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2025-01-28T10:40:24Z

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Eine '''Auerbachbasis''' ist eine linear unabhängige [[Teilmenge]] eines
[[normierter Raum|normierten Vektorraum]]s mit speziellen Eigenschaften.

== Definition ==

Sei <math>X</math> ein [[normierter Raum|normierter Vektorraum]]. Eine Menge <math>A \subseteq X </math> heißt Auerbachbasis von X, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Die [[lineare Hülle]] der Menge <math>A</math> liegt [[Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>X</math>.
* Für jedes <math>a\in A</math> gilt <math> \|a\| = \inf\{ \|a - b\|: b \in [ A \setminus \{a\}] \}</math>, wobei <math>[B]</math> der Abschluss der linearen Hülle der Menge <math>B</math> sein soll.
* Die Menge <math> A </math> ist [[linear unabhängig]]. (Diese Bedingung folgt aus der vorigen; es muss sogar für alle <math>x\in A</math> die Beziehung <math>x\notin [A \setminus\{x\}]</math> gelten.)

Eine Auerbachbasis <math>A</math> heißt ''normierte'' Auerbachbasis, wenn alle Vektoren der Menge <math>A</math> die [[Norm (Mathematik)|Norm]] 1 haben.

== Motivation und Geschichte ==

In jedem endlichdimensionalen [[Hilbertraum]] gilt die Gleichung
:<math>\|x\| = \inf\{ \|x - y\|: y \in [ B ]\}</math>
genau dann, wenn der Vektor <math>x</math> auf den durch <math>B</math> erzeugten Teilraum normal steht. In diesem Sinn ist
der Begriff der normierten Auerbachbasis eine Verallgemeinerung des Begriffs der [[Orthonormalbasis]].

Dieser Begriff wurde in der Dissertation von [[Herman Auerbach]] definiert. Die Dissertation selbst, die im Jahr 1929 geschrieben wurde, gilt als verschollen. Sie wird aber in einer Monographie von [[Stefan Banach]] aus dem Jahr 1932 erwähnt.

== Äquivalente Definitionen ==

In einen [[Banachraum]] ''X'' ist eine Menge ''A'' von Vektoren
genau dann eine normierte Auerbachbasis, wenn die folgenden Bedingungen gelten:
# <math>[A] = X</math>.
# Für jedes <math>a\in A</math> gilt <math> a \notin [ A \setminus \{a\}]</math>
# Für jedes <math>a\in A</math> gilt die Normierungsbedingung <math> \|a\| = 1</math>
# Es gibt eine Menge <math>\{f_a: a \in A\} </math> von stetigen linearen Funktionalen auf <math>X</math> (also eine Teilmenge des [[Dualraum|topologischen Dualraums]]) mit den Eigenschaften
#* <math>f_a(b) = \delta_{ab}</math> für alle <math> a,b\in A</math>. Dabei ist <math>\delta_{a b}</math> das [[Kronecker-Delta]].
#*<math> \|f_a\| = 1</math> für alle <math>a\in A</math>.

Zum Beweis verwendet man den [[Satz von Hahn-Banach]].

Für Vektorräume mit endlicher Dimension bedeuten die Bedingungen 1+2 einfach, dass ''A'' eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] ist. In endlichdimensionalen normierten Vektorräumen sagt das [[Lemma von Auerbach]], dass es immer eine Auerbachbasis gibt.

== Literatur ==
* Herman Auerbach: ''O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych'' (Über Flächen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern), Dissertation an der Universität Lwów (1929; auf Polnisch).
* [[Stefan Banach]]: ''Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne'', herausgegeben von M. Garasiński, Warschau 1932.
* Bartoszyński et al.: ''On bases in Banach spaces''. Studia Math. 170 (2005), no. 2, 147--171.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg/New York 2005, ISBN 3-540-21381-3

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Auerbachbasis - Versionsgeschichte

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