n-1}{N-1}</math>

=== Beispiel ===

Die Grundgesamtheit besteht aus vier Elementen: {w1 , w2 , w3 , w4 }. Wir betrachten drei Stichproben des Umfangs n = 2, und zwar {w1 , w3 }, {w2 , w4 } und {w3 , w4 }.
Bei einer uneingeschränkten Zufallstichprobe gäbe es insgesamt <math>4!/(2!*2!)=6</math> mögliche Stichproben; d. h. sind nur die drei obigen Stichproben möglich handelt es sich ''nicht'' um eine uneingeschränkte Zufallstichprobe.

Die Wahrscheinlichkeit für jede der Stichproben ist gerade 1/3 und die Inklusionswahrscheinlichkeiten ergeben sich zu

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Inklusionswahrscheinlichkeit || w1 || w2 || w3 || w4
|-
! 1. Ordnung
| 1/3 || 1/3 || 2/3 || 2/3
|-
! 2. Ordnung || w1 || w2 || w3 || w4
|-
! w1
| – || 0 || 1/3 || 0
|-
! w2
| || – || 0 || 1/3
|-
! w3
| || || – || 1/3
|-
! w4
| || || || –
|}

== Designeffekt ==

Der Designeffekt <math>deff</math> ist das Verhältnis der ''Varianz einer Schätzfunktion bei gegebenem Stichprobendesign'' zur ''Varianz der Schätzfunktion bei einfacher Zufallsauswahl (und demselben Stichprobenumfang)''. Er beschreibt die [[Verzerrung (Statistik)|statistische Verzerrung]], die durch ein spezielles Auswahlverfahren einer Stichprobe (Schichtung, Klumpung, Mehrstufige Ziehung) im Vergleich zur reinen [[Zufallsauswahl]] (simple random sample) entstanden ist. Designeffekte treten dadurch auf, dass nicht alle Elemente die gleiche [[Auswahlwahrscheinlichkeit]] besitzen, d. h. die Chance in die Stichprobe zu gelangen. Durch geeignete [[Varianzschätzung]] und [[Mittelwertschätzung]] können die [[Grundgesamtheitsparameter]] dennoch gut geschätzt werden.

== Literatur ==
*Shadish, W. R., Cook, T. D. & Campbell, D. T. (2002). Experimental and quasi-experimental designs for generalized causal inference. Boston: Houghton-Mifflin.
*Rossi, P. H. & Freeman, H. E. (1999). Evaluation: A systematic approach. Thousand Oaks: Sage.
*Döring, N. & Bortz, J. (2016). Forschungsmethoden und Evaluation (5. Aufl.). Heidelberg: Springer.

[[Kategorie:Stichprobentheorie]]

Auswahlsatz - Versionsgeschichte

imported>Biggerj1 am 7. November 2021 um 20:22 Uhr