imported>FerdiBf: Link

2025-12-11T15:14:03Z

Link

Neue Seite

Die '''Approximationseigenschaft''' ist eine Eigenschaft von [[Banachraum|Banachräumen]], bei der es um die Approximation [[kompakter Operator]]en durch [[linearer Operator|lineare Operatoren]] [[Operator endlichen Ranges|endlichen Ranges]] geht. Es war vierzig Jahre lang ein offenes Problem, ob alle Banachräume diese Eigenschaft haben. Ein eng damit verwandtes Problem ist die Frage, ob alle separablen Banachräume eine [[Schauderbasis]] besitzen.

== Wie es begann ==
Die Geschichte dieses Begriffs beginnt am 6. November 1936. [[Stefan Banach]] pflegte im [[Kawiarnia Szkocka|Schottischen Café]] zu [[Lemberg|Lwów]], damals Lemberg, über mathematischen Problemen zu grübeln. Zur Dokumentation dieser Probleme wurde ein Notizbuch angeschafft, in dem sich nicht nur die [[Lemberger Mathematikerschule|mathematische Elite Lembergs]] wiederfindet, sondern auch Problemformulierungen von [[John von Neumann]], [[Maurice René Fréchet]] oder [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]]. Zur Lösung der Probleme wurden manchmal Preise wie „zwei kleine Bier“ oder „eine Flasche Wein“ in Aussicht gestellt. Dieses Buch heißt wegen des Cafés das ''[[Schottisches Buch|Schottische Buch]]'' und konnte über den Krieg hinaus gerettet werden (siehe dazu [[Massenmorde in Lemberg im Sommer 1941]], [[Deutsche Besetzung Polens 1939–1945]]). Am 6. November 1936 trug [[Stanisław Mazur]] das folgende Problem Nummer 153 ein:

Sei <math>f(x,y)</math> eine [[stetige Funktion]] für <math>0\le x,y \le 1</math> und sei <math>\epsilon > 0</math>.
Gibt es endlich viele Zahlen <math>a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n,c_1\ldots,c_n</math>, so dass

<math>\big|f(x,y) - \sum_{k=1}^nc_k\cdot f(a_k,y)f(x,b_k)\big| \le \epsilon</math>
für alle <math>0\le x,y \le 1</math> ?

[[Stanisław Mazur]] fügte hinzu, dass diese Aussage klar sei, falls <math>f</math> stetige Ableitungen besitze. Der Preis für eine Lösung des allgemeinen Falls war eine lebende Gans.

In dieser Formulierung wird eine Funktion zweier Variabler als Summe von Produkten von Funktionen mit nur einer Variablen approximiert. Das Problem lässt daher eine Beziehung zu [[Tensorprodukt]]en vermuten. In der Tat, als [[Alexander Grothendieck]] in den 50er Jahren über natürliche [[Topologie (Mathematik)|Topologien]] auf Tensorprodukten [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexer Räume]] arbeitete, fand er gleich zwei solcher Topologien und eine Eigenschaft, die die lokalkonvexen Räume haben sollten, damit diese beiden Topologien zusammenfallen. Dazu würde es genügen, wenn jeder [[Banachraum]] diese Eigenschaft hätte. Dies ist die sogenannte Approximationseigenschaft, die sich auch ohne Rückgriff auf den Begriff des Tensorprodukts definieren lässt:

== Definition der Approximationseigenschaft ==
Ein Banachraum E hat die '''Approximationseigenschaft''', wenn es zu jeder [[kompakter Raum|kompakten]] Menge <math>K\subset E</math> und jedem <math>\epsilon > 0</math> einen [[Beschränkter Operator|stetigen]], [[linearer Operator|linearen Operator]] <math>T:E\rightarrow E</math> endlichen [[Rang (Lineare Algebra)|Ranges]] gibt, so dass <math>\|Tx-x\| \le \epsilon</math> für alle <math>x\in K</math>.

=== Äquivalente Formulierung ===
Ein Banachraum E hat genau dann die Approximationseigenschaft, wenn es zu jedem Banachraum F und jedem [[kompakter Operator|kompakten Operator]] <math>S:F\rightarrow E</math> und jedem <math>\epsilon > 0</math> einen [[Beschränkter Operator|stetigen]], [[linearer Operator|linearen Operator]] <math>T:F\rightarrow E</math> endlichen [[Rang (Lineare Algebra)|Ranges]] mit <math>\|T-S\|\le\epsilon</math> gibt.

=== Beschränkte und metrische Approximationseigenschaft ===
Kann man die Norm der approximierenden Operatoren <math>T</math> in obiger Definition sogar durch eine Konstante beschränken, so sagt man, der Banachraum habe die '''beschränkte Approximationseigenschaft'''. Kann man dies sogar mit der Konstanten 1 bewerkstelligen, so spricht man von der '''metrischen Approximationseigenschaft'''.

== Banachräume mit Schauderbasis ==
Banachräume mit [[Schauderbasis]] haben die beschränkte Approximationseigenschaft. Die Umkehrung gilt nicht, wie [[Stanislaw Szarek]] 1987 anhand eines Gegenbeispiels zeigen konnte.

Damit haben die meisten klassischen Banachräume die Approximationseigenschaft:
* [[Hilbertraum|Hilberträume]] haben die Approximationseigenschaft.
* Ist <math>(X,\mu)</math> ein Maßraum und <math>1\le p\le \infty</math>, so hat [[Lp-Raum|L<sup>p</sup>]]<math>(X,\mu)</math> die Approximationseigenschaft, insbesondere haben die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p</math> die Approximationseigenschaft.
* Der Raum <math>c_0</math> aller Nullfolgen hat die Approximationseigenschaft.
* Ist <math>X</math> ein [[vollständig regulärer Raum]], so hat <math>(C^b(X),\|\cdot\|_\infty)</math>, der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen <math>X\rightarrow {\mathbb K}</math> mit der [[Supremumsnorm]], die Approximationseigenschaft.

== Lokalkonvexe Räume ==
Die Approximationseigenschaft lässt sich wie folgt auf [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]] ausdehnen.
Ein lokalkonvexer Raum <math>E</math> hat die Approximationseigenschaft, wenn der Raum der linearen Operatoren endlichen Ranges bzgl. der Topologie der [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] auf relativ kompakten Mengen der Vervollständigung von E dicht liegt im Raum der stetigen linearen Operatoren.
D.h. ist <math>S:E\rightarrow E</math> stetig und linear, <math>U\subset E</math> eine Nullumgebung und <math>K\subset E</math> relativ kompakt in der Vervollständigung von <math>E</math>, so gibt es einen linearen Operator <math>T</math> endlichen Ranges auf <math>E</math>, so dass <math>T(x)-S(x)\subset U</math> für alle <math>x\in K</math>.

== Permanenzeigenschaften ==
* Ist <math>(E_j)_j</math> eine Familie lokalkonvexer Räume mit Approximationseigenschaft, so haben auch der Produktraum <math>\Pi_j E_j</math> (mit der [[Produkttopologie]]) und die direkte Summe <math>\textstyle \bigoplus_j E_j</math> (mit der [[Finaltopologie]]) die Approximationseigenschaft.
* Haben <math>E</math> und <math>F</math> die Approximationseigenschaft, so hat auch das [[injektives Tensorprodukt|injektive Tensorprodukt]] <math>E \otimes_\epsilon F</math> die Approximationseigenschaft.
* Sind <math>E</math> und <math>F</math> [[metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbare lokalkonvexe Räume]] mit Approximationseigenschaft, so hat auch das [[projektives Tensorprodukt|projektive Tensorprodukt]] <math>E \otimes_\pi F</math> die Approximationseigenschaft.
* Die Vervollständigung eines Raumes mit Approximationseigenschaft hat ebenfalls die Approximationseigenschaft.
* Seien <math>E</math> und <math>F</math> Banachräume, so dass <math>E\,'</math> und <math>F</math> die Approximationseigenschaft haben. Dann haben auch <math>K(E,F)</math>, der Raum der kompakten Operatoren <math>E\to F</math>, und <math>(N(E,F).\|\cdot\|_1)</math>, der Raum der [[Spurklasseoperator]]en <math>E\to F</math>, die Approximationseigenschaft.

[[Datei:MazurGes.jpg|mini|150px|right|Per Enflo nimmt den Preis entgegen.]]
== Räume ohne Approximationseigenschaft ==

Grothendieck bemerkte, dass die Frage, ob alle Banachräume die Approximationseigenschaft haben, zum Problem 153 des Schottischen Buches äquivalent ist, konnte sie aber nicht klären. Erst zwanzig Jahre später erfuhr dieses Problem durch den [[Schweden|schwedischen]] Mathematiker [[Per Enflo]] eine negative Lösung. Gleichzeitig zeigte dies, dass es Banachräume ohne Schauderbasis geben muss. Kurz nach der Veröffentlichung seiner Arbeit reiste Per Enflo nach [[Warschau]] und nahm die versprochene Gans entgegen.

Das Beispiel von Per Enflo war 'konstruiert'. Mittlerweile kennt man auch 'prominente' Banachräume ohne Approximationseigenschaft. 1981 konnte [[Andrzej Tomasz Szankowski]] zeigen, dass der Raum der [[Linearer Operator|beschränkten linearen Operatoren]] über einem unendlich-dimensionalen [[Hilbertraum]] nicht die Approximationseigenschaft hat.

Jeder Banachraum <math>\ell^p, p\in [1,\infty]\setminus\{2\}</math>, besitzt einen abgeschlossenen [[Untervektorraum]], der nicht die Approximationseigenschaft hat. Der Fall <math>p=2</math> ist hier natürlich herauszunehmen, da es sich dabei um einen Hilbertraum handelt.

== Literatur ==
* [http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/ks-szkocka/ks-szkocka3ang.pdf Englische Version des „Schottischen Buches“ (PDF; 3,1 MB)].
* [[Per Enflo]]: ''A counterexample to the approximation property in Banach spaces.'' In: ''[[Acta Mathematica]].'' Band 130, 1973, S. 309–317, {{DOI|10.1007/BF02392270}}.
* [[Hans Jarchow]]: ''Locally Convex Spaces.'' Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.
* Andrzej Szankowski: ''<math>B(\mathfrak{H})</math> does not have the approximation property.'' In: ''Acta Mathematica.'' Band 147, 1981, S. 89–108, {{DOI|10.1007/BF02392870}}.
* [[Stanisław Szarek|Stanislaw J. Szarek]]: ''A Banach space without a basis which has the bounded approximation property.'' In: ''Acta Mathematica.'' Band 159, 1987, S. 81–98, {{DOI|10.1007/BF02392555}}.
* Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory'' (= ''[[Graduate Texts in Mathematics]].'' 183). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98431-3.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Approximationseigenschaft - Versionsgeschichte

imported>FerdiBf: Link