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2025-12-09T19:02:27Z

Ergänzung zum archimedischen Axiom als math. Satz

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[[Datei:01 Archimedisches Axiom.svg|mini|Veranschaulichung des archimedischen Axioms: Egal wie klein die Strecke <math>x</math> ist, wenn man diese Strecke nur hinreichend oft aneinander legt, wird die Gesamtlänge größer als die der Strecke <math>y.</math>]]
Das sogenannte '''archimedische Axiom''' ist nach dem antiken Mathematiker [[Archimedes]] benannt, es ist aber älter und wurde schon von [[Eudoxos von Knidos]] in seiner Größenlehre formuliert.<ref>überliefert in: Euklid, [[Euklids Elemente|Elemente]] V, Definition 4: ''Dass sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen.''</ref> In moderner Präzisierung lautet es folgendermaßen:

:Zu je zwei reellen Zahlen <math>y>x>0</math> existiert eine natürliche Zahl <math>n\in \N</math> mit <math>n \cdot x>y</math>.

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug hintereinander abträgt.

Eine geordnete [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] oder ein [[geordneter Körper]], in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt ''archimedisch geordnet''.

Für den Körper <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] wird es manchmal [[axiom]]atisch eingeführt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines [[Geordneter Körper|geordneten Körpers]] und dem [[Supremum]]saxiom (''Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum'') beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind. In diesem Kontext ist das archimedische Axiom dann ein [[Satz (Mathematik)|Theorem]].

== Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper ==

Es sei <math>x>0.</math>

''Behauptung:'' Für jedes <math>y>x</math> gibt es eine natürliche Zahl <math>n</math>, so dass <math>n\cdot x>y</math> gilt.

''Gegenannahme:'' Es gibt ein <math>y>x</math>, so dass <math>n\cdot x\leq y</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n.</math>

Aus der Gegenannahme folgt, dass <math>y</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> eine obere Schranke für <math>n\cdot x</math> ist. Mit dem [[Supremum]]saxiom folgt daraus die Existenz einer kleinsten oberen Schranke <math>y_0</math>. Gilt aber <math>n\cdot x\leq y_0</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math>, so gilt auch <math>\left(n+1\right)x\leq y_0</math> und somit auch <math>n\cdot x\leq y_0-x</math> für alle natürlichen Zahlen <math>n</math>. Dann ist aber auch <math>y_0 - x</math> eine obere Schranke für <math>n\cdot x</math>. Wegen <math>y_0 - x < y_0 </math> ist also <math>y_0</math> keine kleinste obere Schranke, was im Widerspruch zur Definition von <math>y_0</math> steht. Somit muss die Gegenannahme falsch sein und die Behauptung ist bewiesen.

== Folgerungen aus dem archimedischen Axiom ==

Zu jeder Zahl <math>x\in\mathbb{R}</math> gibt es <math>n_1,n_2\in\mathbb{N}</math>, so dass <math>n_1>x</math> und <math>-n_2<x</math>. Daraus folgt: Zu jedem <math>x\in\mathbb{R}</math> gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl <math>n\in\mathbb{Z}</math> mit

:<math>n\leq x < n+1.</math>

Dabei wird <math>n</math> mit <math>\lfloor x\rfloor</math> oder <math>\operatorname{floor}(x)</math> bezeichnet (siehe [[Gaußklammer]]). Ebenso existiert eine eindeutig bestimmte Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> mit

:<math>m-1 < x \leq m</math>

welche mit <math>\lceil x\rceil</math> oder <math>\operatorname{ceil}(x)</math> bezeichnet wird. Damit gilt auch: für alle <math>\varepsilon>0</math> existiert ein <math>n \in \mathbb{N}</math> mit <math>n>1/\varepsilon</math> und daher umgekehrt <math>1/n<\varepsilon</math>. In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] oder [[Divergente Folge|Divergenz von Folgen]] nachzuweisen.

Weiterhin folgt aus dem archimedischen Axiom, dass es für zwei reelle Zahlen <math>a,b\in\mathbb{R}, a < b</math> immer eine rationale Zahl <math>q\in\mathbb{Q}</math> mit <math>a < q < b</math> gibt und dass die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] im Körper <math>\mathbb{R}</math> nicht nach oben beschränkt ist.

== Archimedisch geordnete abelsche Gruppen ==
Eine '''geordnete abelsche Gruppe''' ist eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit einer kommutativen Verknüpfung <math>+</math> und einer mit der Gruppenstruktur verträglichen Ordnungsstruktur <math>\le</math>. Die Ordnungsrelation muss als solche [[Reflexive Relation|reflexiv]] (für alle <math>x\in G</math> gilt <math>x\le x</math>) und [[Transitive Relation|transitiv]] (aus <math>x\le y \le z</math> folgt <math>x\le z</math>) sein; als [[Geordnete abelsche Gruppe|Gruppenverträglichkeit]] bezeichnet man die Eigenschaft, dass für alle <math>x, y, z\in G</math>
:<math>x + z \le y + z</math> aus <math>x \le y</math> folgt.

Eine geordnete [[abelsche Gruppe]] ist '''archimedisch geordnet''', wenn gilt:
:Zu je zwei Elementen <math>x</math> und <math>y</math> der Gruppe mit <math>y > x > 0</math> existiert eine natürliche Zahl <math>n\in \N</math> mit <math>n\cdot x > y</math>.

{{Anker|Satz von Hölder}}'''Satz von Hölder'''<ref>[[Otto Hölder]] ''Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass'', Ber. Verh. Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften Leipzig, Math. Phys. Klasse, Band 53, 1901, S. 1–64.</ref>

Jede archimedisch [[Geordnete abelsche Gruppe|geordnete Gruppe]] <math>G</math> ist kommutativ und isomorph zu einer additiv geordneten Untergruppe von <math>\R</math>.

Dabei ist für ein <math>g \in G </math> mit <math>g > 0</math> und additiv geschriebener Gruppenverknüpfung die Abbildung
:<math>x \mapsto r = \sup\, \Bigl\{\, \frac {z}{n} \,\Big|\, z \in \Z, n \in \N, z \cdot g < n \cdot x \,\Bigr\}</math>
ein Isomorphismus von <math>G</math> in eine additive geordnete Untergruppe von <math>\R</math>, wobei <math>n \cdot x = \underbrace{x+x+\dotsb+x}_{n\text{-mal}} </math> für <math> x \in G </math> und <math>n \in \N</math> und <math>z\cdot g = -z \cdot (-g)</math> für <math> z \in \Z </math> und <math> z < 0</math>.<ref>[[Alexander Gennadjewitsch Kurosch]] ''Vorlesungen über Allgemeine Algebra.'' Harri Deutsch, Zürich 1964.</ref>

Das Element <math>g</math> kann dabei als Einheit verwendet werden, mit dem jedes Gruppenelement <math>x</math> gemessen werden kann. Das bedeutet, für jedes Element <math>x</math> der Gruppe existiert ein <math>r\in \R</math> so, dass <math>x = r \cdot g</math>.

'''Beispiel''': Die [[Intervall (Musik)|Intervalle]] in der Musiktheorie bilden eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe und können alle mit der Einheit Oktave oder [[Cent (Musik)|Cent]] gemessen werden. Siehe: [[Tonstruktur (mathematische Beschreibung)#Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik|Tonstruktur]].

'''Klassifizierung''': Entweder ist eine archimedisch geordnete Gruppe <math>G</math> von der Form <math>G = {0}</math> oder <math>G = \{\dots, -3a, -2a, -a, 0, a, 2a, 3a, \dots\}</math> (isomorph zu der additiven Gruppe der ganzen Zahlen) oder es gibt kein kleinstes Element, was im Folgenden präzisiert wird.

Zu jedem Element <math>a > 0</math> gibt es ein <math>b</math> mit <math>0 < 2b < a</math>. (Gibt es nämlich kein minimales positives <math>a</math>, dann gibt es zu jedem <math>a > 0</math> sicher ein <math>c</math> mit <math>0 < c < a</math>. Falls <math>2c < a</math> kann man <math>b = c</math> wählen. Falls <math>2c = a</math> gibt es ein <math>b</math> mit <math>0 < 2b < 2c = a</math> und falls <math>2c > a</math> gilt für <math>b = a - c</math> die Ungleichung <math>0 < 2b = 2a - 2c < 2a - a = a</math>.)

== Nichtarchimedisch angeordnete Körper ==
Ein Beispiel für einen angeordneten Körper, in dem das Axiom des Archimedes nicht gilt, ist der in der [[Nichtstandardanalysis]] studierte Körper der [[Hyperreelle Zahl|hyperreellen Zahlen]].

Ein einfacheres Beispiel besteht aus den [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]] <math>R(x)</math> über dem rationalen (oder dem reellen) Zahlenkörper, die so geordnet werden, dass <math>x</math> größer ist als alle Zahlen (das geht auf eindeutige Weise).

== Historisches ==
Euklid gibt in den [[Euklids Elemente|Elementen]] in Buch 3 Proposition 16<ref>[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII16.html Euklid, Buch 3, Proposition 16, bei David Joyce]</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] |Titel=Elementarmathematik vom Höheren Standpunkt Aus, Band 2 |Hrsg= |Verlag=Springer Verlag |Seiten=221 f.}}</ref> ein explizites Beispiel für Größen, die das archimedische Axiom nicht erfüllen, sogenannte ''hornförmige Winkel'', die von sich berührenden gekrümmten Kurven gebildet werden, in Euklids Beispiel von einem Kreis und seiner Tangente. Sie tauchen nur an dieser Stelle in den Elementen auf.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Archimedean property|Archimedisches Axiom|audio=0|video=0}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Archimedisches Axiom}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Absolute Geometrie]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Archimedes als Namensgeber]]

Archimedisches Axiom - Versionsgeschichte

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