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2018-12-09T13:34:48Z

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Eine '''Approximation der Eins''' ist ein Begriff aus der [[Mathematik|mathematischen]] Theorie der [[Banachalgebra|Banachalgebren]].
Viele für Anwendungen wichtige Banachalgebren haben kein [[Einselement]]. Eine [[Adjunktion (Einselement)|Adjunktion eines Einselement]] wäre in der Regel ein unnatürliches Vorgehen.
In solchen Situationen können aber die hier zu besprechenden Approximationen der Eins vorliegen, diese bilden dann einen Ersatz für das fehlende Einselement.

Nach Beispielen für Banachalgebren ohne Einselement werden Approximationen der Eins definiert.
Schließlich werden für die genannten Beispiele Approximationen der Eins angegeben.

== Beispiele für Banachalgebren ohne Einselement ==
* Sei <math>X</math> ein [[lokalkompakter Raum|lokalkompakter]] [[Hausdorffraum]]. Die [[C*-Algebra]] [[C0-Funktion|<math>C_0(X)</math>]] der stetigen Funktionen <math>f:X\rightarrow \Complex</math>, die im Unendlichen verschwinden, hat nur dann ein Einselement, wenn <math>X</math> kompakt ist. In diesem Fall ist die konstante Funktion 1 das Einselement. Die C*-Algebra <math>C_0(\R)</math> hat kein Einselement.
* Sei <math>G</math> eine lokalkompakte [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]. Dann hat die [[Faltung (Mathematik)|Faltungsalgebra]] [[Lp-Raum|''L<sup>1</sup>(G)'']] genau dann ein Einselement, wenn <math>G</math> [[Diskrete Topologie|diskret]] ist. In diesem Fall ist <math>\delta_e:G\rightarrow \Complex, \, \delta_e(e)=1, \delta_e(g)=0</math> für alle <math>g\not= e</math>, das Einselement (wobei <math>e</math> das neutrale Element der Gruppe ist). Die im Rahmen der [[Fourier-Transformation]] untersuchte Algebra <math>L^1(\R)</math> hat kein Einselement.
* Die C*-Algebra der [[kompakter Operator|kompakten Operatoren]], die [[Spurklasse]] und die [[Hilbert-Schmidt-Klasse]] über einem [[Hilbertraum]] <math>H</math> haben genau dann ein Einselement, wenn die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>H</math> endlich ist. In diesem Fall ist die [[identische Abbildung]] <math>1_H</math> das Einselement. In den für Anwendungen wichtigen Fällen <math>H=\ell^2</math> oder <math>H=L^2(\R)</math> liegen keine Einselemente vor.
* Die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p, \, 1\le p < \infty</math>, sind mit der komponentenweise Multiplikation Banachalgebren ohne Einselement.

== Definitionen ==
Eine '''links-Approximation der Eins''' (bzw. '''rechts-Approximation der Eins''') einer Banachalgebra
<math>A</math> ist ein [[Netz (Topologie)|Netz]] <math>(e_i)_{i\in I}</math> mit <math>e_i a \stackrel{i\in I}{\longrightarrow} a</math> (bzw. <math>a e_i \stackrel{i\in I}{\longrightarrow} a</math>) für alle <math>a\in A</math>.

Eine '''(beidseitige) Approximation der Eins''' ist ein Netz, das gleichzeitig links- und rechts-Approximation der Eins ist.

Eigenschaften des Netzes, wie z. B. [[Abzählbarkeit]] oder [[Beschränktheit]], werden auch den Approximationen der Eins zugeschrieben.

Hat <math>A</math> ein Einselement <math>e</math>, so ist das einelementige Netz <math>(e)</math> eine Approximation der Eins. Banachalgebren mit Approximation der Eins verallgemeinern also Banachalgebren mit Einselement.

== Beschränkte Approximationen der Eins ==
Hat <math>A</math> eine beschränkte links-Approximation der Eins <math>(e_i)_{i\in I}</math> und eine beschränkte rechts-Approximation der Eins <math>(f_j)_{j\in J}</math>, so kann man durch eine einfache Rechnung zeigen, dass <math>(e_i+f_j-f_je_i)_{(i,j)\in I\times J}</math> eine beidseitige beschränkte Approximation der Eins ist.

Ein [[Banachraum]] <math>X</math>, der ein <math>A</math>-[[Modul (Mathematik)|Linksmodul]] ist, heißt ein Banach-<math>A</math>-Linksmodul, wenn es eine Konstante <math>k>0</math> gibt mit <math>\|a\cdot x\| \le k \|a\|\cdot \|x\|</math> für alle <math>a\in A</math> und <math>x\in X</math>.
Ein wichtiger Spezialfall ist <math>X=A</math> mit dem Banachalgebren-Produkt als Moduloperation.

Ist <math>X</math> ein Banach-<math>A</math>-Linksmodul, und hat <math>A</math> eine beschränkte Approximation der Eins <math>(e_i)_i</math> mit <math>e_i x\rightarrow x</math> für alle <math>x\in X</math>, so kann man jedes <math>x\in X</math> über <math>A</math> faktorisieren, das heißt, es gibt ein <math>a\in A</math> und ein <math>y\in X</math> mit <math>x=ay</math>, in Formeln <math>X=A\cdot X</math>.

Der Spezialfall <math>X=A</math> verdient besondere Erwähnung: Ist <math>A</math> eine Banachalgebra mit beschränkter Approximation der Eins, so gilt <math>A=A\cdot A</math>, genauer: jedes Element aus <math>A</math> lässt sich als Produkt zweier Elemente schreiben.

== Beispiele ==
=== Nullmultiplikation ===
Ein von 0 verschiedener Banachraum wird zu einer Banachalgebra, wenn man das Produkt von je zwei Elementen als 0 erklärt.
Eine solche Banachalgebra kann keine Approximation der Eins enthalten.

=== C*-Algebren ===
* Jede C*-Algebra hat eine durch 1 beschränkte Approximation der Eins.

Mit Hilfe des [[stetiger Funktionalkalkül|stetigen Funktionalkalküls]] kann man zeigen, dass <math>\{x\in A;\, 0\le x , \|x\|\le 1\}</math> bezüglich der Ordnung <math>\le</math> (siehe [[Positiver Operator]]) auf der Menge der selbstadjungierten Elemente eine nach oben [[gerichtete Menge]] ist und daher selbst ein Netz darstellt. Dieses Netz ist eine Approximation der Eins.

In vielen Fällen kann man aber einfachere Netze (im [[Separabler Raum|separablen]] Fall sogar Folgen) angeben. Im oben genannten Beispiel <math>C_0(\R)</math> sei

[[Image:ApproximationDerEinsC0R.jpg|thumb|400px|right|Die Folge der Funktionen <math>e_n\,</math> bildet eine Approximation der Eins für <math>C_0(\R)</math>.]]

<math>e_n(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{wenn } -n \le x \le n \\ n+1+x, & \mbox{wenn } -(n+1) \le x < -n \\ n+1-x, & \mbox{wenn } n < x \le n+1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>.

Dann ist die Folge <math>(e_n)_n</math> eine Approximation der Eins in <math>C_0(\R)</math>.

=== Gruppenalgebren ===
[[Image:ApproximationDerEinsL1R.jpg|thumb|150px|right|Die Folge der Funktionen <math>\phi_n\,</math> bildet eine Approximation der Eins für <math>L^1(\R)</math>.]]

* Ist <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe, so hat <math>L^1(G)</math> eine durch 1 beschränkte Approximation der Eins.

Sei <math>\mu</math> ein Links-[[Haarmaß]] auf <math>G</math>. Ist <math>{\mathcal U}</math> eine [[Umgebungsbasis]] des neutralen Elements von <math>G</math>, so gibt es zu jedem <math>U\in {\mathcal U}</math> eine stetige Funktion <math>\phi_U: G \rightarrow \R^+_0</math> mit [[Kompakter_Raum|kompaktem]], in <math>U</math> gelegenen [[Träger (Mathematik)|Träger]], <math>\phi_U(t) \,=\, \phi_U(t^{-1})</math> für alle <math>t\in G</math> und <math>\int_G \phi_U(t)\,{\rm d}\mu(t) = 1</math>.
Da <math>{\mathcal U}</math> als Umgebungsbasis durch die [[Teilmenge|Inklusion]] gerichtet ist, ist <math>(\phi_U)_{U\in {\mathcal U}}</math> ein Netz, von dem man zeigen kann, dass es eine Approximation der Eins für <math>L^1(G)</math> ist.

Im Spezialfall <math>G=\R</math> mit dem [[Lebesgue-Maß]] als Haar-Maß kann man als Umgebungsbasis die Folge der Mengen <math>U_n=[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]</math> nehmen.
Setzt man <math>\phi_n = \phi_{U_n}</math> wie folgt

<math>\phi_n(x)=\begin{cases} n+n^2x & \mbox{wenn } -1/n \le x < 0 \\ n-n^2x, & \mbox{wenn } 0 \le x < 1/n \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>

so ist die Folge <math>(\phi_n)_n</math> eine Approximation der Eins für <math>L^1(\R)</math>.
Man kann auch beliebig oft [[differenzierbar]]e Funktionen <math>\phi_n</math> finden, die eine Approximation der Eins bilden, das spielt eine Rolle in der Theorie der [[Fourier-Transformation]] und der [[Distributionentheorie]] (Approximation der [[Delta-Distribution]]).

=== Operatorenalgebren ===
Es sei <math>\mathcal E</math> die [[gerichtete Menge]] der endlichdimensionalen Teilräume eines unendlichdimensionalen Hilbertraums <math>H</math>, <math>P_E</math> sei die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>E</math>. Dann ist <math>(P_E)_{E\in\mathcal E}</math> eine Approximation der Eins für die C*-Algebra <math>C(H)</math> der kompakten Operatoren auf <math>H</math>, sogar eine beschränkte Approximation der Eins, denn Orthogonalprojektionen haben die [[Operatornorm]] 1.

Dieses Netz ist auch eine Approximation der Eins in den [[Schatten-Klasse]]n <math>{\mathcal S}_p(H)</math>, insbesondere also in der [[Spurklasse]] und in der [[Hilbert-Schmidt-Klasse]], allerdings nicht beschränkt, denn für die Spurnorm gilt <math>\|P_E\|_1 = \mbox{dim}(E)</math>, für die Hilbert-Schmidt-Norm gilt <math>\|P_E\| _2= \sqrt{\mbox{dim}(E)}</math>, allgemein gilt für die Norm der Schattenklasse <math>\|P_E\|_p = (\mbox{dim}(E))^{1/p}</math>.
Man kann zeigen, dass es in den Schatten-Klassen keine beschränkten Approximationen der Eins gibt. Für die Hilbert-Schmidt-Klasse folgt das aus dem oben genannten Satz über Banach-Linksmoduln, denn <math>{\mathcal S}_2(H)\cdot {\mathcal S}_2(H) = {\mathcal S}_1(H) \not= {\mathcal S}_2(H)</math>.

== Quellen ==
* F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862.
* [[Jacques Dixmier|J. Dixmier]]: ''Les C*-algèbres et leurs représentations.'', Gauthier-Villars, 1969, ISBN 9782876470132.
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' 1983, ISBN 0123933013.
* Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups.'' ISBN 0125494505.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Approximation der Eins - Versionsgeschichte

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