imported>BumbleMath: Zusammenhang zur Optimierung hergestellt und in Anlehnung an die englische Fassung des Artikels (und die Literatur) die Notation etwas flexibler gestaltet, sodass die Maximierung nicht immer über dem ganzen Definitionsbereich von f stattfinden muss, sondern Teilmengen M davon ggf. ausreichen.

2023-12-16T18:04:43Z

Zusammenhang zur Optimierung hergestellt und in Anlehnung an die englische Fassung des Artikels (und die Literatur) die Notation etwas flexibler gestaltet, sodass die Maximierung nicht immer über dem ganzen Definitionsbereich von f stattfinden muss, sondern Teilmengen M davon ggf. ausreichen.

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{{DISPLAYTITLE:arg max}}
Die Bezeichnung '''arg max''' ('''argumentum maximi''', dt. '''Argument des Maximums''') wird in der [[Analysis]] und [[Optimierung (Mathematik) |Optimierung]] verwendet, um anzugeben, an welchem Argument das Maximum einer gegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] angenommen wird. Analog dazu wird '''arg min''' im Minimierungsfall benutzt. Für [[Optimierungsproblem|Optimierungsprobleme]] wird mit <math>{\operatorname{arg\,max}}_M f</math> auch der ''Optimalpunkt'' von <math>f</math> auf der Menge <math>M</math> bezeichnet.

{{Siehe auch|Optimierungsproblem#Mathematische Definition und Begriffe}}

== Definition ==
[[File:Si_sinc.svg|thumb|350px|Die normierte und nicht-normierte [[sinc]] Funktion haben <math>\operatorname{argmax}</math> 0, da ihr maximaler Wert 1 an der Stelle ''x'' = 0 angenommen wird.]]
Ist <math>D</math> der [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> und <math>M\subseteq D</math> eine Teilmenge desselbigen, dann ist <math>{\operatorname{arg\,max}}_M</math> von <math>f</math> die Stelle <math>x_\mathrm{max}</math>, an der die Funktion ihr Maximum auf <math> M</math> annimmt, das heißt

:<math> x_\mathrm{max}=\underset{x \in M}{\operatorname{arg\,max}}\,f(x) :\Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in M} f(x).</math>

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt oder kein Maximum hat.

Falls <math>M=D</math> gilt oder aus dem Kontext heraus klar ist, auf welche Menge <math>M</math> sich die Maximierung bezieht, schreibt man verkürzend auch nur <math>{\operatorname{arg\,max}} f</math>.

=== Beispiel ===
Die Funktion <math>f(x)=x(10-x)</math> besitzt den maximalen Wert <math>25</math>, der an der Stelle <math>x_\mathrm{max}=5</math> angenommen wird. Daher gilt
:<math>\underset{x\in\R}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5.</math>

== Alternative Definition ==
Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird <math>\arg\max</math> alternativ auch als [[mengenwertige Abbildung]] erklärt:
:<math>\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \ f(y) \le f(x)\} = f^{-1}\left( \max_{x \in D} f(x) \right)</math>
Analog dazu wird
:<math>\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,min}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \ f(y) \ge f(x)\} = f^{-1}\left(\min_{x \in D} f(x) \right)</math>
definiert.

=== Beispiel ===
:<math>\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.</math>

== Literatur ==

* Peter Gritzmann ''Grundlagen der Mathematischen Optimierung'', Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.

[[Kategorie:Analysis]]

Arg max - Versionsgeschichte