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2026-04-24T09:46:58Z

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[[Datei:Arcsine Arccosine.svg|mini|180px|right|
Arkussinus und Arkuskosinus im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]]
{{Farblegende|#ff2222|arcsin (''x'')}}
{{Farblegende|#2222ff|arccos (''x'')}}
]][[Datei:01 Umkehrfunktion.svg|mini|hochkant=1.7|Beispiel: Umkehrung der Kosinus- und Sinusfunktion<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Zeuge |Titel=Nützliche und schöne Geometrie |TitelErg=3.3 Die Umkehrfunktionen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63831-6 |Seiten=46}}</ref>]]

Der '''Arkussinus''' – geschrieben <math>\arcsin</math> oder <math>\operatorname{asin}</math> – und der '''Arkuskosinus''' (oder auch '''Arkuscosinus''') – geschrieben <math>\arccos</math> oder <math>\operatorname{acos}</math> – sind [[Umkehrfunktion]]en der (geeignet) [[Einschränkung|eingeschränkten]] [[Sinus und Kosinus|Sinus- bzw. Kosinusfunktion]]. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1,1]</math> abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus <math>[-1,1]</math> wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus <math>[-1,1]</math> unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren [[Definitionsmenge]] auf das Intervall <math>[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]</math> für Sinus und auf <math>[0,\pi]</math> für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

Zusammen mit dem [[Arkustangens]] als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) [[Tangens]] bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der [[Arkusfunktion]]en. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise <math>f^{-1}</math> beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen <math>\sin^{-1}</math> und <math>\cos^{-1}</math> die klassische Schreibweise <math>\arcsin</math> bzw. <math>\arccos</math> zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den [[Kehrwert]]en des Sinus und Kosinus ([[Sekans und Kosekans|Kosekans und Sekans]]) führen kann.<ref>{{MathWorld |id=InverseTrigonometricFunctions |title=Inverse Trigonometric Functions}}</ref>

== Definitionen ==
Im wissenschaftlichen Bereich werden Winkel im [[Radiant (Einheit)|Bogenmaß]] angegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=126 |Abruf=}}</ref> Mit dieser Maßeinheit ist die Sinusfunktion <math>2\pi</math>-[[Periodische Funktion|periodisch]]. Da sie innerhalb einer [[Periodische Funktion|Periode]] nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten, weshalb man von ''Zweigen'' des Arkussinus spricht. Meist wird der ''Hauptzweig'' (oder ''Hauptwert'')
:<math>\arcsin \colon [-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],</math>
die Umkehrfunktion der [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] der Sinusfunktion auf das Intervall <math>\left[-\pi/2,\pi/2\right]</math>, betrachtet.

Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion der Einschränkung der Kosinusfunktion auf das Intervall <math>[0, \pi]</math> definiert. Dies ergibt mit
:<math>\arccos \colon [-1,1] \to [0,\pi]</math>
ebenfalls eine [[bijektiv]]e Funktion. Mittels
:<math>\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}</math>
lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.

In den Anwendungsdisziplinen und insbesondere im technischen Bereich werden Winkel häufig in [[Grad (Winkel)|Grad]] gemessen. Der Hauptzweig der Sinusfunktion ist dann das Intervall <math>\left[-90^\circ, 90^\circ \right]</math> und der Hauptzweig der Kosinusfunktion das Intervall <math>\left[0, 180^\circ \right]</math>. Entsprechend lauten die Wertebereiche des Arkussinus und Arkuskosinus.

== Eigenschaften ==
{| class="wikitable"
|-class="hintergrundfarbe6"
!  
!Arkussinus
!Arkuskosinus
|-
! [[Funktionsgraph]]
| [[Datei:Mplwp arcsin piaxis.svg|250px|Arcsin]]
| [[Datei:Mplwp arccos piaxis.svg|250px|Arccos]]
|-
! [[Definitionsmenge]]
| <math>[-1,1]</math>
| <math>[-1,1]</math>
|-
! [[Bildmenge]]
| <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>
| <math>[0,\pi]</math>
|-
! [[Monotone Funktion|Monotonie]]
| streng monoton steigend
| streng monoton fallend
|-
! [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]
| [[Ungerade Funktion]] ([[Punktsymmetrie]] zu <math>(0,0)</math>):<br /><math>\arcsin(-x) = -\arcsin(x)</math>
| Punktsymmetrie zu <math>\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)\colon</math><br /><math>\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)</math>
|-
! [[Asymptote]]n
| keine
| keine
|-
! [[Nullstelle]]n
|Eine Nullstelle bei <math>x = 0</math>
|Eine Nullstelle bei <math>x = 1</math>
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Polstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Extremum|Extrema]]
| Globales Maximum <math>\tfrac{\pi}{2}</math> an der Stelle <math>1</math>,<br />globales Minimum <math>-\tfrac{\pi}{2}</math> an der Stelle <math>-1</math>
| Globales Maximum <math>\pi</math> an der Stelle <math>-1</math>,<br />globales Minimum <math>0</math> an der Stelle <math>1</math>
|-
! [[Wendepunkt]]e
|<math>(0,0)</math>
|<math>\left(0,\frac{\pi}{2}\right)</math>
|}

== Formeln für negative Argumente ==
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
: <math>\arcsin(-x) = -\arcsin(x)</math>
: <math>\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)</math>

== Reihenentwicklungen ==
{{Belege fehlen|1=|2=Dieser Abschnitt}}
Die [[Taylorreihe]] des Arkussinus erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine [[binomische Reihe]] und anschließende Integration, sie ist gegeben durch:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1079}}</ref>
: <math>\begin{align}\arcsin(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(k)}{4^{k}(2k + 1)} \,x^{2k + 1} = \\
&= {x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^7}{7} + \dotsb}
\end{align}</math>

Die [[Taylorreihe]] des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung <math>\arccos x = \tfrac{\pi}{2} - \arcsin x</math>:
: <math>\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^k(2k+1)}</math>

Beide Reihen haben den [[Konvergenzradius]] 1.

Der Ausdruck <math>k!!</math> bezeichnet dabei die [[Fakultät (Mathematik)#Doppelfakultät|Doppelfakultät]] und mit dem Ausdruck CBC wird der [[Mittlerer Binomialkoeffizient|Zentralbinomialkoeffizient]] bezeichnet:

: <math>\operatorname{CBC}(k) = {2k \choose k} = \frac{(2k)!}{(k!)^2}</math>

Im Gegensatz zum Arkussinus selbst hat das Quadrat des Arkussinus in dessen [[Maclaurinsche Reihe|MacLaurinschen Reihe]] den ''Zentralbinomialkoeffizienten''<ref>Derrick Henry Lehmer: ''Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient''. Volume 92, 1985. Seite 452</ref> nicht im Zähler, sondern im Nenner:
: <math>\begin{align}\arcsin(x)^2 &= \sum_{n = 1}^{\infty} \,\frac{2^{2n-1}}{n^2 \operatorname{CBC}(n)} \,x^{2n} = \\
&= {x^2 + \frac{1}{3} \cdot x^4 + \frac{8}{45} \cdot x^6 + \frac{4}{35} \cdot x^8 + \dotsb} \end{align}</math>
Das Gleiche gilt somit auch für den Quotienten aus Arkussinus und Pythagoräischer Gegenstückfunktion:
: <math>\begin{align}\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} &= \sum_{n = 1}^{\infty} \,\frac{2^{2n - 1}}{n \operatorname{CBC}(n)} \,x^{2n - 1} \\
&= {x + \frac{2}{3} \cdot x^3 + \frac{8}{15} \cdot x^5 + \frac{16}{35} \cdot x^7 + \dotsb} \end{align}</math>

== Verkettungen mit Sinus und Kosinus ==
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
: <math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}</math>, denn für <math>y = \arccos(x)</math> gilt <math>y \in \left[0,{\pi}\right]</math> und <math>\sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)}</math>.
: <math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}</math>, denn für <math>y = \arcsin(x)</math> gilt <math>y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math> und <math>\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)}</math>.
: <math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, denn für <math>y = \arctan(x)</math> gilt <math>y \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[</math> und <math>\sin(y) = \frac{\tan(y)}{\sqrt{1 + \tan^2(y)}}</math>.
: <math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, denn für <math>y = \arctan(x)</math> gilt <math>y \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[</math> und <math>\cos(y) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(y)}}</math>.

== Beziehung zum Arkustangens ==
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt
: <math>\arcsin(x) = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
: <math>\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
für <math>|x|<1.</math> Definiert man <math>\arctan\left(\tfrac{1}{0}\right) := \lim_{t \to \infty} \arctan(t) = \tfrac{\pi}{2},</math> so werden diese beiden Gleichungen auch für <math>x = \pm1</math> richtig. Alternativ dazu kann man auch
: <math>\arcsin(x) = 2\arctan\left(\frac x{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
: <math>\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan\left(\frac x{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der [[Arkustangens und Arkuskotangens#Funktionalgleichungen|Funktionalgleichung des Arkustangens]] ergibt und für <math>|x| \le 1</math> gilt. Für <math>-1 < x \le 1</math> lässt sich Letzteres auch zu
: <math>\arccos(x) = 2\arctan\left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right)</math>
vereinfachen.

== Additionstheoreme ==
{{Hauptartikel|Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme für Arkusfunktionen|titel1=Additionstheoreme für Arkusfunktionen (Trigonometrie)}}

Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der [[Sinus und Kosinus#Additionstheoreme|Additionstheoreme für Sinus und Kosinus]]:
: <math>\arcsin x + \arcsin y = \left\{\begin{array}{rcrl}
\arcsin(\sin(\arcsin x + \arcsin y)) & = & \arcsin\left(x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad xy \leq 0 \quad\text{oder}\quad x^2+y^2 \leq 1 \\
\pi - \arcsin(\sin(\arcsin x + \arcsin y)) & = & \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1 - y^2}+ y\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x > 0 \quad\text{und}\quad y > 0 \quad\text{und}\quad x^2 + y^2 > 1 \\
-\pi - \arcsin(\sin(\arcsin x + \arcsin y)) & = & -\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x < 0 \quad\text{und}\quad y < 0 \quad\text{und}\quad x^2 + y^2 > 1 \\
\end{array}\right.</math><math>\arccos x + \arccos y = \left\{\begin{array}{rcrl}
\arccos(\cos(\arccos x + \arccos y)) & = & \arccos\left(xy - \sqrt{1 - x^2}\sqrt{1 - y^2}\right) & \text{wenn}\quad x + y \geq 0 \\
2\pi - \arccos(\cos(\arccos x + \arccos y)) & = & 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1 - x^2}\sqrt{1 - y^2}\right) & \text{wenn}\quad x + y < 0 \\
\end{array}\right.</math>

Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte
: <math>2\arcsin x = \left\{\begin{array}{rl}
\arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad 2x^2 \leq 1 \\
\pi - \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x > 0 \quad\text{und}\quad 2x^2 > 1 \\
-\pi - \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x < 0 \quad\text{und}\quad 2x^2 > 1 \\
\end{array}\right.</math>
: <math>2\arccos x = \left\{\begin{array}{rl}
\arccos\left(2x^2 - 1\right) & \text{wenn}\quad x \geq 0 \\
2\pi - \arccos\left(2x^2 - 1\right) & \text{wenn}\quad x < 0 \\
\end{array}\right.</math>

== Ableitungen ==
;Arkussinus:
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1</math>

;Arkuskosinus:
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1</math>

;Umrechnung:
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = -\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(x)</math>

== Integrale ==
=== Standardisierte Integraldarstellungen ===
Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:
: <math>\arcsin(x) = \int \limits_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} \,\mathrm{d}y</math>
: <math>\arccos(x) = \int \limits_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{\pi}{2} - \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} \,\mathrm{d}y </math>

=== Integralidentität mit dem Logarithmus naturalis ===
Auch mit dem [[Logarithmus|Logarithmus naturalis]] kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
:<math>
\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{4\,(y^2 + 1)}{\pi \bigl[(y^2 + 1)^2 - 4\,x^2 y^2\bigr]} \,\mathrm{d}y
</math>
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich <math>x</math> entsteht folgende Formel:
: {| class="wikitable"
|<math> \arcsin(x) = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\pi \,y} \ln\biggl(\frac{y^2 + 2xy + 1}{y^2 - 2xy + 1}\biggr) \,\mathrm{d}y
</math>
|}

Die nun gezeigte Integralidentität wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinen Werken ''A simple proof of <math>1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \ldots = \pi^2/6</math>'' und ''Another simple proof of <math>1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \ldots = \pi^2/6</math>''<ref>James D.Harper, ''Another simple proof of <math>1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots=\frac {\pi^2}{6}</math>'', American Mathematical Monthly, Band 110, Nr. 6, 2003, S. 540–541</ref> aus dem Jahre 2003 behandelt. James Harper löste damit unter anderem das [[Basler Problem]] und konnte einige weitere Integralidentitäten aufstellen, welche das Bindeglied zwischen den Arkusfunktionen und den Areafunktionen beziehungsweise Logarithmusfunktionen darstellen. Beispielsweise gilt folgendes Integral:
: <math>
\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{y} \ln\biggl(\frac{y^2 + y + 1}{y^2 - y + 1}\biggr) \,\mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{6}
</math>
Eine analoge Integralidentität nach demselben Grundmuster kann für das Quadrat des Arkuskosinus hervorgebracht werden:
: {| class="wikitable"
|<math> \arccos(x)^2 = \frac{\pi^2}{3} - \int\limits_{0}^{1} \frac{2}{y} \ln(y^2 + 2xy + 1) \,\mathrm{d}y
</math>
|}

=== Integralidentität mit dem Areatangens hyperbolicus ===
{{Belege fehlen|1=|2=Dieser Abschnitt}}
Mit dem [[Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus|Areatangens hyperbolicus]] kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
:<math>
\frac{2\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{2\,x}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - x^2 y^2)}} \,\mathrm{d}y
</math>
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich <math>x</math> entsteht folgende Formel:
: {| class="wikitable"
|<math> \arcsin(x)^2 = \int\limits_{0}^{1} \frac{2}{y} \left[\operatorname{artanh}\bigl(y\bigr) - \operatorname{artanh}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}\,y}{\sqrt{1 - x^2 y^2}}\right)\right] \,\mathrm{d}y
</math>
|}
Wenn der Grenzwert von dieser Identität für <math>x = 1</math> berechnet wird, dann entsteht für dieses Integral über den [[Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus|Areatangens hyperbolicus]] folgende Identität:
: <math>
\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{y} \,\operatorname{artanh}(y) \,\mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{8}
</math>
Mit dieser Formel kann das [[Basler Problem]] bewiesen werden:
: <math>
\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{y} \,\operatorname{artanh}(y) \,\mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{1} \biggl(\frac{1}{y}\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n - 1} \,y^{2n - 1}\biggr) \,\mathrm{d}y = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n - 1)^2}
</math>
Daraus folgt:
: <math>
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n - 1)^2} = \frac{\pi^2}{8}
</math>

=== Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus ===
;Arkussinus:
: <math>\int \arcsin(x)\, \mathrm dx = x\, \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C</math>

;Arkuskosinus:
: <math>\int \arccos(x)\, \mathrm dx = x\, \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C</math>

=== Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ===
{{Belege fehlen|1=|2=Dieser Abschnitt}}
Wenn der Arkussinus durch die identische Abbildungsfunktion geteilt wird, dann stellt diese Funktion den ''kardinalisierten'' Arkussinus dar.

Die ursprüngliche Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ist das sogenannte [[Arkustangensintegral#Arkussinusintegral|Arkussinusintegral]] und dies ist eine nicht elementare Funktion:

: <math>\int\limits_{0}^{x} \frac{1}{y}\arcsin(y) \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{1}{z}\arcsin(xz) \,\mathrm{d}z =\operatorname{Si}_{2}(x) </math>

Nach dem [[Fundamentalsatz der Analysis|Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung]] gilt somit:

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{Si}_{2}(x) = \frac{1}{x}\arcsin(x) </math> das bekannteste Beispiel für einen Wert dieser Stammfunktion:

: <math>\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x}\arcsin(x) \, \mathrm dx =\operatorname{Si}_{2}(1) = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Mit dem [[Satz von Fubini]] kann der nun genannte Wert des Integrals bewiesen werden:

: <math>\operatorname{Si}_{2}(1) = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x}\arcsin(x) \,\mathrm{d}x = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}\,y}{(1-x^2 y^2)\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x =</math>
: <math>=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}\,y}{(1-x^2 y^2)\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y =\int\limits_{0}^{1} \frac{\pi\,y}{2\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2}\,)} \,\mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Mit diesem Arkussinusintegral kann ebenso das sogenannte ''Arkustangensintegral'' direkt erzeugt werden:

: <math>2\,\operatorname{Ti}_{2}\left[x\left(1 + \sqrt{1-x^2}\right)^{-1}\right] = 4\,\operatorname{Si}_{2}\bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{1+x} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-x}\,\bigr) - \mathrm{Si}_{2}(x)</math>

== Komplexe Argumente ==
: <math>\begin{align}
\arcsin(a + b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\operatorname{sgn^+}{a}}{2} \cdot \arccos & \left(\sqrt{(a^2 + b^2 - 1)^2 + 4b^2} - (a^2 + b^2)\right) \\
+\;\mathrm{i} \cdot \frac{\operatorname{sgn^+}{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \left(\sqrt{(a^2 + b^2 - 1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2)\right)
\end{align}</math>   mit <math>a, b \in \mathbb{R}</math>
: <math>\arccos(a + b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a + b\,\mathrm{i})</math>

Zur Funktion <math>\operatorname{arcosh}</math> siehe [[Areakosinus hyperbolicus]], und für die Funktion <math>\operatorname{sgn^+} \colon \R \to \{-1, 1\}</math> gilt
:<math>\operatorname{sgn^+}(x) := 2\cdot\Theta(x)-1 = \begin{cases} +1 & \text{für } x \ge 0 \\ -1 & \text{für } x < 0 \end{cases}</math>
mit der [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta</math>.

== Anmerkungen ==
=== Wichtige Funktionswerte ===
''Siehe auch: [[Sinus und Kosinus#Wichtigste Funktionswerte|Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte]]''

Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden [[Arkusfunktion]]en auf.
{| class="wikitable"
!<math>x</math>
! colspan="2" |<math>\arcsin(x)</math>
! colspan="2" |<math>\arccos(x)</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|-
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{6}</math>
|<math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{3}</math>
|-
|<math>\frac12\sqrt2</math>
|<math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{4}</math>
|<math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{4}</math>
|-
|<math>\frac12\sqrt3</math>
|<math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{3}</math>
|<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{6}</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|-
|}
Weitere wichtige Werte sind:
{| class="wikitable"
!<math>x</math>
! colspan="2" |<math>\arcsin(x)</math>
! colspan="2" |<math>\arccos(x)</math>
|-
|<math>\tfrac14(\sqrt{6} - \sqrt{2})</math>
|<math>15^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{12}</math>
|<math>75^\circ</math>
|<math>\tfrac{5\pi}{12}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)</math>
|<math>18^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{10}</math>
|<math>72^\circ</math>
|<math>\tfrac{2\pi}{5}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}</math>
|<math>36^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{5}</math>
|<math>54^\circ</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{10}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right)</math>
|<math>54^\circ</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{10}</math>
|<math>36^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{5}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}</math>
|<math>72^\circ</math>
|<math>\tfrac{2\pi}{5}</math>
|<math>18^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{10}</math>
|-
|<math>\tfrac14(\sqrt{6} + \sqrt{2})</math>
|<math>75^\circ</math>
|<math>\tfrac{5\pi}{12}</math>
|<math>15^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{12}</math>
|}

=== Kettenbruchdarstellung des Arkussinus ===
H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als [[Kettenbruch]]:
: <math>\arcsin(x) = \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{1 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{5 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{7 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{9 - \cfrac{5 \cdot 6x^2}{11 - \ldots}}}}}}</math>

=== Komplexe Funktion ===
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen [[Logarithmus]] ausdrücken:
: <math>\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z + \sqrt{1 - z^2}\right)</math>
: <math>\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z + \mathrm i \sqrt{1 - z^2}\right)</math>
Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:

Für <math>\arcsin z</math>:
: <math>\begin{align}
\sin(x) &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\\
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}} &= z\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}} &= 2z\mathrm{i}\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 - 1 &= 2z\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 - 2z\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - 1 &= 0\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= -\frac{-2z\mathrm{i}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2z\mathrm{i}}{2}\right)^2 - (-1)}\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2}\\
\mathrm{i}x &= \ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\\
x &= \frac{\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})}{\mathrm{i}}\\
x &= \frac{\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}\\
x &= \frac{\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{-1}\\
x &= -\mathrm{i}\,\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\\
\arcsin z &= -\mathrm{i}\,\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\\
\end{align}</math>

Für <math>\arccos z</math>:
: <math>\begin{align}
\cos(x) &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\\
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2} &= z\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}} &= 2z\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 + 1 &= 2z\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 - 2z\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + 1 &= 0\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= -\frac{-2z}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2z}{2}\right)^2 - 1}\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= z \pm \sqrt{z^2 - 1}\\
\mathrm{i}x &= \ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\\
x &= \frac{\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})}{\mathrm{i}}\\
x &= \frac{\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}\\
x &= \frac{\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{-1}\\
x &= -\mathrm{i}\,\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\\
\arccos z &= -\mathrm{i}\,\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\\
\end{align}</math>

== Siehe auch ==
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]
* [[Trigonometrische Funktion]]en

== Literatur ==
* Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: ''[[Taschenbuch der Mathematik]].'' B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8.

* {{Literatur |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Hrsg=[[Ilja Nikolajewitsch Bronstein|I. N. Bronstein]], [[K. A. Semendjajev]], G. Musiol, H. Mühlig |Auflage=7., vollständig überarbeitete und ergänzte |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]] |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |ISBN=978-3-8171-2007-9 |Seiten=85–88}}
* G.Huvent: ''Autour de la primitive de tp coth (αt/2)''. 3. Februar 2002. Seite 5

* James D. Harper: ''A simple proof of <math>1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \ldots = \pi^2/6</math>'' The American Mathematical Monthly 109(6) (Jun. – Jul., 2003) 540–541.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]

[[en:Inverse trigonometric function]]

Arkussinus und Arkuskosinus - Versionsgeschichte

imported>Petrus3743: Änderung 266451893 von ~2026-25093-31 rückgängig gemacht; keine Verbesserung → Kosinus (deutsch) ist gebräuchlich, 55-mal im Artikel