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2023-11-01T06:01:36Z

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'''Arkusfunktionen''' (von [[Latein|lat.]] ''arcus'' „[[Kreisbogen|Bogen]]“), auch '''zyklometrische Funktionen''' genannt, sind, wie es ihre alternative Bezeichnung als '''inverse Winkelfunktionen''' andeutet, [[Umkehrfunktion]]en [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischer Funktionen]] – die Arkusfunktionen liefern also zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehörigen [[Winkel]].

Zu jeder der sechs Winkelfunktionen gibt es eine Arkusfunktion, die in mathematischen Formeln und Gleichungen durch ein vorangestelltes <math>\operatorname{arc}</math> oder <math>\operatorname{a}</math> vom Kürzel der zugehörigen trigonometrischen Funktion unterschieden wird. Vor allem im englischsprachigen Raum, aber auch auf den Tastaturen der meisten Taschenrechner, findet sich immer häufiger eine Schreibweise mit einem in spitze Klammern gesetzten Exponenten <math>^{\langle {-}1\rangle}</math>, der signalisieren soll, dass es sich um die minus erste [[Iteration#Abgrenzung der Schreibungen|Iteration]], also die Umkehrfunktion, der Winkelfunktion handelt. Leider werden die spitzen Klammern oft weggelassen, wodurch eine Schreibung <math>^{-1}</math> entsteht, die leicht mit dem [[Kehrwert]] verwechselt werden kann.

{| class="wikitable float-left"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Winkelfunktion
! Arkusfunktion
! Kürzel
! als minus erste Iteration
|-
| [[Sinus]]
| [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus]]
| <math>\arcsin</math> oder <math>\operatorname{asin}</math>
| <math>\sin^{\langle {-}1\rangle}</math> oder <math>\sin^{-1}</math>
|-
| [[Kosinus]]
| [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkuskosinus]]
| <math>\arccos</math> oder <math>\operatorname{acos}</math>
| <math>\cos^{\langle {-}1\rangle}</math> oder <math>\cos^{-1}</math>
|-
| [[Tangens]]
| [[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]]
| <math>\arctan</math> oder <math>\operatorname{atan}</math>
| <math>\tan^{\langle {-}1\rangle}</math> oder <math>\tan^{-1}</math>
|-
| [[Kotangens]]
| [[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkuskotangens]]
| <math>\arccot</math> oder <math>\operatorname{acot}</math>
| <math>\cot^{\langle {-}1\rangle}</math> oder <math>\cot^{-1}</math>
|-
| [[Sekans]]
| [[Arkussekans und Arkuskosekans|Arkussekans]]
| <math>\arcsec</math>
| <math>\sec^{\langle {-}1\rangle}</math> oder <math>\sec^{-1}</math>
|-
| [[Kosekans]]
| [[Arkussekans und Arkuskosekans|Arkuskosekans]]
| <math>\arccsc</math>
| <math>\csc^{\langle {-}1\rangle}</math> oder <math>\csc^{-1}</math>
|}

{| class="wikitable float-left" style="background:#FFFFFF; border-width:0;"
|-
| rowspan="2" style="background:#FFFFFF; border-width:0;" | [[Datei:Arcsine Arccosine.svg|168px|mini|Die Hauptwerte der arcsin(''x'')- (rot) und arccos(''x'')-Funktionen (blau)]]
| style="background:#FFFFFF; border-width:0;" |[[Datei:Arctangent Arccotangent.svg|294px|mini|Die Hauptwerte der arctan(''x'')- (rot) und arccot(''x'')-Funktionen (blau)]]
|-
| style="background:#FFFFFF; border-width:0;" | [[Datei:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|mini|Die Hauptwerte der arcsec(''x'')- and arccsc(''x'')-Funktion]]
|}

<div style="clear:both;"></div>
[[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[Riemannsche Fläche]] des [[Komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]]. Die Blätter haben einen Abstand von <math>2\pi</math>.]]
Da die trigonometrischen Funktionen [[periodische Funktion]]en sind, sind sie zunächst einmal ''nicht'' [[Umkehrfunktion|invertierbar]]. Beschränkt man sich jedoch auf ein [[Reelle monotone Funktion|Monotonie]][[Intervall (Mathematik)|intervall]] der jeweiligen Ausgangsfunktion, z. B. auf das Intervall <math>[-\pi/2,\pi/2]</math> oder <math>[0,\pi]</math>, kann die so erhaltene ''eingeschränkte'' Funktion sehr wohl invertiert werden. Allerdings überdecken die Monotonieintervalle jeweils nur eine halbe Periode, siehe Abbildung oben. Kennt man jedoch sowohl den Sinus als auch den Kosinus eines Winkels (allgemeiner: komplexe Komponenten), so kann man den Winkel bis auf ganze Perioden <math>(2\pi)</math> ermitteln, siehe Abbildung rechts für die Anschauung und [[Arkustangens und Arkuskotangens#Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten|arctan2]] für die Berechnung.

== Beziehungen zwischen den Funktionen ==
''Siehe auch: [[Trigonometrische Funktion#Beziehungen zwischen den Funktionen|Trigonometrische Funktion: Beziehungen zwischen den Funktionen]]''

Arkusfunktionen lassen sich wie folgt ineinander umrechnen (wobei <math>\sgn</math> die [[Vorzeichenfunktion]] bezeichnet):

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!
!arcsin
!arccos
!arctan
!arccot
!arcsec
!arccsc
|-
! class="hintergrundfarbe8"|arcsin(x)
|<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccos(x)</math>
|<math>\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccot\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arcsec\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|<math>\arccsc\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|-
! class="hintergrundfarbe8"|arccos(x)
|<math>\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)</math>
|<math>\arccos(x)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)</math>
|<math>\arccot\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)</math>
|<math>\arcsec\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccsc\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|-
! class="hintergrundfarbe8"|arctan(x)
|<math>\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)</math>
|<math>\arctan(x)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccot(x)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arcsec\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right)</math>
|<math>\arccsc\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right)</math>
|-
! class="hintergrundfarbe8"|arccot(x)
|<math>\frac{\pi}{2}-\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)</math>
|<math>\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arctan(x)</math>
|<math>\arccot(x)</math>
|<math>\arcsec\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccsc\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right)</math>
|-
! class="hintergrundfarbe8"|arcsec(x)
|<math>\frac{\pi}{2}-\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|<math>\arccos\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}\right)</math>
|<math>\arccot\left(\frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}\right)</math>
|<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccsc(x)</math>
|-
! class="hintergrundfarbe8"|arccsc(x)
|<math>\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{1}{x}\right)</math>
|<math>\arctan\left(\frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arccot\left(\frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}\right)</math>
|<math>\frac{\pi}{2}-\arcsec(x)</math>
|<math>\arccsc(x)</math>
|}

Bei den für <math>x \in \{-1, 0, 1\}</math> verschwindenden Nennern sind die entsprechenden Grenzwerte zu wählen, z. B.:
:<math>\arcsin(-1) = \lim_{x \to -1} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \lim_{y \to -\infty} \arctan(y) = -\frac{\pi}{2}</math>

== Siehe auch ==
* [[Trigonometrische Funktion]]
* [[Hyperbelfunktion]]
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]

== Weblinks ==
* [https://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/i.html#inverseWinkelfunktionen Information] auf Mathe-Online
* {{MathWorld|id=InverseTrigonometricFunctions|title=Inverse Trigonometric Functions}}

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]

Arkusfunktion - Versionsgeschichte

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