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2021-02-07T14:54:01Z

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[[Datei:01-Apothema-1.svg|rechts|200px]]
Das '''Apothema''' ({{grcS|ἀπόθεμα|de=Ablage}}) einer [[Sehne (Geometrie)|Kreissehne]] ist ihr [[Abstand]] vom Mittelpunkt des [[Kreis (Geometrie)|Kreises]], also die Länge des [[Lot (Mathematik)|Lotes]] vom Mittelpunkt auf die Sehne.<ref>Paul Huther: ''Anfangsgründe der Geometrie vorzüglich zum Gebrauche an technischen Schulen.'' G. Joseph Manz, Regensburg 1838, {{Google Buch|BuchID=dwYHAAAAcAAJ|Seite=42|Hervorhebung=Apothema derselben}}.</ref>

Das Apothema eines [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Vielecks]]<ref>J. Michael Köberlein: ''Lehrbuch der Elementar-Geometrie und Trigonometrie zunächst für Gymnasien und Lyzeen.'' J. E. von Seidel, Sulzbach 1824, {{Google Buch|BuchID=F0-NnQEACAAJ|Seite=155|Hervorhebung=Apothema des Vielecks}}.</ref> ist das Apothema seiner Kanten (als Sehnen im [[Umkreis]]) und gleichzeitig sein [[Inkreis]]radius.

== Berechnung ==
[[Datei:01-Apothema.svg|mini|260px|Apothema der Sehne {{Overline|''AB''}} (mit Mittelpunkt ''L'') eines Kreises (um ''M'') ist die Länge a = {{Overline|''ML''}}.]]
Ist <math>r</math> der Kreisradius und <math>l</math> die Länge der Kreissehne, dann gilt nach dem [[Satz des Pythagoras]] für das Apothemas <math>a</math>

:<math>r^2 = a^2 + \frac{l^2}{4}</math>

und damit

:<math>a = \sqrt{r^2 - \tfrac{l^2}4}</math>.

Das Apothema eines regelmäßigen ''n''-Ecks der Kantenlänge <math>l</math> ist

:<math>a = \frac{l} {2 \, \tan \frac{180^\circ}{n}}</math>.

Damit kann sein [[Flächeninhalt]] zu <math>A = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot l\cdot a</math> ermittelt werden. Für verschiedene <math>n</math> ergeben sich die folgenden Werte:
{| class="wikitable"
! regelmäßiges<br />Vieleck
! Seitenlänge
! Apothema
! Fläche
|-
!Dreieck
|<math> l = r \cdot \sqrt{3}</math>
|<math> a = r \cdot \tfrac 12</math>
|<math> A = r^2 \cdot \tfrac{3 \sqrt{3}}{4}</math>
|-
!Viereck
|<math> l = r \cdot \sqrt{2}</math>
|<math> a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{2}</math>
|<math> A = r^2 \cdot 2</math>
|-
!Fünfeck
|<math> l = r \cdot \sqrt{\tfrac12 (5-\sqrt{5})}</math>
|<math> a = r \cdot \tfrac14 (1+\sqrt{5})</math>
|<math> A = r^2 \cdot \tfrac58 \sqrt{(10+2\sqrt{5})}</math>
|-
!Sechseck
|<math> l = r \,</math>
|<math> a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{3}</math>
|<math> A = r^2 \cdot \tfrac{3}{2} \sqrt{3} </math>
|-
!Achteck
|<math> l = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}</math>
|<math> a = r \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac14 \sqrt{2}}</math>
|<math> A = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}</math><br />
|-
!<math>n</math>-Eck
|<math> l = r \cdot 2 \cdot \sin \tfrac{180^\circ}{n} </math>
|<math> a = r \cdot \cos \tfrac{180^\circ}{n}</math>
|<math> A = r^2 \cdot \tfrac{n}{2} \cdot \sin \tfrac{360^\circ}{n} </math>
|-
! <math>n \to \infty</math> (Kreis)
|<math> l \to 0 </math>
|<math> a \to r </math>
|<math> A \to r^2 \cdot \pi</math>
|}

== Siehe auch ==
* [[Sagitta-Methode]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Chord (geometry)}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|title=Apothem|id=Apothem}}
* [https://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/ Sagitta, Apothem, and Chord] Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]

Apothema - Versionsgeschichte

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