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Mit '''Atkinson-Maß''' (nach [[Anthony Atkinson]] [1944–2017]) werden eine Menge von [[Ungleichverteilungsmaß]]en bezeichnet, mit denen beispielsweise die [[Einkommensverteilung|Einkommens-]] oder [[Vermögensverteilung|Vermögensungleichheit]] in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

== Ursprung/Geschichte ==
Der von [[Hugh Dalton]] eingeführte [[Dalton-Index]] <math>D</math> ist nicht [[Invariante (Mathematik)|invariant]] gegenüber positiven linearen [[Transformation (Mathematik)|Transformationen]] der persönlichen Einkommens[[Ökonomische Wohlfahrt|wohlfahrts]][[Wohlfahrtsfunktion|funktionen]].

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

== Definition ==
Jedem Atkinson-Maß liegt eine [[Konvexe und konkave Funktionen|konkave]] [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]] zugrunde.
Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine [[Arrow-Wohlfahrtsfunktion]] verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter <math>\varepsilon</math> festlegt, wie groß der Wohlfahrts''unterschied'' ''eines'' zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist <math>\varepsilon=0</math> bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

:<math>A=A_\varepsilon=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_n)=
\begin{cases}
1
& \mbox{für}\ \varepsilon=0 \\
1-\frac{1}{\mu}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon}\right)^{1/(1-\varepsilon)}
& \mbox{für}\ \varepsilon >0 \land \varepsilon\neq1\\
1-\frac{1}{\mu}\left(\prod_{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n}
& \mbox{für}\ \varepsilon=1,
\end{cases}
</math>

wobei <math>y_{i}</math> das individuelle Einkommen (''i'' = 1, 2, …, ''N'') und <math>\mu</math> das Durchschnittseinkommen ist.

== Eigenschaften ==
Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

# Symmetrie in den Argumenten: <math>A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)=A_\varepsilon(y_{\sigma(1)},\ldots,y_{\sigma(N)})</math> für alle Permutationen <math>\sigma</math>.
# Der Index liegt zwischen Null und Eins. <math>0\leq A_1\leq 1</math> und <math> 0 \leq A_\varepsilon \leq 1-n^{-\epsilon} < 1</math> für alle <math>\varepsilon\neq 1</math>
# Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: <math>A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = 0</math> gdw. <math>y_i = \mu</math> für alle <math>i</math>.
# Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: <math>A_\varepsilon(\{y_1,\ldots,y_N\},\ldots,\{y_1,\ldots,y_N\})=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)</math>
# Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: <math>A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = A_\varepsilon( ky_1,\ldots,ky_N)</math> für alle <math>k>0</math>
# Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen.<ref>Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. ''Econometrica'', 48 (3), 613-625, {{DOI|10.2307/1913126}}.</ref> Es gilt
<math>
A_\varepsilon(y_{g,i_g}: i_g=1,\ldots,n_g; g=1,\ldots,G) = \sum_{g=1}^G w_g A_\varepsilon( y_{g,1}, \ldots, y_{g,n_g}) + A_\varepsilon(\mu_1, \ldots, \mu_G)
</math>, wobei <math>G</math> die Anzahl der Untergruppen angibt, <math>\mu_g</math> das Durchschnittseinkommen der Untergruppe <math>g</math>, und die Gewichte <math>w_g=f(\mu_g,\mu,N,N_g)</math> für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

== Anwendung ==
Für den sich aus der „verallgemeinerten [[Entropie (Sozialwissenschaften)|Entropie]]-Klasse“<ref>„Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: ''On Economic Inequality.'' 1973/1997.</ref> mit <math>\varepsilon = 1</math> ergebenden Theil-Index <math>I_{1}</math> gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß<ref>Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: ''Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities'' (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.</ref> umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter [[Theil-Index]]“ auftrat.<ref>Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: {{Webarchiv|text=''The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties'' |url=http://www.uib.es/congres/ecopub/ecineq/papers/100Dominguez-Nunez.pdf |wayback=20090325075204 |format=PDF; 330 kB }}</ref> Das Maß errechnet sich aus der Funktion <math>1 - e^{- T}</math>.

== Siehe auch ==
*[[Champernowne-Index]]

== Literatur ==
'''Originalaufsatz:'''
* Anthony B. Atkinson: ''On the Measurement of Inequality.'' In: [[Journal of Economic Theory]]. Bd. 2 (3), 1970. S. 244–263.
'''Zur Vertiefung:'''
* Yoram Amiel: ''Thinking about inequality.'' Cambridge 1999.
* Frank Alan Cowell: ''Measurement of Inequality.'' In: Anthony B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): ''Handbook of Income Distribution.'' Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
* Amartya Sen, James Eric Foster: ''On Economic Inequality.'' Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. ([http://www.umverteilung.de/oei/#Atkinson Python script] mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

== Weblinks ==
* Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/[[Indira Gandhi National Open University]]): {{Webarchiv | url=http://www.egyankosh.ac.in/bitstream/123456789/25847/1/Unit-11.pdf | wayback=20120131173355 |format=PDF; 3,34 MB | text=''Unit 11: Measures of Inequality''}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Wirtschafts- und Sozialstatistische Kennzahl]]
[[Kategorie:Volkswirtschaftliche Kennzahl]]

Atkinson-Maß - Versionsgeschichte

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