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2025-07-31T19:39:08Z

Arrhenius-Gleichung in der chemischen Reaktionskinetik: anderer Name

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Die '''Arrhenius-Gleichung''', benannt nach [[Svante Arrhenius]], beschreibt näherungsweise eine quantitative [[Temperatur]]<nowiki />abhängigkeit bei physikalischen und vor allem chemischen Prozessen, bei denen auf [[molekular]]er Ebene eine [[Aktivierungsenergie]] überwunden werden muss. Sie beschreibt eine phänomenologische Beziehung und gilt für sehr viele chemische Reaktionen. Sie ist mit der [[Eyring-Theorie|Eyring-Gleichung]] verwandt, die einen Zusammenhang der mikroskopischen Deutung darstellt.

== Arrhenius-Gleichung in der chemischen Reaktionskinetik ==
[[Datei:NO2 Arrhenius lnk against T^-1.svg|mini|hochkant=1.5|[[Arrheniusgraph]]: Zerfall von [[Stickstoffdioxid|NO2]] nach [[Kinetik (Chemie) #Reaktionen erster Ordnung|Kinetik erster Ordnung]]]]
Die '''Arrhenius-Gleichung''' beschreibt in der [[Kinetik (Chemie) #Reaktionen erster Ordnung|chemischen Kinetik]] für [[Chemische Reaktion|chemische Reaktionen]], die mit einer [[Aktivierungsenergie]] verbunden sind, die quantitative Abhängigkeit der Reaktions[[geschwindigkeitskonstante]]n <math>k</math> von der Temperatur und nur in Sonderfällen auch vom Druck:<ref>Jacobus Henricus van’t Hoff: ''Études de dynamique chimique.'' Frederik Muller & Co., Amsterdam 1884, S. 114–118.</ref><ref>Svante Arrhenius, ''Z. Phys. Chem.'' 1889, ''4'', S. 226–248.</ref><ref>{{Gold Book|Arrhenius equation|A00446|Version=2.3.1}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://www.sfb224.rwth-aachen.de/Kapitel/kap3_3.htm |titel=Grundlagen der ottomotorischen Verbrennung |hrsg=Rwth-Aachen |abruf=31.03.2024}}</ref>

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">k = A \cdot \mathrm{e}^{-\frac{E_\mathrm{A}}{R \cdot T}}</math>

mit
* <math>A</math> präexponentieller oder Frequenz[[Multiplikation|faktor]], auch ''Arrhenius-Faktor'', entspricht nach der [[Stoßtheorie]] dem Produkt aus der Stoßzahl <math>Z</math> und dem Orientierungsfaktor <math>P</math>: <math>A = Z \cdot P</math>
* <math>E_\mathrm{A}</math> Aktivierungsenergie (Einheit: J·mol−1),
* <math>R</math> [[universelle Gaskonstante]] (8,314 J·K−1·mol−1),
* <math>T</math> absolute (thermodynamische) Temperatur (Einheit: [[Kelvin|K]]).

Der [[Arrheniusgraph]] ist eine [[reziproke Darstellung]], bei der die [[logarithmiert]]e Geschwindigkeitskonstante gegen den [[Kehrwert]] der Temperatur aufgetragen wird (''vgl. Abb.''):

:<math>\ln k = \ln A - \frac{E_\mathrm A}R \cdot \frac1T = f \left(\frac1T \right)</math>
Zur Bestimmung von <math>A</math> und <math>E_{\mathrm A}</math> wird <math>k</math> für mehrere Temperaturen <math>T</math> bestimmt. Durch die so erhaltenen Datenpunkte <math>(\ln k, 1/T)</math> legt man eine [[Ausgleichungsrechnung|Ausgleichsgerade]], deren Steigung <math>- E_{\mathrm A}/R</math> und deren Achsenabschnitt <math>\ln A</math> sind.

=== Temperaturabhängigkeit des Frequenzfaktors ===
Die Arrhenius-Gleichung gilt jedoch nicht exakt, weil auch <math>A</math> temperaturabhängig ist und häufig der Gesetzmäßigkeit

::<math>A = u^* \cdot \sqrt{T}</math>

folgt. Somit nimmt auch der präexponentielle Faktor mit steigender Temperatur in geringem Maß ([[Wurzel (Mathematik)|Wurzelfunktion]]) zu. Seine Temperaturabhängigkeit ist jedoch deutlich geringer als die des Exponentialterms. In diesem Fall kann eine modifizierte Arrhenius-Gleichung verwendet werden:<ref>{{Gold Book|modified Arrhenius equation|M03963|Version=2.3.1}}</ref>

:<math>k = B \cdot T^n \cdot \mathrm{e}^{-\frac{E_\mathrm{A}}{R \cdot T}}</math>

Mit dem zur '''Arrhenius-Zahl''' <math>\gamma</math> zusammengefassten [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]]

::<math>\gamma = \frac{E_\mathrm{A}}{R \cdot T}</math>

wird die Arrhenius-Gleichung auch folgendermaßen dargestellt:

:<math>k = B \cdot T^n \cdot \mathrm{e}^{-\gamma}</math>

== Arrhenius-Gleichung bei anderen Prozessen ==
Die Temperaturabhängigkeit der [[Viskosität#Temperaturabhängigkeit|Viskosität von Flüssigkeiten]], der [[Eigenleitungsdichte|Ladungsträgerdichte]] bei [[Eigenleitung]] in Halbleitern sowie der [[Diffusionskoeffizient#In Feststoffen|Diffusionskoeffizienten in Feststoffen]] wird ebenfalls durch eine Arrhenius-Gleichung beschrieben.

== Berechnung der Aktivierungsenergie ==
Durch Messen zweier Geschwindigkeitskonstanten <math>k_1</math>, <math>k_2</math> und zweier Temperaturen <math>T_1, T_2</math> derselben Reaktion kann die Aktivierungsenergie durch das Aufstellen der Arrhenius-Gleichung für die beiden Messungen wie folgt berechnet werden (unter der Annahme, dass A nicht von der Temperatur abhängt):
:<math>
\begin{align}
(1) && k_1 & = A \cdot \mathrm{e}^{\frac{-E_A}{RT_1}} \;, \\
(2) && k_2 & = A \cdot \mathrm{e}^{\frac{-E_A}{RT_2}} \;.
\end{align}
</math>

:<math>\frac{k_2}{k_1} = \frac{\bcancel{A} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-E_A}{R \cdot T_2}}}{\bcancel{A} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-E_A}{R \cdot T_1}}}=\mathrm{e}^{-\frac{E_A}{R \cdot T_2} + \frac{E_A}{R \cdot T_1}}</math>

Ziehen des [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] und Einführung eines Hauptnenners liefert:

:<math>\ln\left ( \frac{k_2}{k_1} \right ) = - \frac{E_A}{R \cdot T_2} + \frac{E_A}{R \cdot T_1} = \frac{E_A}R \cdot \frac{T_2-T_1}{T_1\cdot T_2}\;. </math>

Umstellen nach <math>E_A</math> ergibt schließlich:

:<math>E_A= R \cdot \ln \left ( \frac{k_2}{k_1} \right ) \cdot \frac{T_1 \cdot T_2}{T_2-T_1} \;. </math><ref>Charles E. Mortimer, Ulrich Müller, Chemie - Das Basiswissen der Chemie Seite, 11. Auflage, ISBN 978-3-13-484311-8, Seite 266f</ref>

Eine Temperaturerhöhung führt zur Zunahme der Reaktionsgeschwindigkeit. Eine [[Faustregel]], die sogenannte [[RGT-Regel|Reaktionsgeschwindigkeit-Temperaturregel (RGT-Regel)]], sagt bei einer Temperaturerhöhung von <math>T_2 - T_1 = 10\ \mathrm{K}</math> eine Verdopplung bis Vervierfachung der Reaktionsgeschwindigkeit voraus. Der Faktor, um den sich die Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Temperaturerhöhung von 10 K ändert, wird als Q10-Wert bezeichnet.

Für eine <math>\boldsymbol{n}</math>-fach höhere Reaktionsgeschwindigkeit gilt demnach:

:<math>\boldsymbol n = \frac{k_2}{k_1}</math>

und somit:

:<math>E_A = R \cdot \ln(\boldsymbol{n}) \cdot \frac{T_1 \cdot T_2}{T_2-T_1}\;.</math><ref>[[M. Binnewies]], Allgemeine und Anorganische Chemie, 1. Auflage 2004. ISBN 3-8274-0208-5, S. 299f.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Arrheniusgraph]]
* [[Katalysator]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kinetik (Chemie)]]
[[Kategorie:Svante Arrhenius]]

Arrhenius-Gleichung - Versionsgeschichte

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