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2018-12-09T12:10:23Z

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Die '''assoziierten Elemente''' eines [[Ring (Algebra)|Rings]] sind ein Begriff aus der [[Teilbarkeit]]slehre in der [[Mathematik]]. Zwei Elemente <math>a</math> und <math>b</math> heißen assoziiert, wenn sie wechselseitig teilbar sind, wenn also „<math>a</math> teilt <math>b</math>“ und „<math>b</math> teilt <math>a</math>“ gleichzeitig erfüllt sind.

== Definition ==
=== Kommutative Ringe ===
Zwei Elemente <math>a,b</math> eines [[Integritätsring]]es <math>R</math> (nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1) heißen zueinander '''assoziiert''', falls eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] <math>\epsilon</math> mit <math> b = a \cdot \epsilon</math> existiert.<ref>{{Literatur | Autor = Günter Scheja, Uwe Storch | Titel = Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluss der linearen Algebra: Lehrbuch der Algebra, Teil 2 | Jahr = 1988 | Verlag = Teubner Verlag | Ort = | ISBN = 3-519-02212-5 | Seiten = 132 | Online = {{Google Buch | BuchID = UKrivyLPeuMC | Seite = 132 | Hervorhebung="assoziiert" }} }}</ref>
Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich <math>a</math> und <math>b</math> gegenseitig teilen, das heißt <math>a \mid b</math> und <math> b \mid a</math> erfüllt sind. Man schreibt auch <math>a \sim b</math>, oder <math>a~ \hat{=} ~b</math>.

=== Nicht-kommutative Ringe ===
Zwei Elemente <math>a,b</math> eines nicht-kommutativen Rings <math>R</math> mit 1 heißen zueinander '''rechts assoziiert''', falls eine [[Einheit (Mathematik)#Verallgemeinerung: Links- und Rechtseinheiten|Rechtseinheit]] <math>\epsilon</math> mit <math> b = a \cdot \epsilon</math> existiert. Dann ist sowohl <math>b</math> rechtes Vielfaches von <math>a </math>, das heißt <math>a</math> linker Teiler von <math>b</math>, als auch <math>a</math> rechtes Vielfaches von <math>b</math>.

Entsprechend definiert man '''links assoziiert''' mit einer Linkseinheit und linken Vielfachen. Sind zwei Elemente <math>a,b \, </math> sowohl links wie rechts assoziiert, gelten sie als '''zweiseitig assoziiert'''.

Darüber hinaus lassen sich zwei Elemente <math>a,b \in R </math> als '''erweitert assoziiert''' definieren, wenn es 2 Einheiten <math>\delta, \epsilon</math> mit <math> b = \delta \cdot a \cdot \epsilon</math> gibt. Dann stehen <math>a,b</math> zwar nicht notwendigerweise in einer Teilbarkeitsbeziehung, es folgt jedoch aus ''zweiseitig assoziiert'' sowohl ''links assoziiert'' wie ''rechts assoziiert'' und sowohl aus ''links assoziiert'' wie aus ''rechts assoziiert'' noch ''erweitert assoziiert''.

'''Bemerkung:'''

Im nicht-kommutativen Fall muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte) benennen, was das einfache Teilbarkeitssymbol (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht ausdrücken kann.

== Eigenschaften ==
Assoziiertheit ist eine [[Äquivalenzrelation]] (auch die drei Formen einschließlich der erweiterten im nicht-kommutativen Fall). Sie ist mit der Teilerrelation (im nicht-kommutativen Fall in der richtig gewählten Seitigkeit) verträglich, das heißt für seitig assoziierte Elemente <math>a,b</math> sind die Teiler bzw. Vielfachen von <math>a</math> genau die Teiler bzw. Vielfachen von <math>b</math>.

In einem Integritätsring sind zwei Elemente genau dann assoziiert, wenn sie dasselbe [[Hauptidealring|Hauptideal]] erzeugen.

== Beispiele ==
* Im Ring <math>\mathbb Z</math> der ganzen Zahlen sind <math>a, b</math> genau dann assoziiert, wenn <math>a = \pm b</math> gilt. Dies liegt daran, dass in <math>\mathbb Z</math> die Zahlen <math>1</math> und <math>-1</math> die einzigen Einheiten sind.
* In einem [[Körper (Algebra)|Körper]] sind alle von <math>0</math> verschiedenen Elemente zueinander assoziiert.
* Im [[Polynomring]] <math>K[x]</math> über einem Körper <math>K</math> sind zwei Elemente <math>f</math> und <math>g</math> genau dann assoziiert, wenn ein <math>a \in K \setminus\{0\}</math> existiert mit <math>g = a \cdot f</math>.
* In einem [[Faktorieller Ring|faktoriellen Ring]] besitzt außer dem Nullelement jede Nichteinheit eine Zerlegung in [[Irreduzibles Element|irreduzible Elemente]], die bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutig ist.
* Im nicht-kommutativen Ring der [[Hurwitzquaternion]]en ist die Gruppe der 24 Einheiten <math>\left\{\pm 1, \pm \mathrm i , \pm \mathrm j , \pm \mathrm k , \tfrac{1}{2}(\pm 1\pm \mathrm i \pm \mathrm j \pm \mathrm k )\right\}</math> nicht kommutativ. Außer den Hurwitzquaternionen mit [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>2</math> und den rein reellen, die nur zweiseitig Assoziierte haben, haben die übrigen auch einseitig (sowohl ''rechts und nicht links'' wie auch ''links und nicht rechts'') Assoziierte, und ein von ihnen erzeugtes Rechts- bzw. Linksideal ist nicht zweiseitig.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Assoziierte Elemente - Versionsgeschichte

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