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'''Asymmetrisch''' heißt eine zweistellige [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>R</math> auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]], wenn es ''kein'' [[Geordnetes Paar|Paar]] <math>(x,y)</math> gibt, für das mit <math>xRy</math> auch die Umkehrung <math>yRx</math> gilt.

Die Asymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine (irreflexive) [[Striktordnung]].

== Definition ==
Ist <math>M</math> eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] und <math>R \subseteq M \times M</math> eine zweistellige [[Relation (Mathematik)|Relation]] auf <math>M</math>, dann heißt <math>R</math> ''asymmetrisch'', wenn
: <math>\forall x, y \in M: x R y \Rightarrow \neg (y R x)</math> gilt.

== Nicht symmetrische Relation ==
Ist <math>R</math> eine Relation, die nicht [[symmetrische Relation|symmetrisch]] ist, dann gibt es ''wenigstens'' ein Paar, für das die [[Umkehrrelation]] <math>R^{-1}</math> nicht zutrifft; so gilt
: <math>\exists x, y \in M: x R y \land \neg (y R x)</math>.

Eine nicht leere asymmetrische Relation ist also niemals symmetrisch. Eine asymmetrische Relation ist zudem stets [[Reflexive Relation|irreflexiv]]. Von der Asymmetrie zu unterscheiden ist damit der Begriff der [[Antisymmetrische Relation|Antisymmetrie]], die auch Reflexivität erlaubt. Eine asymmetrische Relation ist somit ein Sonderfall einer antisymmetrischen Relation.

Es gibt Relationen, die weder symmetrisch noch antisymmetrisch und erst recht nicht asymmetrisch sind. Ein Beispiel liefert die Definition <math>x R y : \Leftrightarrow x > 2</math> auf den natürlichen Zahlen.

== Beispiele ==
Asymmetrisch sind
* die Relation <math><</math> „ist (echt) kleiner als“ auf den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]], die darüber hinaus eine [[strenge Totalordnung]] ist. Gleiches gilt für die Relation <math>> \ </math> „ist (echt) größer als“.
* die Relation <math>\subset</math> „ist echte [[Teilmenge]] von“ und ebenfalls die Relation <math>\supset</math> „ist echte Obermenge von“ als Beziehungen zwischen Mengen. Sie sind in einem System von Mengen oder von Teilmengen einer gegebenen Menge darüber hinaus eine [[strenge Halbordnung]].

== Eigenschaften ==
* Bis auf die leere Relation gibt es keine gleichzeitig symmetrische und asymmetrische Relation.
* Jede asymmetrische Relation ist auch eine [[antisymmetrische Relation]].<ref>siehe hierzu auch: [[Ingmar Lehmann]], Wolfgang Schulz: ''Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung.'' 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3, S. 64 f.</ref>
* Der Schnitt einer asymmetrischen Relation <math>R</math> und ihrer [[Relation (Mathematik)#Umkehrrelation|konversen Relation]] <math>R^{-1}</math> ist stets leer, sie sind disjunkt:
*: <math>R \cap R^{-1} = \emptyset</math>
* Jede Teilmenge einer asymmetrischen Relation ist wieder asymmetrisch.

== Anmerkungen ==
<references/>

[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Asymmetrische Relation - Versionsgeschichte

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