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2024-06-09T10:19:07Z

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Eine '''ausgewogene Menge''' bezeichnet in der [[Funktionalanalysis]] eine Teilmenge eines [[Vektorraum]]es, die sich dadurch auszeichnet, dass zu jedem Element der Menge auch das negative dieses Elementes in der Menge enthalten ist und die gesamte Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Elementen. Bei vielen Autoren finden sich auch die Bezeichnungen '''kreisförmig''' (engl. circled), '''scheibenförmig''' oder '''balanciert''' (engl. balanced).

Verwendung finden ausgewogene Mengen zum Beispiel bei der Definition von [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räumen]], wo Ausgewogenheit eine Eigenschaft der definierenden [[Nullumgebungsbasis]] ist.

== Definition ==
Gegeben sei ein reeller oder komplexer Vektorraum <math> V </math>. Eine Menge <math> T \subset V </math> heißt eine ausgewogene Menge, wenn für alle Skalare <math> r </math> mit <math> |r | \leq 1 </math> und alle <math>x \in T </math> immer auch <math> r x \in T </math> ist.
Für alle <math>x \in T </math> liegt die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] von <math>-x</math> nach <math>x</math> also in <math>T</math>.

== Eigenschaften ==

Ist <math>T</math> ausgewogen und nicht leer, so muss <math>T</math> den [[Nullvektor]] enthalten, denn ist <math>x</math> in <math>T</math>, so ist <math>0 = 0\cdot x \in T</math>.

In einem [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] enthält jede [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung. Ist nämlich <math>U</math> eine Nullumgebung, so gibt es wegen der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] der [[Skalarmultiplikation]] ein <math>\varepsilon > 0</math> und eine Nullumgebung <math>V</math>, so dass <math>r x \in U</math> für alle <math>|r| < \varepsilon</math> und alle <math>x</math> in <math>V</math>. Dann ist <math>\textstyle \bigcup_{|r| < \varepsilon} r V</math> eine in <math>U</math> enthaltene ausgewogene Nullumgebung.

In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine [[Nullumgebungsbasis]] aus ausgewogenen Mengen.
Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System <math>\mathcal U</math> von [[Absorbierende Menge|absorbierenden]] und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften
* Für alle <math>U\in {\mathcal U}, r>0</math> gilt <math>rU\in{\mathcal U}</math>,
* <math>{\mathcal U}</math> enthält mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt,
* Für jedes <math>U\in {\mathcal U}</math> gibt es ein <math>V\in {\mathcal U}</math> mit <math>V+V\subset U</math>,
* <math>\bigcap{\mathcal U} = \{0\}</math>,
so wird der Vektorraum mit <math>{\mathcal U}</math> als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum. Die Ausgewogenheit wird benötigt, um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen.

Ausgewogene [[konvexe Menge]]n nennt man auch [[Absolutkonvexe Menge|absolutkonvex]]. Sie spielen in der Theorie der [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räume]] eine wichtige Rolle.

== Weblinks ==
*{{EoM| Autor = V.I. Sobolev| Titel = Balanced Set| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Balanced_set| id = }}
*{{MathWorld| id = BalancedSet| title = Balanced Set| author = }}

== Literatur ==
* K. Floret, J. Wloka: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'', Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
* R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Ausgewogene Menge - Versionsgeschichte

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