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Der Ausdruck '''Aussageform''' hat in der [[Logik]] zwei Bedeutungen, denen gemeinsam ist, dass es sich um Ausdrücke handelt, deren Wahrheit oder Falschheit noch offen ist:
* Aussageform im Sinne der Mathematik und [[Prädikatenlogik]]: Ein Ausdruck, in dem mindestens ein Prädikat eine ungebundene [[Variable (Logik)|Variable]] als Argument hat.
* Aussageform in der [[Aussagenlogik]]: Ein Ausdruck, in dem eine [[Aussagenvariable]] vorkommt.

== Beispiele ==
* aus der Mathematik: die Aussageform bzw. das Prädikat A(x): „x + 5 = 10“ geht durch Einsetzen bestimmter Werte in einen Satz über. Für <math>x=5</math> ist der Satz wahr, für <math>x \neq 5</math> ist der Satz falsch.
* aus der Prädikatenlogik:
** das einstellige Prädikat „x lacht“ = „L(x)“ (für x = lachender Peter wahr und für x = weinender Jörg falsch);
** das zweistellige Prädikat „x bewundert y“ = „B(x,y)“;
** das zweistellige Prädikat „x ist ein Schauspieler und y bewundert x“ = „SCH(x) und B(x,y)“.

== Eigenschaften ==
In der Prädikatenlogik erster Stufe muss die Variable eine Gegenstandsvariable ([[Individuenvariable]]) sein. In einem strengen Sinn spricht man nur dann von einer Aussageform, wenn der betreffende Ausdruck mindestens eine [[Freie Variable|freie Gegenstandsvariable]] enthält.

Auf Grund der Unbestimmtheit der freien Variable haben Aussageformen keinen bestimmbaren [[Wahrheitswert]] und sind daher keine [[Aussage (Logik)|Aussage]] (im technischen Sinn).

Die Aussageform kann in zwei Weisen zu einer Aussage umgeformt werden: (a) indem man für die Variablen Konstanten einsetzt oder (b) indem man die freien Variablen durch [[Quantor]]en bindet.

Aussageformen mit einer freien Variablen werden oft so verstanden, dass sie Begriffe und Eigenschaften ausdrücken („x ist ein Mensch“, „x ist rosa“), d. h. Prädikate sind.

Aussageformen mit mehreren freien Variablen werden oft als Relationen aufgefasst, zum Beispiel „x ist größer als y“, „x und y haben ein gemeinsames Kind z“, „x + 1 = y und y + 1 = z“.

Die Beziehung des Begriffs der Aussageform zu dem der [[Logische Formel|logischen Formel]] hängt auf Grund seiner Mehrdeutigkeit von der Definition der logischen Formel ab.

Im Gegensatz zur [[Mathematische Formel|(mathematischen) Formel]] sind bei der Aussageform [[Relation (Mathematik)|Relationen]], logische [[Junktor]]en und die [[Quantor|Quantifikation]] erlaubt.

Im Gegensatz zum [[Typ (Modelltheorie)|Typ]] eines Tupels in einer [[Struktur (erste Stufe)|logischen Struktur]] ist die Aussageform eine rein syntaktische Darstellung, die unabhängig von einem Modell definierbar ist. Formal ist ein Typ eine Aussageform.

In der Prädikatenlogik erster Stufe können Aussageformen induktiv über ihren Aufbau definiert werden:

* Wenn <math>t_1, \ldots, t_k</math> [[Term]]e sind und <math>R</math> ein <math>k</math>-stelliges [[Signatur (Modelltheorie)|Relationssymbol]], dann gilt
** <math>t_1 = t_2</math> ist eine (atomare) Aussageform,
** <math>R(t_1, \ldots, t_k)</math> ist eine (atomare) Aussageform
: mit allen [[Variable (Logik)|Variablen]] der Terme als freie Variablen in ihr,
* wenn <math>\varphi, \varphi_1, \varphi_2</math> Aussageformen sind, dann gilt
** <math>\neg \varphi</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** <math>\varphi_1 \wedge \varphi_2</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** <math>\varphi_1 \vee \varphi_2</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform;
** <math>\varphi_1 \rightarrow \varphi_2</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** <math>\varphi_1 \leftrightarrow \varphi_2</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform;
: mit allen freien Variablen der <math>\varphi_i</math> als freie Variablen,
* wenn <math>x</math> eine freie Variable in einer Aussageform <math>\varphi</math> ist, dann gilt
** <math>\exists x \varphi</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform,
** <math>\forall x \varphi</math> ist eine (zusammengesetzte) Aussageform
: mit allen freien Variablen von <math>\varphi</math> außer <math>x</math> als freie Variablen.

== Siehe auch ==
* [[Aussageschema]]
* [[Typ (Modelltheorie)]]
* [[Signatur (Modelltheorie)]]

== Literatur ==
* ''Duden – Basiswissen Schule'', Mathematik Abitur. 2003, S. 11
* Hilbert, Ackermann: ''Grundzüge der mathematischen Logik''. 6. Auflage. 1972, S. 9
* Menne, Logik, 6. Aufl. (2001), S. 59
* ''Aussageform'' und ''Aussagenschema''. In: Regenbogen, Meyer: ''Wörterbuch der philosophischen Begriffe''. 2005.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution}}
* {{MathWorld|id = SententialFormula|title = Sentential Formula|author = Eric Weisstein}}

[[Kategorie:Aussagenlogik]]
[[Kategorie:Prädikatenlogik]]

Aussageform - Versionsgeschichte

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