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2026-02-05T07:33:29Z

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[[Datei:Arbelos3.svg|mini|hochkant=1.5|Arbelos mit flächengleichem Kreis]]
[[Datei:Arbelos Shoemakers Knife.jpg|mini|Das namengebende Schustermesser]]
[[Datei:Arbelos sculpture Netherlands 1.jpg|mini|Arbelos-Skulptur in Kaatsheuvel, Niederlande]]
Der '''Arbelos''' ({{elS|Άρβυλος|Arbylos}} für „Schustermesser“) oder die '''Sichel des Archimedes''' ist eine spezielle, von drei Halbkreisen begrenzte [[geometrische Figur]]. Der berühmte griechische [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Archimedes]] soll die Eigenschaften des Arbelos untersucht und in seinem ''[[Buch der Lemmata]]'' beschrieben haben.

== Beschreibung und Eigenschaften ==
Auf dem Durchmesser <math>AB</math> eines Halbkreises (siehe obiges Bild) wählt man einen Punkt <math>D</math> und errichtet dann Halbkreise über <math>AD</math> und <math>DB</math>. Die sichelförmige Restfigur, die entsteht, wenn man die Halbkreise über <math>AD</math> und <math>DB</math> aus dem Halbkreis über <math>AB</math> entfernt, wird als ''Arbelos'' bezeichnet.

Errichtet man im Punkt <math>D</math> eine Senkrechte zum Durchmesser <math>AB</math>, so schneidet diese den zugehörigen Halbkreis in <math>C</math>. Zu den bekanntesten Aussagen über den Arbelos gehört nun, dass die Fläche des Kreises mit Durchmesser <math>CD</math> der Fläche des Arbelos entspricht. Dabei gilt:<ref name="Johnson"/>

:<math>F_\text{Arbelos} = F_\text{Kreis} = \frac{\pi \cdot |AD|\cdot |DB|}{4}</math>
=== Beweise ===

==== Anhand expliziter Flächenberechnungen ====
Man zeichne das Hilfsdreieck <math>ABC</math>. Nach dem [[Satz des Thales]] ist das Dreieck rechtwinklig und die Seite <math>AB</math> seine Hypotenuse, bestehend aus den Abschnitten <math>AD</math> und <math>DB</math>. Nach dem [[Höhensatz]] des Euklid ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks <math>ABC</math> gleich dem Produkt der beiden Hypotenusen-Abschnitte:

: <math>|DC|^2 = |AD| \cdot |DB|</math>

Der Kreis, dessen Durchmesser durch <math>D</math> und <math>C</math> geht, habe den Radius <math>r</math>. Die Höhe des Dreiecks ist also <math>2r</math>.
Die Strecke <math>AB</math> ist der Durchmesser des großen Halbkreises. Nennt man den Radius des kleineren Halbkreises <math>a</math> und denjenigen des kleinsten Halbkreises <math>b</math>, so ist <math>|AB| = 2a + 2b</math>. Der Radius des großen Halbkreises ist demnach die Hälfte von <math>2a + 2b</math>, also <math>a + b</math>.

Nach dem [[Satzgruppe des Pythagoras#Höhensatz des Euklid|Höhensatz des Euklid]] gilt: <math>(2r)^2 = 2a \cdot 2b</math>, also <math>r^2 = a \cdot b</math>.

Mit algebraischen Methoden (also abstraktem Ausrechnen – diese standen den Griechen noch nicht zur Verfügung) sieht man schnell, dass die Behauptung stimmt (man gewinnt jedoch keinerlei Einsichten, warum das so ist). Der Flächeninhalt <math>F</math> des Arbelos ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises minus dem Flächeninhalt der beiden kleinen Halbkreise:

: <math>
\begin{align}
F_\text{Arbelos} & = \frac{1}{2} \pi (a + b)^2 - \left(\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} \pi b^2 \right) = \frac{1}{2} \pi (a + b)^2 - \frac{1}{2} \pi \left(a^2 + b^2 \right) = \\
& = \frac{1}{2} \pi \left(a^2 + 2 a b + b^2 - a^2 - b^2 \right) = \frac{1}{2} \pi \cdot 2 a b = \pi \cdot a \cdot b
\end{align}
</math>

Der Flächeninhalt des Kreises, der durch <math>D</math> und <math>C</math> geht, ist <math>r^2 \pi</math>. Wie oben gezeigt, gilt nach dem zweiten Satz des Euklid <math>r^2 = a \cdot b</math>. Es kann also in der Formel für den Flächeninhalt des Arbelos statt <math>a \cdot b</math> nunmehr <math>r^2</math> eingesetzt werden, somit ergibt sich:

: <math>F_\text{Arbelos} = \pi \cdot r^2</math>.

Damit ist bewiesen, dass der Flächeninhalt des Arbelos gleich demjenigen des Kreises ist, der durch <math>D</math> und <math>C</math> geht.

==== Visueller Beweis der Flächengleichheit ====
Der folgende besonders einfache Beweis der Flächengleichheit verwendet eine [[Satz des Pythagoras#Ähnliche Figuren, errichtet über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks|Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf ähnliche Figuren]] und benötigt keine Flächenformeln oder explizite Flächenberechnungen.<ref>Roger B. Nelsen: ''Proof without Words: The Area of an Arbelos''. In: ''Mathematics Magazine'', Band 75, Nr. 2 (Apr., 2002), S. 144 </ref>
[[Datei:Arbelos proof.svg|zentriert]]

=== Weitere Eigenschaften ===
[[Datei:Arbelos yet another.svg|mini|hochkant=1.5|Arbelos]]
[[Datei:Arbelos2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschachtelte Arbeloskonstruktionen, die beiden grauen Halbkreise sind gleich groß]]
Die Länge des großen Bogens entspricht der Summe der Längen der beiden kleineren Bögen, also:<ref name="Johnson"> R. A. Johnson: ''Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle''. Houghton Mifflin, Boston 1929, S. 116–117. </ref>
:<math>|\widehat{AB}|=|\widehat{AD}|+|\widehat{DB}|</math>
Dementsprechend gilt auch, dass der Umfang des großen Halbkreises der Summe der Umfänge der beiden kleineren Halbkreise entspricht.

Der zum Arbelos flächengleiche Kreis mit Durchmesser <math>CD</math> schneidet den Halbkreis über <math>AD</math> in <math>G</math> und den Halbkreis über <math>DB</math> in <math>F</math>. Diese beiden Schnittpunkte haben eine Reihe besonderer Eigenschaften, so ist ihre Verbindungsstrecke <math>FG</math> ein weiterer Durchmesser des Kreises und das Sehnenviereck <math>CGDF</math> ist ein Rechteck, dessen Diagonalen die Strecken <math>CD</math> und <math>FG</math> sind. Außerdem liegt die Verbindungsstrecke <math>FG</math> auf der gemeinsamen (äußeren) Tangente der Halbkreise über <math>AD</math> und <math>DB</math> und der Punkt <math>G</math> liegt auf der Strecke <math>AC</math> sowie der Punkt <math>F</math> auf der Strecke <math>BC</math>.<ref name="Aumann">Günter Aumann: ''Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 193–200 </ref><ref name="Johnson"/>

Teilt man den Arbelos entlang der Senkrechten <math>CD</math>, so lässt sich für beide Teile je ein einbeschriebener Kreis konstruieren, der jeweils die Senkrechte, den äußeren Halbkreis und den jeweiligen inneren Halbkreis berührt (Spezialfall des [[Apollonisches Problem|Apollonischen Problems]]). Diese beiden Kreise besitzen den gleichen Radius <math>r</math> mit
:<math>r=\frac{|AD|\cdot |DB|}{2(|AD|+|DB|)}</math>
und werden als [[Zwillingskreise des Archimedes]] bezeichnet.<ref name="Aumann"/>

Das von dem Berührungspunkt <math>D</math> der beiden inneren Halbkreise und den Mitten <math>G</math>, <math>F</math>, <math>H</math> der drei Halbkreisbögen gebildete Viereck ist ein Rechteck und seine Fläche beträgt:<ref name="Sondow"/>
:<math>F_{DGFH} = \frac{2}{\pi}F_\text{Arbelos}</math>

Führt man mit den beiden inneren Halbkreisen eines Arbelos erneut eine Arbeloskonstruktion durch, die ähnlich zum Ausgangsarbelos ist, dann sind die beiden neuen inneren Halbkreise mit dem gemeinsamen Punkt <math>D</math> flächengleich.<ref name="Sondow"/>

== Varianten und Verallgemeinerungen ==
=== Andere Kurven anstatt Halbkreise ===
[[Datei:F-belos.svg|mini|hochkant=1.0|Beispiel für einen ''f''-belos]]
Das Konstruktionsprinzip des Arbelos kann man auch mit anderen Kurven anstatt mit Halbkreisen durchführen. Ersetzt man die Halbkreise durch Parabelsegmente, so wird die entstehende Figur als [[Parbelos]] bezeichnet.<ref name="Sondow">Jonathan Sondow: ''The Parbelos, a Parabolic Analog of the Arbelos''. In: ''The American Mathematical Monthly'', Band 120, Nr. 10 (Dezember 2013), S. 929–935 ([https://www.jstor.org/stable/pdf/10.4169/amer.math.monthly.120.10.929.pdf JSTOR]) </ref>

Eine Verallgemeinerung, die sowohl den Arbelos als auch den Parbelos umfasst, ist der ''f''-belos, der zur Konstruktion (ähnliche) Segmente [[Differenzierbarkeit|differenzierbarer Funktionen]] verwendet.<ref>Antonio M. Oller-Marcen: [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201310.pdf ''The f-belos'']. In: ''Forum Geometricorum'', Band 13 (2013), S. 103–111. </ref>

=== Verallgemeinerung des Arbelos und des Salinons ===
[[Datei:01 Arbelos, Verallgemeinerung-Schaubild.svg|mini|hochkant=1.5|Verallgemeinerung des Arbelos und des Salinons des Archimedes mithilfe des flächengleichen Kreises]]
Wolfgang Zeuge fand Mitte der 1980er Jahre den im Folgenden beschriebenen Satz. Wie er in seinem Buch anmerkt, konnte er diesen weder in der Literatur noch im Internet finden.
{{Zitat
|Text=Der verallgemeinerte Arbelos (oder Salinon) ist die von vier Halbkreisen, deren Mittelpunkte auf der Geraden AB liegen, begrenzte [grüne] Fläche [s. Abbildung]. Er ist flächengleich zu dem Kreis, dessen Durchmesser <math>d_{max}</math> die maximale senkrechte Verbindung von den kleinen Halbkreisen zu dem großen Halbkreis ist.
|Sprache=de
|Autor=Wolfgang Zeuge
|Quelle=9.4 Die Verallgemeinerung des Arbelos und des Salinons des Archimedes
|ref=<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 157–159</ref>}}

==== Konstruktion ====
Es beginnt mit den Ziehen der Halbkreise mit den Radien <math>a, b</math> und <math>c</math> auf einer [[Halbgerade]]n aneinandergereiht ab dem Punkt <math>A</math> um deren Mittelpunkte <math>M_a, M_b</math> und <math>M_c</math>. Für <math>c</math> wählt man einfachheitshalber <math>c<a</math>, dies ist aber keine Bedingung. Dabei ergibt sich der Durchmesser <math>|AB|</math> des großen Halbkreises. Es folgt die Halbierung von <math>|AB|</math> in <math>M_r</math> mit dem Einzeichnen des Halbkreises mit Radius <math>r=a+b+c</math>. Für den damit erzeugten Flächeninhalt <math>F_{vA}</math> des verallgemeinerten Arbelos (oder Salinon) gilt:<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 158</ref>
[[Datei:01 Arbelos, Verallgemeinerung-Konstruktion.svg|mini|hochkant=1.5|Konstruktionsskizze: Arbelos (oder Salinon), Verallgemeinerung]]

<math>\begin{align}\;
F_{vA} &= \frac{\pi}{2}\left(r^2-a^2+b^2-c^2 \right) \\
&= \frac{\pi}{2}\left(\left(a+b+c\right)^2-a^2+b^2-c^2\right) \\
&= \pi\left(b^2+ab+ac+bc\right).
\end{align}</math>

Es geht weiter mit dem Bestimmen des Schnittpunktes <math>S</math> auf dem Durchmesser <math>|AB|</math> für den darauf senkrecht stehenden Durchmesser <math>|DC|</math>. Wegen des gewählten Radius <math>c<a</math> liegt <math>S</math> zwischen den Mittelpunkten <math>M_r</math> und <math>M_b</math>.
Wolfgang Zeuge beschreibt nicht explizit dessen [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]. Der Punkt <math>S</math> wird deshalb nach der elementaren Konstruktion eines Riemenantriebs (siehe Konstruktionsskizze) mithilfe des [[Satz des Thales#Konstruktion einer Kreistangente|Satz des Thales]] erläutert.

Hierzu wird der Radius <math>c</math> auf den Durchmesser <math>|AB|</math> ab <math>A</math> übertragen und anschließend der Halbkreis um die Mittelpunkte <math>M_a</math> mit Radius <math>|M_aE|</math> gezogen, bis er <math>|AB|</math> in <math>F</math> schneidet. Es folgt die Halbierung der Strecke <math>\overline{M_aM_c}</math> in <math>G</math> und das Ziehen des Thaleskreises über <math>\overline{M_aM_c}</math> mit Schnittpunkt <math>H</math>. Eine Halbgerade ab <math>M_a</math> durch <math>H</math> bringt den Schnittpunkt <math>I</math>, eine zweite Halbgerade ab <math>M_c</math> erzeugt den Schnittpunkt <math>J</math>. Nach dem Verbinden des Punktes <math>I</math> mit <math>J</math> wird die Strecke <math>\overline{IJ}</math> in <math>M_d</math> halbiert. Das Errichten einer Senkrechten auf den Durchmesser <math>|AB|</math> durch <math>M_d</math> liefert den Schnittpunkt <math>S</math> sowie den Durchmesser <math>|CD|</math> des gesuchten Kreises. Der Flächeninhalt des Kreises <math>CJDI</math> (gelb, siehe Beweisskizze) ist gleich dem des Arbelos (oder Salinons) (grün).

==== Beweis ====
[[Datei:01 Arbelos, Verallgemeinerung.svg|mini|hochkant=1.5|Beweisskizze: Arbelos (oder Salinon), Verallgemeinerung]]
Da der Punkt <math>S</math> bereits konstruktiv ermittelt wurde und somit auch die Länge <math>x=|M_rS|</math> bekannt ist, sei hier nur hingewiesen auf die hergeleitete Formel der Länge <math>x</math>:<ref name="Zeuge">Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 159</ref>
:<math>x=\frac{r\left(a-c \right)}{b+r}</math>

In der nebenstehenden Beweisskizze ist zu erkennen, dass die Radien <math>r</math> und <math>b</math> zueinander parallel verlaufen und damit die ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke <math>M_rSD</math> und <math>M_bSC</math> bilden. Aus diesen beiden ähnlichen Dreiecken gewinnt man die zwei folgenden Gleichungen:<ref name="Zeuge" />
:<math>d_\text{max}=|CD|=|SD|\cdot\frac{b+r}{r}</math>
und
:<math>|SD|=\sqrt{r^2-x^2}.</math>

Nach dem Einsetzen und Vereinfachen gilt für den Flächeninhalt <math>F_K</math> des Kreises:<ref name="Zeuge" />

<math>\begin{align}\;
F_K &= \frac{\pi}{4}\cdot (d_\text{max})^2\\
&= \frac{\pi}{4}\cdot\frac{\left(b+r\right)^2}{r^2}\cdot\left(r^2-\frac{r^2\left(a-c\right)^2}{\left( b+r\right)^2}\right)\\
&= \frac{\pi}{4}\cdot\left( \left(b+r\right)^2-\left(a-c\right)^2\right)\\
&= \frac{\pi}{4}\cdot\left( \left(a+2b+c \right)^2-\left(a-c\right)^2\right)\\
&= \frac{\pi}{4}\cdot\left(a^2+4b^2+c^2+4ab+2ac+4bc-a^2+2ac-c^2\right)\\
&= \pi\cdot\left(b^2+ab+ac+bc\right),
\end{align}</math>

womit der Satz bewiesen ist.

== Siehe auch ==
* [[Salinon]]

== Literatur ==
* [[Günter Aumann]]: ''Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 193–200
* Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie''. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, Kapitel 9 (8 Seiten)
* [[Roger Arthur Johnson|R. A. Johnson]]: ''Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle''. Houghton Mifflin, Boston 1929, S. 116–117.
* L. Raphael: ''The Shoemaker's Knife''. In: ''The Mathematics Teacher'', Band 66, Nr. 4 (APRIL 1973), S. 319–323 ([https://www.jstor.org/stable/27959281 JSTOR])
* [[Harold P. Boas]]: ''Reflections on the Arbelos''. In: ''The American Mathematical Monthly'', Band 113, Nr. 3 (März, 2006), S. 236–249 ([https://www.jstor.org/stable/27641891 JSTOR])
* Hiroshi Okumura: ''The arbelos in Wasan geometry, problems of Izumiya and Naitō''. In: ''Journal of Classical Geometry'', Band 4 (Digitalisate: [https://jcgeometry.org/Articles/Volume4/Okumura.pdf Journal of Classical Geometry], [https://www.researchgate.net/publication/331971708_THE_ARBELOS_IN_WASAN_GEOMETRY_PROBLEMS_OF_IZUMIYA_AND_NAIT_O Researchgate])

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* {{MathWorld|Arbelos|Arbelos}}
* [https://www.retas.de/thomas/arbelos/arbelos.html Interaktives Diagramm], das zahlreiche Eigenschaften visualisiert (englisch)
* [https://www.mathematische-basteleien.de/arbelos.htm ''Arbelos''] auf mathematische-basteleien.de

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Geometrische Figur]]

Arbelos - Versionsgeschichte

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