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2026-03-30T00:10:04Z

Klärung des Begriffs: Wiederherstellung der ursprünglichen Formulierung.

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'''Antikette''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mengenlehre]] und gehört in das [[Begriffsfeld]] der [[Ordnungsrelation]]. In der englischsprachigen Literatur entspricht ihm der Begriff ''antichain'', manchmal auch als ''Sperner family'' oder ''Sperner system'' bezeichnet.

Der Begriff Antikette gehört ebenso wie der Begriff der [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Kette]] zum Kernbestand desjenigen Teils der Mathematik, der sich mit Fragestellungen zu [[Ordnungsrelation]]en befasst. Hier ist neben der [[Mengenlehre]] insbesondere die [[Kombinatorik]] der [[Endliche Menge|endlichen]] [[Halbordnung|halbgeordneten]] [[Menge (Mathematik)|Mengen]] ({{enS|combinatorial order theory}}) zu erwähnen. Zu den zentralen Ergebnissen zählen Sätze wie der [[Satz von Sperner]], der [[Satz von Dilworth]], der [[Heiratssatz]] und viele weitere.

== Klärung des Begriffs ==
=== Definition ===
Eine [[Teilmenge]] <math>A</math> einer [[Halbordnung|(teilweise) geordneten Menge]] <math>(P, \leq)</math> ist eine Antikette genau dann, wenn <math>A</math> in Bezug auf die gegebene [[Ordnungsrelation]] <math>\leq</math> die Eigenschaft hat, dass für je zwei [[Paarweise verschieden|verschiedene]] [[Element (Mathematik)|Elemente]] <math>a</math> und <math>b</math> von <math>A</math> weder <math>a \leq b </math> noch <math>b \leq a </math> gilt. Das bedeutet: Betrachtet man die Ordnungsrelation <math> \leq</math> nur ''innerhalb'' der Teilmenge <math>A</math>, so findet man dort keine zwei miteinander in [[Relation (Mathematik)|Relation]] stehenden Elemente. ''Innerhalb'' der Antikette <math>A </math> ist also die Situation entgegengesetzt der Situation, welche in einer [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Kette]] der [[Halbordnung|(teilweise) geordneten Menge]] <math>(P, \leq)</math> gegeben ist. Dies motiviert die Begriffsbildung.

=== Veranschaulichung ===
Vom Begriff der Antikette erhält man eine gute Anschauung bei Betrachtung des [[Hasse-Diagramm]]s der (teilweise) geordneten Menge <math>(P, \leq)</math>. Antiketten erkennt man im Hasse-Diagramm als solche Teilmengen, für die keine zwei ihrer Elemente durch einen [[Gerichteter Weg|gerichteten]] [[Kantenzug]] verbunden sind.

=== Zusammenhang Antiketten – Ketten ===
Charakteristisch ist, dass die aus einer Antikette und einer [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Kette]] gebildete [[Schnittmenge]] innerhalb <math>(P, \leq)</math> stets [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] <math> \leq 1</math> hat, also stets aus ''höchstens'' einem Element besteht. So lässt sich der Begriff demnach auch fassen: Eine Teilmenge <math>A</math> einer (teilweise) geordneten Menge <math>(P, \leq)</math> ist genau dann eine Antikette, wenn <math> A</math> keine Kette von <math>(P, \leq)</math> in zwei oder mehr Elementen schneidet.

== Beispiele ==
=== Die reellen Zahlen ===
Die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> bilden mit der gewöhnlichen [[Ordnungsrelation|strengen Ordnung]] <math>\leq</math> eine Kette. Die einzigen Antiketten sind die trivialen: Die leere Menge <math>\varnothing</math> und die einelementigen Teilmengen.

=== Die Primzahlen ===
Man betrachte die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\N = \{ 1, 2, 3, \ldots \}</math> als [[Trägermenge]] und als Ordnungsrelation <math>\leq</math> die bekannte [[Zahlentheorie|Teilerrelation]]. Für zwei natürliche Zahlen <math>k</math> und <math>l</math> ist also <math>k \leq l</math> gleichbedeutend damit, dass <math>k</math> [[Teilbarkeit|Teiler]] von <math>l</math> ist, also dass es eine natürliche Zahl <math>n</math> gibt, sodass <math>k \cdot n = l</math> gilt.

Nach dieser Maßgabe ist in dieser halbgeordneten Menge <math>(\N, \leq)</math> zum Beispiel die Menge aller [[Primzahlen]] eine Antikette.

=== Die Teiler von 60 ===
Als Trägermenge <math>P</math> wähle man die Menge der Teiler von 60 und als Ordnungsrelation <math>\leq</math> wieder die Teilerrelation. Dann ist <math>\{ 4, 6, 10, 15 \}</math> eine Antikette von <math>(P, \leq)</math>.

=== Mengen von endlichen Mengen derselben Mächtigkeit ===
Man betrachte ein beliebiges [[Mengensystem]] <math>\mathcal{X}</math> über der [[Grundmenge]] <math>X</math>. Als Ordnungsrelation <math>\leq</math> wähle man die [[Teilmenge|Inklusionsrelation]] <math>\subseteq</math>.

Für <math>n \in \N</math> setze <math>\mathcal{X}_n = \{\, A \in \mathcal{X} \;:\; \left|A\right| = n \,\}</math>, also ist <math>\mathcal{X}_n</math> das System der <math>n</math>-elementigen Teilmengen von <math>X</math>. Dann ist jedes <math>\mathcal{X}_n</math> Antikette von <math>(\mathcal{X}, \subseteq)</math>.

=== Orbits ===
Die [[Automorphismus|Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(P, \leq)</math> der halbgeordneten Menge <math>(P, \leq)</math> [[Gruppenoperation|operiert]] als [[Untergruppe]] der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_P</math> in natürlicher Weise auf <math>P</math>, indem als [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung]] <math>\phi \cdot x = \phi(x)</math> für <math>x \in P</math> und <math>\phi \in \operatorname{Aut}(P, \leq)</math> genommen wird.

Die dadurch gegebenen [[Gruppenoperation#Bahn|Orbits]] <math>\operatorname{Aut}(P, \leq)\cdot x = \{\, \phi(x) \;:\; \phi\in \operatorname{Aut}(P, \leq) \,\}</math> mit <math>x \in P</math> sind im Falle, dass <math>P</math> [[Endliche Menge|endlich]] ist, stets '''Antiketten''' von <math>(P, \leq)</math>.<ref>Scholz: S. 3.</ref>

== Die Spernerzahl ==
=== Definition ===
Die '''Spernerzahl''' ({{enS|Sperner number}}) der geordneten Menge <math>(P, \leq)</math> ist definiert als das [[Supremum]] der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeiten]] aller in <math>(P, \leq)</math> vorkommenden Antiketten. Die Spernerzahl wird heute üblicherweise mit dem Buchstaben <math>w</math> bezeichnet, entsprechend der Gepflogenheit in der englischsprachigen Literatur.

In der deutschsprachigen Literatur wird die Spernerzahl von <math>(P, \leq)</math> (entsprechend dem dafür in der englischsprachigen Literatur auch geläufigen Terminus ''width'') manchmal auch die '''Breite''' von <math>(P, \leq)</math> genannt.

=== Formale Darstellung ===
<math>w(P, \le) = \sup \{\, |A| \;:\; A \text{ Antikette in } (P, \le) \,\}</math>

Wenn aus dem Kontext klar ist, um welche geordnete Menge <math>(P, \leq)</math> es sich handelt, schreibt man kurz und einfach <math>w</math>.

=== Erläuterung ===
Die Spernerzahl <math>w</math> ist stets höchstens so groß wie die Mächtigkeit <math>|P|</math> der [[Trägermenge]] von <math>(P, \leq)</math>. Im Falle, dass <math>P</math> eine [[endliche Menge]] ist, ist auch die Spernerzahl endlich und damit eine [[natürliche Zahl]]. Dann wird das Supremum angenommen und es gilt:

:<math>w(P, \le)\ = \max \{\, |A| \;:\; A \text{ Antikette in } (P, \le) \,\}.</math>

=== Beispiele ===
==== Die reellen Zahlen ====
<math>\R</math> hat wie jede [[Leere Menge|nichtleere]] Kette <math>w = 1</math>.

==== Die Teiler von 60 ====
Die oben angegebene Antikette <math>\{\, 4, 6, 10, 15 \,\}</math> (siehe Hasse-Diagramm) ist die größtmögliche. Also gilt hier <math>w = 4</math>.

==== Die Potenzmengen ====
Für die Potenzmenge <math>\mathcal{P}(X)</math> einer endlichen Menge <math>X</math> mit <math>|X|=n</math> Elementen gilt stets <math>w(\mathcal{P}(X)) = \binom{n}{\lfloor \frac n 2 \rfloor}</math>. Denn genau dies besagt der [[Satz von Sperner]].<ref>{{Literatur |Autor=Sperner |Titel=Math. Z. |Band=27 |Datum=1928 |Seiten=544 ff}}</ref>

Für [[Unendliche Menge|unendliches]] <math>X</math> der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] <math>|X| = \aleph_{\alpha}</math> gilt <math>w({\mathcal{P}(X)}) = 2^{\aleph_{\alpha}}</math>.<ref>Siehe Harzheim: ''Ordered Sets.'' Theorem 9.1.25, S. 296; allerdings setzt letzteres Ergebnis das Auswahlaxiom voraus.</ref>

== Verbandseigenschaften ==
=== Erklärung ===
Das [[Mengensystem|System]] <math>\mathcal{D} = \mathcal{D}(P, \leq)</math> der '''Antiketten''' von <math>(P, \leq)</math> ist stets [[Leere Menge|nichtleer]] und trägt die folgende Ordnungsrelation, welche die Ordnungsrelation von <math>(P, \leq)</math> in natürlicher Weise auf <math>\mathcal{D}</math> fortsetzt:

:''Für zwei '''Antiketten''' <math>A, B \in \mathcal{D}</math> ist <math>A \leq B</math> dann und nur dann, wenn zu jedem <math>b \in B</math> ein <math>a \in A</math> existiert mit <math>a \leq b</math>.''

Die so definierte Ordnungsrelation, welche ebenfalls mit <math>\leq</math> bezeichnet wird, gibt auf diesem Wege dem ''Antikettensystem'' <math>\mathcal{D}</math> die Struktur eines [[Distributiver Verband|distributiven Verbands]].<ref>Kung-Rota-Yan: S. 130.</ref>

=== Das Resultat von Dilworth ===
Bei endlichem <math>(P, \leq)</math> liegt nun ein spezielles Augenmerk auf dem [[Mengensystem|Teilsystem]] <math>\mathcal{S} = \mathcal{S}(P, \leq)</math> der '''Antiketten''' ''maximaler'' Größe:
:'' <math>\mathcal{S} = \{\, A \in \mathcal{D} \;:\; |A| = w(P, \le) \,\}</math>''
Hier gilt nämlich das folgende fundamentale Resultat von [[Robert Dilworth]]:<ref>{{Literatur |Autor=Dilworth |Titel=Proceedings of Symposia in Applied Mathematics |Datum=1958 |Seiten=88 ff}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Greene-Kleitman |Titel=J. Comb. Theory (A) |Band=20 |Datum=1993 |Seiten=45}}</ref><ref>Kung-Rota-Yan: S. 131.</ref>

:'' Bei endlichem <math>(P, \leq)</math> ist <math>(\mathcal{S},\leq)</math> [[Verband (Mathematik)|Unterverband]] von <math>(\mathcal{D},\leq)</math>, wobei die zugehörigen Verbandsoperationen <math>\land</math> und <math>\lor</math> die folgende Darstellung haben:''
::'' (1) <math>A \land B = \operatorname{Min}({A}\cup{B})</math>''
::'' (2) <math>A \lor B = \operatorname{Max}({A}\cup{B})</math>''
::''(<math>A, B \in \mathcal{S}</math> )''

Dabei wird mit <math>\operatorname{Min}(X)</math> bzw. mit <math>\operatorname{Max}(X)</math> für <math>X \subseteq P</math> die Teilmenge derjenigen Elemente von <math>X</math> bezeichnet, welche bzgl. der [[Einschränkung|induzierten]] Ordnungsrelation innerhalb <math>X</math> minimal bzw. maximal sind.

=== Das Resultat von Kleitman, Edelberg, Lubell und Freese und der Satz von Sperner ===
Als Folgerung ergibt sich:<ref>{{Literatur |Autor=Kleitman-Edelberg-Lubell |Titel=Discrete Math |Band=1 |Datum=1971 |Seiten=47 ff}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Freese |Titel=Discrete Math |Band=7 |Datum=1974 |Seiten=107 ff}}</ref>
:'' Eine endliche geordnete Menge <math>(P, \leq)</math> enthält stets eine '''Antikette''' maximaler Größe, welche von allen [[Automorphismus|Automorphismen]] <math>\phi \in \operatorname{Aut}(P, \leq)</math> auf sich selbst abgebildet wird.''

Oder anders ausgedrückt:
:'' Eine endliche geordnete Menge <math>(P, \leq)</math> enthält stets eine '''Antikette''' maximaler Größe, welche als [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] gewisser Orbits <math>\operatorname{Aut}(P, \leq)\cdot x</math> mit <math>x \in P</math> darstellbar ist.''

Hierdurch gelangt man auf direktem Wege zum [[Satz von Sperner]]. Denn im Falle, dass <math>(P, \leq) = (2^M, \subseteq)</math> mit ''endlicher Grundmenge'' <math>M</math> ist, sind die ''Orbits'' identisch mit den [[Binomialkoeffizient#Der Binomialkoeffizient in der Kombinatorik|Mächtigkeitsklassen]] <math>{M\choose k}</math> <math>(k = 0,\dots, \left|{M}\right| )</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Greene / Kleitman |Titel=Studies in Combinatorics |Datum=1978 |Seiten=27 ff}}</ref><ref>Scholz: S. 6 ff.</ref>

== Anzahl der Antiketten endlicher Potenzmengen ==
Auf [[Richard Dedekind]] geht das Problem zurück, für <math>n \in \N_0</math> und <math>X = \{ 1, 2, \ldots, n\}</math> die Anzahl <math>M(n)</math> '''aller''' Antiketten der Potenzmenge <math>\mathcal{P} (X)</math> zu bestimmen. Dieses Problem bezeichnet man daher als '''Dedekind-Problem''' (''{{enS|Dedekind’s problem}}'') und die Zahlen <math>M(n)</math> als '''[[Dedekind-Zahl]]en''' (''{{enS|Dedekind numbers}}'').<ref name="Greene-Kleitman">{{Literatur |Autor=Greene-Kleitman |Titel=Studies in Combinatorics |Datum=1978 |Seiten=33}}</ref><ref>Ganter: S. 42–46.</ref><ref>Kung-Rota-Yan: S. 147.</ref>

Die Zahl <math>M(n)</math> ist (im Wesentlichen<ref>Wenn man die beiden [[Einelementige Menge|einelementigen]] Antiketten <math>\{ \emptyset \}</math> und <math>\{ X \}</math> nicht berücksichtigt.</ref>) [[Identität#Mathematik|identisch]] mit der Anzahl der [[Monotone Abbildung|monoton wachsenden]] [[surjektiv]]en [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] von <math>\mathcal{P} (\{ 1, 2, \ldots, n \})</math> nach <math>2 = \{ 0, 1 \}</math> und genauso identisch mit der Anzahl der [[Freier distributiver Verband|freien distributiven Verbände]] mit <math>n</math> [[Erzeugendes Element|erzeugenden Elementen]].<ref name="Greene-Kleitman" /><ref>Die Anzahl der freien distributiven Verbände mit <math>n</math> Erzeugenden bezeichnet man mit <math>{\psi}(n)</math> oder auch mit <math>D(n)</math> . Es ist also <math>M(n)= {\psi}(n) + 2 = D(n) + 2</math> .</ref>

Da diese Zahlen ein erhebliches [[Wachstum (Mathematik)|Wachstum]] aufweisen, ist die exakte Bestimmung von <math>M(n)</math> bislang allein für <math>n = 0, 1, \ldots, 8</math> gelungen:<ref>Stand: 2013</ref><ref name="Ganter43">Ganter: S. 43.</ref>

: <math>
\begin{align}
M(0) &= 2 \\
M(1) &= 3 \\
M(2) &= 6 \\
M(3) &= 20 \\
M(4) &= 168 \\
M(5) &= 7.581 \\
M(6) &= 7.828.354 \\
M(7) &= 2.414.682.040.998 \\
M(8) &= 56.130.437.228.687.557.907.788 \\
\end{align}
</math><ref>{{OEIS|A000372}}</ref>

Für eine Einschätzung der Größenordnung des Wachstums der <math>M(n)</math> kennt man jedoch [[Untere Schranke|untere]] und [[Obere Schranke|obere]] [[Beschränktheit|Schranken]], so zum Beispiel die folgenden, welche auf die Arbeit des Mathematikers [[Georges Hansel]] aus dem Jahre 1966 zurückgeht:<ref name="Greene-Kleitman" />

: <math>2^{\tbinom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }} \leq M(n) \leq 3^{\tbinom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }}</math>

Wie [[Daniel Kleitman|Daniel J. Kleitman]] und [[George Markowsky]] in 1975 zeigten, lässt sich die genannte obere Schranke weiter verschärfen zu:
: <math>M(n) \leq 2^{{\tbinom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }} \cdot \bigl( 1+ \mathcal{O}{(\frac{\ln (n)}{n})} \bigr) }</math><ref><math>\mathcal{O}</math> ist das [[Landau-Symbole|landausche Groß-O-Symbol]].</ref>

und man kennt sogar noch bessere Schranken.<ref>Kung-Rota-Yan: S. 147.</ref>

Das '''Dedekind-Problem''' ist noch ungelöst. Dem bedeutenden ungarischen Mathematiker [[Paul Erdős]] (1913–1996) wird die Bemerkung zugeschrieben, das Problem sei ''für dieses Jahrhundert zu schwer''.<ref>Ganter: S. 42.</ref> Zwar legte der polnische Mathematiker [[Andrzej Kisielewicz|Andrzej P. Kisielewicz]] im Jahre 1988 eine korrekte Formel vor. Diese gilt jedoch als ''nutzlos'', da mit ihr selbst die Verifikation der schon bekannten '''Dedekind-Zahlen''' aus Gründen des Rechenaufwands nicht möglich ist.<ref name="Ganter43" />

== Abgrenzung des Begriffs ==
In der [[Mengenlehre]] wird der Begriff der '''Antikette''' teilweise auch anders benutzt. Die ''Antiketteneigenschaft'' wird in gewissen Zusammenhängen an die ''Inkompatibilität'' zweier verschiedener Elemente geknüpft oder bei [[Boolesche Algebra|Booleschen Algebren]] an ''Disjunktheitsbedingungen''. Über Einzelheiten gibt die Monographie von [[Thomas Jech]] Auskunft.<ref>Jech: S. 84 ff, 114 ff, 201 ff.</ref>

== Literatur ==
'''Originalarbeiten'''
* Hans-Joachim Burscheid: ''Über die Breite des endlichen kardinalen Produktes von endlichen Ketten.'' In: ''Mathematische Nachrichten.'' Band 52, 1971, {{ISSN|0025-584X}}, S. 283–295, [[doi:10.1002/mana.19720520121]].
* {{Literatur
|Autor=[[Robert Dilworth|R. P. Dilworth]]
|Hrsg=[[Richard Bellman]], [[Marshall Hall (Mathematiker)|Marshall Hall, Jr.]]
|Titel=Some combinatorial problems on partially ordered sets
|Sammelwerk=Combinatorial Analysis. Proceedings of the Tenth Symposium in Applied Mathematics of the American Mathematical Society, held at Columbia University, April 24–26, 1958
|Reihe=Proceedings of Symposia in Applied Mathematics
|BandReihe=10
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence RI
|Datum=1960
|ISSN=0160-7634
|Seiten=85–90}}
* Ralph Freese: ''An application of Dilworth's lattice of maximal antichains.'' In: ''Discrete Mathematics.'' Band 7, Nr. 1/2, 1974, {{ISSN|0012-365X}}, S. 107–109, [[doi:10.1016/S0012-365X(74)80022-1]].
* [[Curtis Greene]], Daniel J. Kleitman: ''The structure of Sperner k-Families.'' In: ''Journal of Combinatorial Theory.'' Series A, Band 20, Nr. 1, 1976, {{ISSN|0097-3165}}, S. 41–68, [[doi:10.1016/0097-3165(76)90077-7]].
* {{Literatur
|Autor=Curtis Greene, Daniel J. Kleitman
|Hrsg=[[Gian-Carlo Rota]]
|Titel=Proof Techniques on the Theory of Finite Sets
|Sammelwerk=Studies in Combinatorics
|Reihe=Studies in Mathematics
|BandReihe=17
|Verlag=Math. Assoc. America
|Ort=Washington, D.C.
|Datum=1978
|ISBN=0-88385-117-2
|Seiten=23–79
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Greene%2C%20Curtis&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=21&mx-pid=513002 MR0513002]}}
* D. Kleitman, M. Edelberg, D. Lubell: ''Maximal sized antichains in partial orders.'' In: ''Discrete Mathematics.'' Band 1, Nr. 1, 1971, S. 47–53, [[doi:10.1016/0012-365X(71)90006-9]].
* Hans-Josef Scholz: ''Über die Kombinatorik der endlichen Potenzmengen im Zusammenhang mit dem Satz von Sperner.'' Dissertation, Universität Düsseldorf 1987.
* [[Emanuel Sperner]]: ''Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge.'' In: ''Mathematische Zeitschrift.'' Band 27, Nr. 1, 1928, {{ISSN|0025-5874}}, S. 544–548, [[doi:10.1007/BF01171114]].
* {{Literatur
|Autor=Georges Hansel
|Titel=Sur le nombre des fonctions booléennes monotones de n variables
|Sammelwerk=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A]]
|Band=262
|Ort=
|Datum=1966
|Seiten=1088–1090
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hansel%2C%20Georges&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=23&mx-pid=224395 MR0224395]}}
* {{Literatur
|Autor=Andrzej Kisielewicz
|Titel=A solution of Dedekind’s problem on the number of isotone Boolean functions
|Sammelwerk=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]]
|Band=386
|Ort=Washington, D.C.
|Datum=1988
|Seiten=139–144
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kisielewicz&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=107&mx-pid=936995 MR0936995]
|DOI=10.1515/crll.1988.386.139}}
* {{Literatur
|Autor=[[Daniel J. Kleitman|D. Kleitman]], [[George Markowsky|G. Markowsky]]
|Titel=On Dedekind’s problem: The number of Isotone Boolean functions. II
|Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc]]
|Band=213
|Datum=1975-11
|Seiten=373–390
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Markowsky%2C%20G.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=382107 MR0382107]
|JSTOR=1998052}}

'''Monographien'''
* {{Literatur
|Autor=[[Martin Aigner]]
|Titel=Kombinatorik II: Matroide und Transversaltheorie
|Reihe=Hochschultext
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=1976
|ISBN=3-540-07949-1
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aigner%2C%20Martin&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=78&mx-pid=460127 MR0460127]
|DOI=10.1007/978-3-642-66235-5}}
* {{Literatur
|Autor=Martin Aigner
|Titel=Combinatorial Theory
|Reihe=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|BandReihe=234
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=1979
|ISBN=3-540-90376-3
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aigner%2C%20Martin&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=74&mx-pid=542445 MR0542445]}}
* {{Literatur
|Autor=Martin Aigner
|Titel=Diskrete Mathematik
|Reihe=Dokumente zur Geschichte der Mathematik
|BandReihe=6
|Auflage=6.
|Verlag=Vieweg Verlag
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2006
|ISBN=978-3-8348-0084-8
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aigner%2C%20Martin&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=63&mx-pid=1085963 MR1085963]}}
* {{Literatur
|Autor=Ian Anderson
|Titel=Combinatorics of Finite Sets
|Verlag=Clarendon Press
|Ort=Oxford
|Datum=1987
|ISBN=0-19-853367-5
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Anderson%2C%20Ian&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=59&mx-pid=892525 MR0892525]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Oliver Deiser]]
|Titel=Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik. Sprache, Zahlen und erste Erkundungen
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Heidelberg u. a.
|Datum=2010
|ISBN=978-3-642-11488-5
|Online={{Google Buch|BuchID=McN3GhW5JIwC|Seite=62|Linktext=Auszug}}}}
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Engel]]
|Titel=Sperner Theory
|Reihe=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|BandReihe=65
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge u. a.
|Datum=1997
|ISBN=0-521-45206-6
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Engel%2C%20Konrad&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=18&mx-pid=1429390 MR1429390]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Bernhard Ganter]]
|Titel=Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-37499-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Ordered Sets
|Reihe=Advances in Mathematics
|BandReihe=7
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=New York
|Datum=2005
|ISBN=0-387-24219-8
|Seiten=206 ff.
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Sets&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2127991 MR2127991]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas Jech]]
|Titel=Set Theory
|TitelErg=The Third Millennium edition, revised and expanded
|Reihe=Springer Monographs in Mathematics
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2003
|ISBN=3-540-44085-2
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jech%2C%20Thomas&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=1940513 MR1940513]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stasys Jukna]]
|Titel=Extremal Combinatorics
|Reihe=Texts in Theoretical Computer Science
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Heidelberg (u. a.)
|Datum=2011
|ISBN=978-3-642-17363-9
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jukna%2C%20Stasys&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=2865719 MR2865719]}}
* {{Literatur
|Autor=Joseph P. S. Kung, [[Gian-Carlo Rota]], Catherine H. Yan
|Titel=Combinatorics: The Rota Way
|Reihe=Cambridge Mathematical Library
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge (u. a)
|Datum=2009
|ISBN=978-0-521-73794-4
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rota%2C%20Gian-Carlo&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2483561 MR2483561]}}

== Weblinks ==
* Gy. Károlyi: [http://www.cs.elte.hu/~karolyi/tempus.pdf ''Lectures on extremal set systems and two-colorings of hypergraphs.''] (PDF; 237 kB)
* [http://www-dm.informatik.uni-tuebingen.de/skripte/Kombinatorik/KombinatorikSS2008.pdf ''Kombinatorische Methoden in der Informatik.''] (PDF; 1,36 MB; Skript einer Vorlesung von Peter Hauck, Uni Tübingen, SS 2008)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]

Antikette - Versionsgeschichte

imported>Schojoha: /* Klärung des Begriffs */ Wiederherstellung der ursprünglichen Formulierung.