imported>Tensorproduct: /* Beispiele */

2025-07-27T13:04:11Z

Beispiele

Neue Seite

'''Assoziative Algebra''' ist ein Begriff aus der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Es handelt sich um eine [[algebraische Struktur]], die den Begriff des [[Vektorraum]]s bzw. des [[Modul (Mathematik)|Moduls]] dahingehend erweitert, dass zusätzlich zur Vektoraddition eine [[Assoziativgesetz|assoziative]] Multiplikation als [[innere Verknüpfung]] definiert wird.

In anderen Worten, eine assoziative Algebra ist eine [[Algebra über einem Körper|<math>K</math>-Algebra]] respektive [[Algebra über einem kommutativen Ring|<math>R</math>-Algebra]], deren Multiplikation zusätzlich assoziativ ist.

== Definition ==
Ein Vektorraum <math>A</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> oder ein Modul <math>A</math> über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> zusammen mit einer [[Bilineare Abbildung|bilinearen Abbildung]] genannt Multiplikation
:<math>\cdot\colon A\times A\longrightarrow A,\quad(a,b)\longmapsto a\cdot b</math>
heißt '''assoziative Algebra''', wenn für alle <math>a,b,c \in A</math> das folgende Assoziativgesetz gilt:
:<math>a\cdot(b\cdot c)=(a \cdot b)\cdot c.</math>

Es handelt sich also um eine spezielle [[Algebra über einem Körper]] oder eine spezielle [[Algebra über einem kommutativen Ring]].

Wenn die Multiplikation zusätzlich [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist, dann spricht man von einer '''kommutativen assoziativen Algebra'''.

=== Erläuterungen ===
Der Vektorraum respektive der Modul <math>A</math>, der eine ''assoziative Algebra'' ist, besitzt nun neben
*der Addition: <math>a+b\in A</math> für <math>a,b\in A</math>,
*der [[Skalarmultiplikation]]: <math>s\cdot a \in A</math> für <math>a\in A</math> und <math>s\in K</math> respektive im Falle des Moduls <math>s\in R</math>,
eine zusätzliche Operation
*die Multiplikation <math>a\cdot b\in A</math> für <math>a,b\in A</math>,
welche dem Assoziativgesetz unterliegt.

Der Raum <math>A</math> zusammen mit der Addition und der Skalarmultiplikation bildet die Vektorraum-Struktur <math>(A,+,\cdot_s)</math>, während <math>A</math> zusammen mit der Addition und der Multiplikation die Ring-Struktur <math>(A,+,\cdot)</math> bildet (wobei hier <math>\cdot_s</math> die Skalarmultiplikation sein soll).

== Beispiele ==
* Die Menge aller [[Polynom]]e mit Koeffizienten aus einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> bilden (mit der üblichen Multiplikation) eine assoziative Algebra über diesem Körper.
* Die [[Endomorphismus|Endomorphismen]] eines Vektorraums <math>V</math> bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra. Hierbei ist die Verknüpfung <math>*</math> nicht kommutativ, sofern die Dimension von <math>V</math> größer als 1 ist.
* Ist <math>V</math> ein unendlichdimensionaler Vektorraum und betrachtet man nur die Endomorphismen mit endlich-dimensionalem Bild, erhält man ein Beispiel, bei dem <math>*</math> kein Einselement hat.
* Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]en auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
* Der Vektorraum aller [[stetig]]en reell- oder [[komplexwertig]]en Funktionen auf einem [[Banachraum]] bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine [[Banach-Algebra]].
* Der [[Matrizenraum]] aller <math>(n \times n)</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bildet zusammen mit der [[Matrizenmultiplikation]] eine assoziative Algebra.
* Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]].
* Die [[Quaternionen]] sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.
* Die [[Weyl-Algebra|Weyl-Algebren]]

== Literatur ==
* [[Serge Lang]]: ''Algebra.'' Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Assoziative Algebra - Versionsgeschichte

imported>Tensorproduct: /* Beispiele */