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2026-02-08T00:28:16Z

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[[Datei:TorricellisLaw.svg|mini|Grafische Darstellung von Torricellis Theorem]]
'''Ausflussgeschwindigkeit''' nennt man die Geschwindigkeit, mit der ein flüssiger oder [[Gas|gasförmiger]] Körper von sehr niedriger [[Viskosität]] (zum Beispiel Wasser) aus einer Öffnung des ihn enthaltenden Gefäßes ausströmt. Da während des Ausströmens eines bestimmten Flüssigkeitsquantums stets eine gleich große Flüssigkeitsmenge von der Oberfläche bis zum Niveau der Öffnung herabsinken muss, so ist die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit, die ein Körper erlangen würde, wenn er vom [[Flüssigkeitsspiegel]] bis zur Ausflussöffnung herabfiele ([[Evangelista Torricelli|Torricellis]] Theorem, siehe auch [[Bernoulli-Gleichung]]).

Bezeichnet man mit ''v'' die Ausflussgeschwindigkeit, mit ''h'' die vertikale Tiefe der Öffnung unter der Flüssigkeitsoberfläche ([[Druck (Physik)|Druckhöhe]]) und mit ''g'' die [[Schwerebeschleunigung]] (''g'' = 9,81 ms<sup>−2</sup>), so ist
<math>v =\sqrt{2gh}</math>.

Sie hängt demnach nur von der Druckhöhe, nicht aber von der Dichte der Flüssigkeit ab, so dass z. B. bei gleicher Druckhöhe Wasser und [[Quecksilber]] gleich schnell ausfließen.

Da der Druck in einer Flüssigkeit nach allen Richtungen hin gleich stark wirkt, so ist es für die Ausflussgeschwindigkeit gleichgültig, ob sich die Öffnung im Boden oder in einer Seitenwand des Gefäßes befindet, ob der ausfließende Strahl abwärts, seitwärts oder aufwärts ([[Springbrunnen]]) gerichtet ist.

Wäre der ausfließende Strahl [[Zylinder (Geometrie)|zylindrisch]], so könnte man das pro Zeitspanne ausgeflossene Flüssigkeitsvolumen leicht berechnen, indem man die Ausflussgeschwindigkeit mit der Fläche der Öffnung multipliziert. Der Strahl ist im Bereich der Ausflussöffnung zylindrisch, wenn die Ausflussöffnung zylindrisch ist. Jedoch gilt die [[Bernoulli-Gleichung]] nur in einer [[Stationäre Strömung|stationären Strömung]] eines [[reibungsfrei]]en, [[Inkompressibles Fluid|inkompressiblen Fluids]]. Daher ist das Ausflussvolumen für reale Flüssigkeiten mit einem Korrekturfaktor zu berechnen. In einiger Entfernung von der Ausflussöffnung ist der Strahl nicht mehr zylindrisch, sondern er zieht sich zusammen, so dass sein [[Querschnittsfläche|Querschnitt]] in geringer Entfernung von der Öffnung nur noch etwa 61 Prozent von demjenigen der Öffnung beträgt. Um für reale Flüssigkeiten die Ausflussmenge zu erhalten, muss man daher die oben berechnete "theoretische Ausflussmenge" noch mit 0,6 multiplizieren. Diese Zusammenziehung des Strahls ({{laS|contractio venae}}) rührt hauptsächlich davon her, dass die Flüssigkeitsteilchen im Innern des Gefäßes von allen Seiten her konvergierend zur Öffnung strömen und daher an den Rändern der Abflussöffnung mit einer seitlich gerichteten Geschwindigkeit ankommen.

Alles Bisherige gilt nur für Öffnungen in dünner Gefäßwand. Durch kurze zylindrische oder nach außen [[konisch]] erweiterte Ansatzröhren wird, wenn die Flüssigkeit an den Wänden der Röhre [[Adhäsion|adhäriert]] und diese ganz ausfüllt, die Ausflussmenge vermehrt, die Ausflussgeschwindigkeit dagegen vermindert – auf etwa die Hälfte. Öffnungen in dicker Wand wirken wie Ansatzröhren.

Für die Ausflussgeschwindigkeit idealer Gase gilt ebenfalls das Torricellische Gesetz, wenn man unter der Druckhöhe ''h'' die Höhe einer Gassäule von der [[Dichte]] des ausströmenden Gases versteht. Bezeichnet man mit ''h' '' den [[Manometrische Saughöhe|manometrisch als Höhe]] einer [[Torr|Quecksilbersäule]] gemessenen [[Überdruck]] des eingeschlossenen Gases, mit ''s' '' das spezifische Gewicht des Quecksilbers, mit ''s'' dasjenige des Gases (beide auf Wasser als Einheit bezogen), so verhält sich die Druckhöhe ''h'', die in Rechnung zu bringen ist, zu der Quecksilbersäule ''h' '' wie ''s' '' zu ''s''; es ist also

:<math>h = \frac{h's'}{s}</math>

und

:<math>v = \sqrt{\frac{2gh's'}{s}}</math>

woraus sich das von [[Thomas Graham (Chemiker)|Thomas Graham]] aufgestellte Gesetz ergibt, dass die Ausflussgeschwindigkeiten verschiedener Gase bei gleichem Druck den [[Quadratwurzel]]n aus ihren [[Spezifisches Gewicht|spezifischen Gewichten]] [[Antiproportionalität|umgekehrt proportional]] sind. Da z. B. die Dichte von [[Wasserstoff]]gas nur 1/16 der Dichte von [[Sauerstoff]]gas beträgt, strömt jenes unter gleichem Druck viermal so schnell aus wie dieses.

[[Robert Wilhelm Bunsen]] hat hieraus eine Methode zur Bestimmung der [[Spezifisches Gewicht|spezifischen Gewichte]] der Gase abgeleitet.

== Quasistationäre Betrachtung des Ausflussgesetzes von Torricelli ==
Das Ausflussgesetz nach Torricelli erhält man aus der [[Bernoulli-Gleichung|Bernoullischen Energiegleichung]]. Die vereinfachte Beschreibung der Ausflussgeschwindigkeit <math>v_2</math> in Abhängigkeit von der Füllhöhe <math>h</math> unter der Betrachtung, dass der Ausflussdurchmesser viel kleiner ist als der Behälterdurchmesser, lässt sich wie folgt angeben:

:<math>v_2 = \sqrt{2gh}\qquad\qquad(1)</math>

Dabei ist <math>g</math> die [[Schwerebeschleunigung]] (<math>g = 9{,}81\,\text{m}/ \text{s}^2</math>). Nach der [[Kontinuitätsgleichung]] der [[Fluiddynamik|Strömungsdynamik]] von [[Inkompressibles Fluid|inkompressiblen]] [[Fluid]]en ist der [[Volumenstrom]] <math>\dot{V}</math> konstant. Demnach gilt die folgende Formel:

:<math>\dot{V}=v_1 A_1 = v_2 A_2 \quad \rightarrow \quad \frac{v_1}{v_2} = \frac{A_2}{A_1} = \text{const.}\qquad\qquad(2)</math>

Wobei <math>v_1</math> die Sinkgeschwindigkeit (also die negative Geschwindigkeit) des Wasserpegels <math>h</math> ist. Demnach lässt sich die Formel mit (2) umformulieren zu:

:<math>v_1 = \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2gh}\qquad\qquad(3)</math>

Da nun <math>v_1</math> also die negative Geschwindigkeit der Füllhöhe ist, lässt sich dies mit der ersten Ableitung nach der Zeit darstellen. Dadurch erhalten wir eine nichtlineare [[Differentialgleichung]] 1. Ordnung, welche nun die Füllhöhe des Behälters über die Zeit beschreibt. Die Differentialgleichung lässt sich wie folgt angeben:

:<math>\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=c \sqrt{h} \quad \text{mit} \quad c = - \frac{A_2}{A_1}\sqrt{2g}\qquad\qquad(4)</math>

Dies ist eine [[separierbare Differentialgleichung]], weshalb sich eine geschlossene Lösung angeben lässt:

:<math>\int \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h} } =c \int \mathrm{d}t + C_1 \quad \rightarrow \quad h(t) = \frac{1}{4}\left(c t + C_1 \right)^2 \quad \text{mit} \quad C_1 \in \mathbb{R}\qquad\qquad(5)</math>

Hierbei ist <math>C_1</math> in erster Linie eine beliebige Konstante, welche jedoch durch das Lösen des [[Anfangswertproblem]]s bestimmt werden kann. Sprich zu Zeitpunkt <math>t = 0\,\mathrm{s}</math> hat der Behälter eine Füllhöhe von <math>h(0) = h_0</math>. Durch Einsetzen dieser Anfangswerte in die Lösungsfunktion erhält man als Endergebnis:
[[Datei:Toricelli new.png|mini|400x400px|Beispiel zum Verlauf der Funktion h(t)]]
:<math>h(t) = \left( \sqrt{h_0} - t \frac{A_2}{A_1} \sqrt{\frac{g}{2}} \right)^2 =
\frac{1}{2} \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2 g t^2 - \sqrt{2 g h_0} \frac{A_2}{A_1} t + h_0\qquad\qquad(6)</math>

Graphisch betrachtet ist dies eine nach oben geöffnete [[Parabel (Mathematik)|Parabel]], deren Minimum auf der [[Kartesisches Koordinatensystem|Abszisse]] liegt und somit eine [[Nullstelle|doppelte Nullstelle]] ist. Deshalb können wir nun mittels Nullsetzen der erhaltenen Funktion den Zeitpunkt ermitteln zu dem der Behälter leer ist.
:<math>\frac{1}{2} \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2 g t^2 - \sqrt{2 g h_0} \frac{A_2}{A_1} t + h_0 = 0\qquad\qquad(7)</math>

Mit <math>\tfrac{A_2}{A_1} \cdot t_\text{leer} = s</math> erhalten wir:

:<math>\frac{1}{2} g s^2 - \sqrt{2 g h_0} s + h_0 = 0\qquad\qquad(7)</math>

:<math>s_{1,2} = \frac{\sqrt{2 g h_0} \pm \sqrt{ 2 g h_0 - 2 g h_0} }{g}\qquad\qquad(7.1)</math>

:<math>s_1 = s_2 = \frac{\sqrt{2 g h_0}}{g}\qquad\qquad(7.2)</math>

:<math>s = \sqrt{\frac{2 h_0}{g}}\qquad\qquad(7.3)</math>

:<math>\frac{A_2}{A_1} \cdot t_\text{leer} = \sqrt{ \frac{2h_0}{g} }\qquad\qquad(7.4)</math>

:<math>t_\text{leer} = \frac{A_1}{A_2}\sqrt{ \frac{2h_0}{g} }\qquad\qquad(8)</math>

=== Alternative Herangehensweise ===
Alternativ ergibt sich die Ausflussgeschwindigkeit aus der [[Energieerhaltungssatz|Energieerhaltung]] von potentieller und kinetischer, spezifischer Energie.

:<math>e_{\text{kin}} = \frac{dE_{\text{kin}}}{dV} = \frac{1}{2} \rho v_2^2 = \rho g h = \frac{dE_{\text{pot}}}{dV} = e_{\text{pot}} \quad \rightarrow v_2 = \sqrt{2gh} \qquad (8)</math>

Anhand der Kontinuitätsgleichung (2) ergeben sich wiederum Gleichung (3) und (4). Durch erneutes Ableiten von Gleichung (4) nach der Zeit <math>t</math> bietet sich die Möglichkeit die nichtlineare Geschwindigkeitsdifferentialgleichung in eine lineare Beschleunigungsdifferentialgleichung umzuwandeln.

:<math>\frac{\text{d}^2 h}{\text{d}t^2} = - \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2g} \frac{\text{d}\sqrt{h}}{\text{d}t}
= - \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2g} \frac{\text{d}\sqrt{h}}{\text{d}h} \frac{\text{d}h}{\text{d}t}
= \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2 g \quad \rightarrow \quad
\frac{\text{d}^2 h}{\text{d}t^2} = \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2 g \qquad (9)
</math>

Diese Beschleunigungsdifferentialgleichung (9) lässt sich durch zweifache Integration nach der Zeit t lösen, wodurch sich wiederum Gleichung (6) ergibt. Dabei gelten die Anfangswerte:

:<math>\frac{\text{d}h}{\text{d}t}(t=0) = - \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2 g h_0}, \qquad h(t=0) = h_0 \qquad (10)
</math>

== Ausflussbeiwert ==
Um eine bessere Näherung an den tatsächlich gemessenen Volumenstrom zu erhalten, wird in der Praxis ein Ausflussbeiwert <math>\mu</math> verwendet:

:<math>\dot V_\text{real} = \mu \cdot \dot V_\text{ideal}</math>

Der Ausflussbeiwert berücksichtigt sowohl die Verringerung der Ausflussgeschwindigkeit aufgrund des viskosen Verhaltens der Flüssigkeit ("Geschwindigkeitsbeiwert") als auch die Abnahme des effektiven Ausflussquerschnittes aufgrund der ''vena contracta'' ("Kontraktionsbeiwert"). Für Flüssigkeiten mit geringer Viskosität (wie bspw. Wasser), die aus einem runden Loch in einem Tank ausströmen, liegt der Ausflussbeiwert in der Größenordnung von 0,65. Durch die Verwendung von ausgerundeten Rohrstutzen kann der Ausflussbeiwert auf über 0,9 erhöht werden<ref>{{Internetquelle |autor=tec-science |url=https://www.tec-science.com/de/mechanik/gase-und-fluessigkeiten/ausstromen-ausflussgeschwindigkeit-flussigkeiten-torricellis-theorem/ |titel=Ausströmen von Flüssigkeiten (Torricelli's Theorem) |werk=tec-science |datum=2019-11-21 |abruf=2019-12-08 |sprache=de}}</ref>. Für rechteckige Öffnungen liegt der Ausflussbeiwert je nach Höhe-Breite-Verhältnis in der Größenordnung zwischen 0,44 und 0,67.

Zudem hängt der Ausflussbeiwert davon ab, ob es sich um eine laminare oder [[turbulente Strömung]] handelt. Mit folgender Formel kann dies für Ausströmvorgänge aus einem runden Loch berücksichtigt werden<ref>{{Internetquelle |url=https://www.youtube.com/watch?v=Zt86snHIgGY |titel=Hydraulik 9: Ausfluss- und Entleerungszeiten |abruf=2019-12-08 |sprache=de}}</ref>:

*<math>0{,}59 + \frac{5{,}5}{\sqrt{\text{Re}}}</math> mit der [[Reynolds-Zahl]] <math>\text{Re}</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Ausflussgeschwindigkeit - Versionsgeschichte

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