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2020-05-11T19:09:13Z

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Der '''Approximationssatz von Kronecker''' gehört zu den zahlreichen [[Theorem]]en der [[Mathematik]], welche mit dem Namen des deutschen Mathematikers [[Leopold Kronecker]] verbunden sind. Dieser Satz steht gleichrangig neben anderen bekannten ''[[Approximationssatz|Approximationssätzen]]'' aus dem Gebiet der [[Diophantische Approximation|diophantischen Approximation]] wie etwa dem [[Liouvillesche Zahl|Liouvilleschen Approximationssatz]], dem [[Dirichletscher Approximationssatz|Dirichletschen Approximationssatz]] oder dem [[Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)|Satz von Hurwitz der Zahlentheorie]]. Wie jene behandelt auch der Approximationssatz von Kronecker das Problem der [[Approximation|Annäherung]] [[Irrationale Zahl|irrationaler Zahlen]] durch [[Rationale Zahl|Bruchzahlen]].

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich formulieren wie folgt<ref>{{Literatur |Autor=Koksma |Titel=Diophantische Approximationen |Datum=1974 |Seiten=83}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Scheid |Titel=Zahlentheorie |Datum=2003 |Seiten=66}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Rieger |Titel=Zahlentheorie |Datum=1976 |Seiten=139}}</ref>:

: ''Gegeben seien [[reelle Zahl]]en   <math> \eta </math>   und   <math> \delta </math>   mit   <math> \delta > 0 </math>   und ferner eine [[natürliche Zahl]]   <math> n </math>  .''
:
:
: ''Dann existieren zu jeder [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahl]]   <math>\xi </math>   [[natürliche Zahl]]en   <math> p </math>   und   <math> q </math>   mit   <math> q > n </math>  , so dass''
:::<math>\left |\xi- {\frac{p + {\eta }}{q}} \right| < \frac{ {\frac{1}{2}} + {\frac{1}{\sqrt{5}}} + \delta }{q^2}</math>
: ''erfüllt ist.''
:
:
: ''Insbesondere ist für jede [[irrationale Zahl]]   <math>\xi </math>   die Menge''
:::<math> \{ {q \cdot \xi} - \lfloor {q \cdot \xi} \rfloor \mid q \in \N \} </math><ref><math> \lfloor x \rfloor</math> = [[Ganzzahlfunktion]] von <math>x</math>.</ref>
: ''[[Dichte Teilmenge|dicht]] im [[Intervall (Mathematik)#Beispiele|offenen Einheitsintervall]]   <math>{]0, 1[}</math>  .''

== Bemerkung ==
Der Satz lässt sich als direkte Folgerung aus dem [[Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)|Satz von Hurwitz der Zahlentheorie]] schließen und kann damit als Folge der speziellen Eigenschaften der [[Farey-Folge]]n betrachtet werden.<ref>{{Literatur |Autor=Scheid |Titel=Zahlentheorie |Datum=2003 |Seiten=62 ff}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Jurjen Koksma|Jurjen Ferdinand Koksma]]
|Titel=Diophantische Approximationen
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=1974
|ISBN=3-540-06300-5
|Kommentar=Reprint der Ausgabe 1936}}
* {{Literatur
|Autor=[[Georg Johann Rieger]]
|Titel=Zahlentheorie
|Verlag=[[Vandenhoeck & Ruprecht]]
|Ort=Göttingen
|Datum=1976
|ISBN=3-525-40138-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harald Scheid]]
|Titel=Zahlentheorie
|Auflage=3.
|Verlag=[[Spektrum Akademischer Verlag]]
|Ort=Heidelberg u. a.
|Datum=2003
|ISBN=3-8274-1365-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Zahlentheorie)|Kronecker, Approximationssatz von]]
[[Kategorie:Leopold Kronecker als Namensgeber]]

Approximationssatz von Kronecker - Versionsgeschichte

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