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2025-03-30T23:41:23Z

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'''Arithmetische Reihen''' sind spezielle [[Mathematik|mathematische]] [[Reihe (Mathematik)|Reihen]]. Eine arithmetische Reihe entsteht durch die Summierung einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]].<ref>{{Literatur |Autor=Walter Purkert, Alexander Herzog |Titel=Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler |Auflage=9. |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2022 |ISBN=978-3-658-36741-1 |Seiten=97}}</ref> Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die [[Partialsumme|Partialsummen]]), die auch als ''endliche arithmetische Reihen'' bezeichnet werden.

== Definition ==
Ist <math>a_1, a_2,a_3, \ldots</math> eine arithmetische Folge, so ist die Folge der Partialsummen <math>s_1, s_2, s_3, \ldots</math> mit

:<math>s_n = \sum_{i=1}^n a_i= a_1 + a_2 + \dotsb + a_n</math>
eine ''arithmetische Reihe''.

== Berechnung ==
Für die Glieder einer arithmetischen Folge <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> gilt die explizite Formel <math>a_i = a_1 + (i-1)d</math>. Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man
:<math>s_n = \sum_{i=1}^n(a_1 + (i-1)d)</math>.

Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für <math>s_n</math> gewinnen:

*Bei Kenntnis von <math>a_1</math> und <math>d</math> lässt sich <math>s_n</math> berechnen als
::<math>s_n= n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}d</math>.<ref group="A">Diese Formel erhält man zum Beispiel, indem man <math display="inline">\sum_{i=1}^n (a_1 + (i-1)d) = \sum_{i=1}^n a_1 + d\sum_{i=1}^n (i-1)</math> schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.</ref>

* Bei Kenntnis von <math>a_1</math> und <math>a_n</math> lässt sich <math>s_n</math> berechnen als
::<math>s_n= n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}</math>.<ref group="A">Diese Formel erhält man aus der ersten Formel: <math display="inline">n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n}{2} (a_1 + a_1 + (n-1)d) = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}</math>.</ref>
Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] des ersten und des letzten Gliedes.

Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der [[Induktion (Mathematik)|vollständigen Induktion]].

== Spezielle Summen ==

Für die Summe der ersten <math>n</math> natürlichen Zahlen <math>(a_1=1, d=1)</math> gilt die [[Gaußsche Summenformel]]

:<math>\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 +\dotsb+ n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

und für die Summe der ersten <math>n</math> ungeraden natürlichen Zahlen <math>(a_1=1, d=2)</math> gilt

:<math>\sum_{k=1}^n(2k-1) = 1 + 3 + 5 + 7 +\dotsb+ (2n-1) = n \cdot \frac{1 + 2n - 1}{2} = n^2</math> .

== Arithmetische Reihen höherer Ordnung ==
Die Definition einer arithmetischen Reihe lässt sich mithilfe von [[Arithmetische Folge#Arithmetische Folgen höherer Ordnung|arithmetischen Folgen höherer Ordnung]] verallgemeinern. Eine Reihe heißt demnach ''arithmetische Reihe höherer Ordnung'', wenn sie durch Summierung einer arithmetischen Folge höherer Ordnung entsteht.<ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=18}}</ref>

=== Berechnung ===
Formeln zur Berechnung von Gliedern arithmetischen Reihen allgemeiner Ordnung:

* <math>\sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}</math>
* <math>\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
* <math>\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>

Im allgemeinen Fall gilt die [[Faulhabersche Formel]]:

* <math>\sum_{i=1}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}</math>.

Dabei bezeichnet <math>B_k</math> die <math>k</math>-te [[Bernoulli-Zahl]].

== Siehe auch ==

* [[Arithmetische Folge]]
* [[Geometrische Reihe]]
* [[Differenzenfolge]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticProgression|title=Arithmetic progression}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticSeries|title=Arithmetic series}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Arithmetische Reihe - Versionsgeschichte

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