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[[Datei:Armand Borel.jpg|mini|Armand Borel (1967)]]

'''Armand Borel''' (* [[21. Mai]] [[1923]] in [[La Chaux-de-Fonds]], [[Schweiz]]; † [[11. August]] [[2003]] in [[Princeton (New Jersey)|Princeton]], [[USA]]) war ein Schweizer [[Mathematiker]].

== Leben ==
Borel, der Neffe von [[Émile Borel]],<ref>Juliette Kennedy: [https://www.ias.edu/ideas/2011/kennedy-continuum-hypothesis ''Can the continuum hypothesis be solved ?''] [[Institute for Advanced Study]], 2011</ref> besuchte die Schule in Genf sowie mehrere Privatschulen. Er studierte ab 1942 an der [[ETH Zürich]] Mathematik und Physik, insbesondere bei den Topologen [[Heinz Hopf]] und [[Eduard Stiefel]], mit dem Diplom bei Stiefel 1947. Das Studium wurde vom Militärdienst unterbrochen. 1947 bis 1949 war er Assistent an der ETH. 1949/50 war er in Paris bei [[Henri Cartan]] und [[Jean Leray]] mit einem [[CNRS]]-Stipendium. Dort lernte er auch die Mitglieder des [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]-Kreises und ihre Schüler kennen ([[Jean Dieudonné]], [[Laurent Schwartz]], [[Roger Godement]], [[Pierre Samuel]], [[Jacques Dixmier]]) und befreundete sich mit vielen davon, insbesondere [[Jean-Pierre Serre]]. Bald darauf wurde er selbst Mitglied von Bourbaki. Leray wurde der Doktorvater von Borel (Dissertation 1952 in Paris: ''Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts'').<ref>{{MathGenealogyProject|76517|Kommentar=abgerufen am 12. März 2025}}</ref> Dazwischen war er 1950 bis 1952 Lehrstuhlvertreter in Genf und hielt Vorlesungen an der ETH Zürich, die zu einem Buch über die Ideen Lerays in der Topologie führten ''(Cohomologie des espaces localement compacts, d’après J. Leray)''. Von Genf und Zürich reiste er häufig nach Paris. 1952 heiratete er Gabrielle («Gaby») Aline Pittet, mit der er zwei Töchter hatte.

1952 bis 1954 war er am [[Institute for Advanced Study]] in [[Princeton (New Jersey)|Princeton]], wo er u. a. mit [[Friedrich Hirzebruch]] zusammenarbeitete. 1954 studierte er an der [[University of Chicago]] bei [[André Weil]], von dem er vor allem algebraische Geometrie und Zahlentheorie lernte, und 1955 bis 1957 arbeitete er als Professor an der ETH Zürich. Von 1957 bis 1993 war er Professor am Institute for Advanced Study in Princeton. Daneben war er 1983–1986 Professor an der ETH und zusammen mit [[Jürgen Moser (Mathematiker)|Jürgen Moser]] 1984 bis 1986 Direktor des dortigen Forschungsinstituts für Mathematik und hatte ausserdem zahlreiche Gastprofessuren, z. B. in Indien am [[Tata Institute of Fundamental Research]] in Bombay (1961, 1983, 1990) und in Hongkong 1999 bis 2001. Er reiste viel und hatte Wohnsitze sowohl in Princeton als auch am [[Genfersee]].

== Werk ==
Er befasste sich anfangs in Zürich und Paris mit der Topologie von [[Lie-Gruppe]]n. Dabei wandte er die [[Spektralsequenz]]en von [[Jean Leray]] auf die Topologie der Liegruppen und ihrer klassifizierenden Räume («classifying spaces») an. Diese Räume klassifizieren [[Faserbündel]] (in der Physik Eichtheorien) mit Lie-Gruppen G als Strukturgruppen. Die [[Kohomologie]]gruppen dieser Räume liefern die [[Charakteristische Klasse|charakteristischen Klassen]], z. B. im Fall der [[Unitäre Gruppe|unitären Gruppen]] die [[Chernklassen]].

Er war (mit Serre) Hauptautor des Bandes über Lie-Gruppen und Lie-Algebren von Bourbaki (erschienen in mehreren Teilen ab 1960). Dieses Buch unterscheidet sich deutlich in seinem Reichtum an «konkreten» Details von den anderen, meist sehr abstrakten Bourbaki-Bänden.

Neben seinen Arbeiten in [[Algebraische Topologie|algebraischer Topologie]] und in der Theorie der Lie-Gruppen beschäftigte er sich mit [[Algebraische Gruppe|algebraischen Gruppen]], wobei er u. a. mit [[Jacques Tits]] zusammenarbeitete, und mit [[Arithmetische Gruppe|arithmetischen Gruppen]] (u. a. Zusammenarbeit mit [[Harish-Chandra]]). Seine Arbeiten über algebraische Gruppen Mitte der 1950er Jahre änderten das ganze Gebiet und ermöglichten es [[Claude Chevalley]], [[Halbeinfache algebraische Gruppe|halbeinfache Gruppen]] über beliebigen [[Algebraisch abgeschlossener Körper|algebraisch abgeschlossenen Körpern]] zu klassifizieren. Mit [[Friedrich Hirzebruch]] im Fall der unitären Gruppe und allgemein mit [[André Weil]] zeigte er, dass sich die [[Weylsche Charakterformel|Charakterformeln von Hermann Weyl]] für die [[Irreduzible Darstellung|irreduziblen Darstellungen]] von [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] [[Kompakte Gruppe|kompakten]] Lie-Gruppen G aus dem [[Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch]] ergeben, angewandt auf die (algebraische) Quotientengruppe G/T (T = [[maximaler Torus]] von G), die die Faser im [[Faserbündel]] der zugehörigen [[Klassifizierender Raum|klassifizierenden Räume]] von G und T ist. Auf den Fasern operiert die [[Weylgruppe]] der [[Lie-Algebra]] (Vertauschungsgruppe der Wurzeln), was im Falle der unitären Gruppe die [[symmetrische Gruppe]] ist, mit einer zugehörigen Zerlegung der Faser in [[Fahnenmannigfaltigkeit]]en. Die nach Borel benannte [[Borel-Untergruppe]] H einer algebraischen Gruppe ist dadurch definiert, dass der [[Homogener Raum|homogene Raum]] G/H [[Projektive Varietät|projektiv]] und so «klein»<ref>Technisch: die [[Borel-Untergruppe]] ist eine maximale [[Zariski-Abschluß|Zariski-abgeschlossene]] zusammenhängende [[Auflösbare Gruppe|auflösbare]] algebraische Untergruppe.</ref> wie möglich ist. Beispiel: G = [[allgemeine lineare Gruppe]] GL(n), H = Raum der [[Obere Dreiecksmatrix|oberen Dreiecks-Matrizen]], wobei H eine maximal [[Auflösbare Gruppe|auflösbare Untergruppe]] ist und die «[[Parabolische Gruppe|parabolischen Gruppen]]» P zwischen H und G die Fahnenmannigfaltigkeiten ''(flag manifolds)'' bilden. Von ihm stammt auch der [[Dichtheitssatz von Borel]].

Gleichzeitig bewiesen Hirzebruch und Borel in ihrer Arbeit von 1958, dass ein [[Orientierung (Mathematik)|orientierbares]] Faserbündel genau dann eine [[Spin-Struktur]] auf einer Mannigfaltigkeit definiert, wenn die zweite [[Stiefel-Whitney-Klassen|Stiefel-Whitney-Klasse]] des Bündels verschwindet.

Auf dem Gebiet der Gruppentheorie und ihrer Anwendung in der Zahlentheorie (z. B. im Sinne des [[Langlands-Programm]]s) arbeitete er auch mit [[Jean-Pierre Serre]] zusammen. Mit diesem verfasste er auch einen Aufsatz, in dem [[Satz von Grothendieck-Riemann-Roch|Grothendiecks Verallgemeinerung]] des [[Satz von Riemann-Roch|Riemann-Roch Theorems]] erstmals publiziert wurde.

In einer 1974 veröffentlichten Arbeit berechnete er die [[Algebraische K-Theorie#Zahlkörper und Ganzheitsringe|algebraische K-Theorie von Zahlkörpern]] und ihren [[Ganzheitsring]]en (bis auf [[Torsion (Algebra)|Torsion]]). Nach ihm benannt ist der [[Borel-Regulator]] in der K-Theorie von Zahlkörpern.

[[Borel-Moore-Homologie]] ist eine Homologietheorie für [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakte Räume]], in der jede (nicht notwendig kompakte) orientierbare [[Mannigfaltigkeit]] eine [[Fundamentalklasse]] besitzt.

Gelegentlich wird auch [[Äquivariant#Topologie|äquivariante Homologie]] als Borel-Homologie bezeichnet.

Die [[Baily-Borel-Kompaktifizierung]] in der Theorie der algebraischen Geometrie ist nach ihm und [[Walter Baily]] benannt. Sie macht in Bezug auf spezielle arithmetische Gruppen symmetrische Quotientenräume kompakt (abgeschlossen, vervollständigt) und mit Modulformen darstellbar.

Nach Borel sind verschiedene Vermutungen benannt, zum Beispiel die [[Borel-Vermutung]] in der Topologie. Sie entstand aus einer Frage, die er 1953 Serre stellte, und besagt, dass geschlossene Mannigfaltigkeiten, deren höhere [[Homotopiegruppe]]n verschwinden ([[Asphärischer Raum|asphärische]] Mannigfaltigkeiten) und deren [[Fundamentalgruppe]]n isomorph sind, [[Homöomorphie|homöomorph]] seien. Die Vermutung ist offen. Eine weitere Borel-Vermutung betrifft die Berechnung der komplexen Kohomologie arithmetischer Gruppen, die nach der Vermutung durch spezielle [[automorphe Funktion]]en gegeben ist. Sie wurde durch [[Jens Franke]] bewiesen.

== Ehrungen und Mitgliedschaften ==
1992 erhielt er den [[Balzan-Preis]]. 1991 erhielt er den [[Leroy P. Steele Prize]] der [[American Mathematical Society]]. 1962 hielt er einen Plenarvortrag auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|Internationalen Mathematikerkongress]] in [[Stockholm]] ''(Arithmetic Properties of Linear Algebraic Groups)'', und 1974 war er ''Invited Speaker'' auf dem ICM in [[Vancouver]] ''(Cohomology of arithmetic groups)''. 1978 erhielt er die [[Brouwer-Medaille]]. Er war Mitglied der [[American Academy of Arts and Sciences]] (seit 1977), der [[Académie des sciences]] (seit 1981), der [[American Philosophical Society]] (seit 1985) und der [[National Academy of Sciences]] (seit 1987).

== Sonstiges ==
Borel war sehr an Musik interessiert und organisierte u. a. Konzerte mit indischer und Jazz-Musik.

== Schriften ==
;Bücher
* ''Œuvres (Collected Papers)'', 4 Bände, Springer 1983 bis 2001
* ''Topics in the homology theory of fibre bundles'', Springer, Lecture notes in mathematics, 1967 (Chicago Lectures von 1954)
* ''Linear algebraic groups'', New York, Benjamin 1969, Springer 1991
* ''Automorphic forms on SL 2(R)'', Cambridge University Press 1997
* ''Semisimple groups and Riemannian symmetric spaces'', Hindustan Book Agency, Delhi 1998
* Herausgeber (mit [[Bill Casselman]]) und Mitautor: ''Automorphic forms, representations and L-functions.'' 2 Bde., AMS symposium in pure mathematics 1979, online hier: [http://www.ams.org/online_bks/pspum331/ Automorphic Forms, Representations, and L-Functions / pspum31] und hier: [http://www.ams.org/online_bks/pspum332/ Automorphic Forms, Representations, and L-Functions / pspum33.2]
* Herausgeber (mit [[George Mostow]]) und Mitautor: ''Algebraic groups and discontinuous subgroups.'' AMS 1966 (Symposium in Pure Mathematics, Boulder/Colorado 1965), online hier: [http://www.ams.org/online_bks/pspum9/ Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups / pspum9]
* Herausgeber und Mitautor: ''Seminar on complex multiplication'' (Institute of Advanced Study 1957/8), Springer 1966
* ''Représentations de groupes localement compacts'', Springer, Lecture notes in mathematics 276, 1972
* ''Introduction aux groupes arithmétiques'', Hermann, Paris 1969
* Herausgeber mit [[Nolan Wallach]] und Mitautor: ''Continuous cohomology, discrete subgroups and representations of reductive groups.'' Princeton 1980, 2. Aufl. AMS 2000 (Seminar in Princeton 1976/77)
* ''Intersection cohomology'', Birkhäuser, Basel 1984
* ''Algebraic D-modules'', Academic Press 1987
* ''Essays on the history of Lie groups and algebraic groups'', American Mathematical Society, 2001
* mit [[Robert Friedman]], [[John Morgan (Mathematiker)|John W. Morgan]]: ''Almost commuting elements in compact Lie groups'', American Mathematical Society, 2002
* mit Lizhen Ji: ''Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces.'' Birkhäuser, Basel 2006

;Einige Aufsätze von Borel
* ''Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts.'' In: ''Annals of Mathematics.'' Band 57, 1953, S. 115–207 (Dissertation).
* mit [[Friedrich Hirzebruch]]: ''Characteristic classes and homogeneous spaces.'' In: ''American Journal of Mathematics.'' Band 80, 1958, S. 458–538.
* mit [[Jean-Pierre Serre]]: ''La théorème de Riemann-Roch.'' In: ''Bulletin de la Société Mathématique de France.'' 1958.
* mit [[Walter Baily]]: ''Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains.'' In: ''Annals of Mathematics.'' Band 84, 1966, S. 442–528.
* ''Groupes linéaires algébriques.'' In: ''Annals of Mathematics.'' Band 64, 1956, S. 20–82.
* ''On the development of Lie group theory.'' In: ''Mathematical Intelligencer.'' Band 2, 1980, S. 67–72.
* ''25 years with Bourbaki 1949–1973.'' In: ''Notices AMS.'' 1998, Heft 3, S. 373–380.
* ''Hermann Weyl and Lie groups.'' In: [[K. Chandrasekharan]]: ''Weyl centennary symposium.'' Springer 1985

== Literatur ==
* [[André Haefliger]]: Nachruf in: ''Gazette des mathématiciens.'' Nr. 102, 2004, S. 7–14 (und ''European Mathematical Society Newsletter'', September 2005).
* ''Asian Journal of Mathematics.'' 2004, Nr. 4 (Erinnerungen von [[Nolan Russell Wallach]], [[Bill Casselman]] u. a.).
* [[Tonny Albert Springer]], [[Jacques Tits]], [[Friedrich Hirzebruch]], [[Jean-Pierre Serre]], [[Enrico Bombieri]] u. a.: [https://www.ams.org/notices/200405/200405-toc.html ''Armand Borel (1923–2003).''] In: ''Notices of the AMS.'' Mai 2004.

== Weblinks ==
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* {{Helveticat}}
* {{DNB-Portal|119089106}}
* {{DDB|Person|119089106}}
* {{Webarchiv |url=http://www.ias.edu/news/press-releases/borel |wayback=20150521203701 |text=''Armand Borel'' – Nachruf vom Institute for Advanced Study in Princeton}}
* {{Webarchiv |url=http://www.zib.de/Euler/1995/laudatio/index.html |wayback=20150406180959 |text=Laudatio von Friedrich Hirzebruch anlässlich der Euler-Vorlesung Potsdam 1995}}
* {{MacTutor|id=Borel_Armand}}
* {{Webarchiv |url=http://www.intlpress.com/AJM/p/2004/8_4/AJM-8-4-r003-r009-iii-ix-preface+photo(1).pdf |wayback=20060314022030 |text=Nachruf (mit Fotoalbum)}} in der Sonderausgabe des ''Asian Journal of Mathematics'' zu Ehren Armand Borels 2004 (PDF; 3,7 MB)
* [https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/ajm/content/vols/0008/0004/index.php Inhaltsverzeichnis] der Sonderausgabe des ''Asian Journal of Mathematics'' zu Ehren Armand Borels, 2004
* [https://zbmath.org/authors/?q=ai:borel.armand Autoren-Profil] in der Datenbank [[Zentralblatt MATH|zbMATH]]
* Einige Arbeiten (z. B. «Groupes réductifs» mit [[Jacques Tits]], Beiträge Cartan Seminar) sind online [http://www.numdam.org/ hier].
* {{Webarchiv |url=http://w3public.ville-ge.ch/bge/odyssee.nsf/Attachments/borel_armandframeset.htm/$file/borel_armand.pdf |wayback=20170317144631 |text=Liste seines bei der Universität Genf verwalteten Nachlasses}}. Fonds Armand Borel (PDF; 2,2 MB)

== Fussnoten und Quellen ==
<references />

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{{SORTIERUNG:Borel, Armand}}
[[Kategorie:Algebraiker (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Institute for Advanced Study)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (ETH Zürich)]]
[[Kategorie:Mitglied der Académie des sciences]]
[[Kategorie:Mitglied der American Academy of Arts and Sciences]]
[[Kategorie:Mitglied der American Philosophical Society]]
[[Kategorie:Mitglied der National Academy of Sciences]]
[[Kategorie:Balzan-Preisträger]]
[[Kategorie:Nicolas Bourbaki]]
[[Kategorie:Schweizer]]
[[Kategorie:Geboren 1923]]
[[Kategorie:Gestorben 2003]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Borel, Armand
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=Schweizer Mathematiker
|GEBURTSDATUM=21. Mai 1923
|GEBURTSORT=[[La Chaux-de-Fonds]]
|STERBEDATUM=11. August 2003
|STERBEORT=[[Princeton (New Jersey)|Princeton]]
}}

Armand Borel - Versionsgeschichte

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