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'''Approximation''' ({{laS|proximus}}, „der Nächste“) ist zunächst ein Synonym für eine „(An-)Näherung“; der Begriff wird in der [[Mathematik]] allerdings als '''Näherungsverfahren''' noch präzisiert.

Aus mathematischer Sicht existieren verschiedene Gründe, Näherungen zu untersuchen. Die heutzutage häufigsten sind:

* Das approximative Lösen einer [[Gleichung]]. Ist eine analytisch exakte Lösung der Gleichung nicht verfügbar, so will man auf einfachem Wege eine Näherung der Lösung finden.
* Die approximative Darstellung von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] oder [[Zahl]]en. Ist ein ''explizit'' gegebenes [[mathematisches Objekt]] nur schwer handhabbar, dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden wünschenswert.
* Die approximative Rekonstruktion unbekannter Funktionen aus unvollständigen Daten. Liegt die Information der unbekannten Funktion nur in diskreter Form als Funktionswerte über gewissen Stützstellen vor, so ist eine geschlossene Darstellung, die Funktionswerte auf einem Kontinuum definiert, wünschenswert.

Vielfach liegt einer numerischen Methode die Idee zugrunde, eine komplizierte (und oft nur implizit bekannte) Funktion durch eine gut zu handhabende Funktionen näherungsweise darzustellen. Die Approximationstheorie ist somit integraler Bestandteil der modernen [[Angewandte Mathematik|angewandten Mathematik]]. Sie liefert ein theoretisches Fundament für viele neue und etablierte computergestützte Lösungsverfahren.

== Arten der Approximation ==
=== Zahlen ===
Eine der alltäglichsten Formen der Approximation ist die Darstellung einer [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahl]] als eine Zahl mit einer endlichen Anzahl an [[Dezimalstelle|Nachkommastellen]] sowie das [[Rundung|Runden]] einer Zahl auf eine Zahl mit weniger Nachkommastellen, also die Berechnung eines [[Näherungswert]]es. Zum Beispiel:
:<math>\sqrt{2} \approx 1{,}41421356 \approx 1{,}41</math>

Die weitaus meisten Computerprogramme arbeiten mit [[Gleitkommazahl]]en nach dem Standard [[IEEE 754]], bei dem Zahlen mit endlich vielen Stellen dargestellt werden, was bei irrationalen Zahlen und periodischen Brüchen in jedem Fall eine Rundung erfordert. Die Genauigkeit der Darstellung im Computer wird dabei durch den gewählten [[Datentyp]] festgelegt.

Mit der Approximation irrationaler Zahlen durch [[Rationale Zahlen|rationale]] beschäftigt sich die Theorie der [[Diophantische Approximation|diophantischen Approximation]].

=== Geometrische Objekte ===
[[Datei:Archimedes pi.svg|mini|hochkant=2|Annäherung an einen Kreis durch Fünfecke, Sechsecke und Achtecke]]
In der [[Geometrie]] lassen sich komplizierte Objekte oft durch [[Polygon]]e nähern. So berechnete zum Beispiel [[Archimedes]] eine Näherung für die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>, indem er einen [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] durch [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Polygone]] mit immer mehr Ecken annäherte.

=== Funktionen ===
Von besonderem Interesse ist die Näherung von Funktionen, beispielsweise für Näherungslösungen nicht exakt lösbarer [[Differentialgleichung]]en. Eine häufige Form der Approximation ist diejenige mit [[Polynom]]en, da diese in vielen Fällen bequem [[Differentialrechnung|differenzierbar]], [[Integralrechnung|integrierbar]] und berechenbar sind. Die [[Taylorreihe]]nentwicklung liefert eine lokale Approximation durch Polynome. Von großer praktischer Bedeutung ist auch die [[Fourieranalyse]], bei der [[Periodizität (Mathematik)|periodische]] Funktionen in [[Reihe (Mathematik)|unendlichen Reihen]] von [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktionen]] entwickelt werden. Etwa bei der [[Methode der finiten Elemente]] sind stückweise polynomiale Approximationen, bekannt unter der Bezeichnung „[[Spline]]s“, von überragender Bedeutung.

Viele dieser Näherungsverfahren haben ihr theoretisches Fundament in dem (nach [[Marshall Harvey Stone]] und [[Karl Weierstraß]] benannten) [[Satz von Stone-Weierstraß]], aus dem nicht zuletzt folgt, dass man jede [[stetige Funktion]] auf einem [[Intervall (Mathematik)|kompakten reellen Intervall]] beliebig genau gleichmäßig durch Polynome approximieren kann und dass ebenso jede im [[Körper der reellen Zahlen]] periodische stetige Funktion beliebig genau gleichmäßig durch [[trigonometrische Funktion]]en angenähert werden kann.

Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist der Begriff der [[Norm (Mathematik)|Norm]], siehe auch [[Verlustfunktion (Statistik)]]. Diese dient dazu, verschiedene Approximationen quantitativ zu vergleichen. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung für verschiedene Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es, den Fehler, der durch die Approximation entsteht, abschätzen zu können, um deren Qualität zu beurteilen. Dies ist nicht immer einfach und eine wichtige Aufgabe der Approximationstheorie.

Klassische Beispiele sind hier zum einen die [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow|Tschebyschow]]-Approximation, bei der stetige reelle oder komplexe Funktionen bezüglich der [[Supremumsnorm]] approximiert werden, sowie die <math>L^p</math>-Approximation, bei der [[Lp-Raum|L<sup>p</sup>-Funktionen]] bezüglich der <math>L^p</math>-Norm approximiert werden. Bei der Lösung partieller Differentialgleichungen spielt die Approximation in Normen eines [[Sobolevraum]]s eine wichtige Rolle.

Ein Beispiel für die Näherung von Funktionen ist die [[Kleinwinkelnäherung]], bei der die Sinusfunktion durch ihren Winkel und die Kosinusfunktion durch die Konstante 1 ersetzt wird. Sie ist bei kleinen Winkeln gültig und wird zum Beispiel zur Lösung des [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendels]] angewendet.

=== Ordnung der Approximation ===
Ein Maß für die Güte der Approximation einer Funktion ist die Ordnung. Approximiert man eine Funktion in einem kleinen Intervall der Länge <math>h</math>, so ist eine Approximation <math>n</math>-ter Ordnung eine solche, bei der der Fehler in einer gewissen Norm von der Größenordnung [[Landau-Symbole|<math>\mathcal{O} \left(h^{n+1}\right)</math>]] ist. Eine Näherung erster Ordnung wird ''lineare Approximation'' genannt, eine Näherung zweiter Ordnung ''quadratische Approximation''.

In der Physik ist oft eine lineare Näherung zur Behandlung eines bestimmten Problems ausreichend, sofern das Problem damit hinreichend adäquat modelliert bzw. hinreichend genau bewältigt werden kann. Terme höherer Ordnung sind etwa dann von Bedeutung, wenn ein Problem mit linearen Methoden nicht hinreichend adäquat modelliert oder unter Verwendung linearer Methoden nicht hinreichend genau gelöst werden kann, wie dies beispielsweise im rechnerischen Umgang mit sogenannten [[Reales Gas|realen Gasen]] der Fall ist, welche sich bekanntermaßen nichtlinear verhalten und deren Verhalten dann durch Näherungsfunktionen, sogenannte [[Virialentwicklung]]en, approximiert werden kann.

== {{Anker|Approximationssatz}} Wichtige Approximationssätze ==

=== Approximationstheorie und Funktionalanalysis ===
* [[Approximationssatz für kompakte Operatoren]]
* [[Gleichmäßig konvexer Raum#Der Approximationssatz|Approximationssatz für gleichmäßig konvexe Räume]]
* [[Approximationssatz für reelle unitäre Räume]]
* [[Approximationssatz von Carleman]]
* [[Korowkin-Approximation|Approximationssatz von Korowkin]]
* [[Runge-Theorie|Approximationssatz von Runge]]
* [[Approximationssatz von Walsh]]
* [[Satz von Mergelyan]]
* [[Satz von Müntz-Szász]]
* [[Satz von Stone-Weierstraß]]

=== Zahlentheorie ===
* [[Approximationssatz von Kronecker]]
* [[Transzendente Zahl|Approximationssatz von Liouville]]
* [[Dirichletscher Approximationssatz]]
* [[P-adische Zahl#Approximationssatz|Näherungssatz für p-adische Zahlen]]
* [[Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)|Satz von Hurwitz]]
* [[Satz von Thue-Siegel-Roth]]

== Theoretische Informatik ==
Auch in der theoretischen Informatik spielen Approximationen eine Rolle. Es gibt [[NP-Vollständigkeit|NP-vollständige]] Optimierungsprobleme, bei denen es nicht möglich ist, eine exakte Lösung effizient zu berechnen. Man kann hier [[Approximationsalgorithmus|Approximationsalgorithmen]] verwenden, um eine Annäherung zu berechnen. Ein Beispiel ist das [[Rucksackproblem]], bei dem es ab einer gewissen Problemgröße sehr viel Rechenaufwand braucht, eine optimale Lösung zu berechnen, wo aber gute Approximationsalgorithmen existieren, mit denen man effizient approximative Lösungen berechnen kann.

== Literatur ==
* [[Lothar Collatz]], [[Werner Krabs]]: ''Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen.'' Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6.
* Armin Iske: ''Approximation (Masterclass).'' Springer Spektrum, 2018, ISBN 978-3662554647.
* {{Literatur
|Autor=[[Günter Meinardus]]
|Titel=Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung
|Reihe=Springer Tracts in Natural Philosophy
|BandReihe=4
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
|Datum=1964
|ISBN=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meinardus&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=60&mx-pid=176272 MR0176272]}}
* [[Manfred W. Müller]]: ''Approximationstheorie.'' Akademische Verlags-Gesellschaft, Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1.
* [[Michael J. D. Powell|M. J. D. Powell]]: ''Approximation Theory and Methods.'' Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1981, ISBN 0-521-22472-1.
* [[Robert Schaback|R. Schaback]]: ''[https://www.math.uni-bielefeld.de/JB_DMV/JB_DMV_088_2.pdf Numerische Approximation.] (PDF; 7,3 MB)'' In: ''Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.'' 88, Nr. 2, 1986, {{ISSN|0012-0456}}, S. 51–81.[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schaback%2C%20Robert&s5=Numerische&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=838860 => MR0838860]
* [[Holger Wendland (Mathematiker)|Holger Wendland]]: ''Scattered Data Approximation.'' Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521131018.
* {{Literatur
|Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
|Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems
|TitelErg=Translated by Peter R. Wadsack
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo
|Datum=1986
|ISBN=0-387-90914-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]}}

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Theoretische Informatik]]

Approximation - Versionsgeschichte

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