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2024-12-09T17:56:59Z

Tippfehler

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[[Datei:Astroid2.gif|mini|Animation der Astroide]]
[[Datei:Astroid1.gif|mini|Animation Astroide als [[Einhüllende|Hüllkurve]]]]
[[Datei:Astroid created with Elipses with a plus b const.svg|mini|Astroide als Hüllkurve einer Familie von Ellipsen, bei denen a + b = const.]]
Die '''Astroide''' (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], die sich
mit einem Parameter <math>t \in [0,2\pi]</math> durch die Parametergleichungen<ref name="Bronstein-105">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=105}}</ref>

: <math>x = a (\cos t)^3 \ </math>
: <math>y = a (\sin t)^3 \ </math>

oder durch die implizite Gleichung

: <math>x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \, </math><ref name="Bronstein-105" />,  welche äquivalent zu   <math> \quad
(x^2+y^2-a^2)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0</math> ist,

beschreiben lässt. <math>a</math> ist dabei eine feste positive, [[reelle Zahl]]. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius <math>\tfrac{1}{4}a</math> beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius <math>a</math> abrollt. Sie ist also eine spezielle [[Hypozykloide]].

Für ihren Flächeninhalt <math>A</math> gilt<ref name="Bronstein-105" />

: <math>A = \frac{3}{8} \pi a^2</math>.

Die Länge <math>\ell</math> der gesamten Kurve beträgt <math>\ell = 6a</math>.<ref name="Bronstein-105" />
Innerhalb eines Kurvenviertels <math> 0 \le t \le \frac{\pi}{2} </math> gilt für die [[Bogenlänge]]
: <math>s(t) = \frac{3}{2}a\sin^2(t) </math>
und für den [[Krümmungsradius]]
: <math> \rho(t) = \frac{3}{2}a\sin(2t)</math>.

Die Astroide ähnelt auch dem [[Karo (Farbe)|Karo]] auf gewöhnlichen Spielkarten.

== Schwerpunkt ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! colspan="4" class="hintergrundfarbe6"| Schwerpunkte der Astroiden
|-
!
| [[Intervall (Mathematik)|Intervall]]
| <math>x_\mathrm{S}</math>
| <math>y_\mathrm{S}</math>
|-
! style="text-align:left"| Ebenes [[Kurve (Mathematik)|Kurvenstück]]
| 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\tfrac{2}{5}a </math>
| <math>\tfrac{2}{5}a </math>
|-
!
| 0 ≤ t ≤ <math>\pi</math>
| 0
| <math>\tfrac{2}{5}a</math>
|-
! style="text-align:left"| Ebene Figur
| 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
| <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
|-
!
| 0 ≤ t ≤ <math>\pi</math>
| 0
| <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
|-
! style="text-align:left"| [[Drehkörper]]*
| 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>
| <math>\tfrac{21}{128}a</math>
| 0
|}
<small>*Bei Rotation um die X-Achse <math>( z_S = 0 )</math></small>

== Schiefe Astroide ==
Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

: <math>x = a (\cos t)^3 \ </math>
: <math>y = b (\sin t)^3 \ </math>

oder durch die implizite Gleichung

: <math>\left({\frac{x}{a}}\right)^{\frac{2}{3}} + \left({\frac{y}{b}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1</math>

beschreiben lässt. Die [[Evolute]] einer [[Ellipse]] ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

== Siehe auch ==
* [[Orthoptische Kurve#Orthoptische Kurve einer Astroide|orthoptische Kurve einer Astroide]]

== Einzelnachweise ==

<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Astroid}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=Astroid |title=Astroid}}
* [http://www.2dcurves.com/roulette/roulettea.html Astroide] bei 2dcurves.com (englisch)
* [http://www.bama.ua.edu/~tmewes/Java/Astroid/StonerAstroid.shtml Stoner-Wohlfarth Astroiden Applet (Physik).] (englisch)

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Astroide - Versionsgeschichte

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