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2022-05-11T16:50:51Z

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Ein '''Ansatz''' bezeichnet in der [[Mathematik]] und [[Physik]] ein [[Heuristik|heuristisches]] Verfahren zum Lösen einer [[Gleichung]] oder eines [[Gleichungssystem]]s.

Ein ''Ansatz'' wird in der englischsprachigen Literatur neben dem deutschen Begriff als [[Lehnwort]]<ref>https://www.merriam-webster.com/dictionary/ansatz</ref> auch als ''educated guess'' (etwa: „wohlbegründete Vermutung“) bezeichnet.<ref name="buch-Lc51pTHnNFwC-2">John Dowden: ''The Theory of Laser Materials Processing.'' Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 9781402093401, S. 2. {{Google Buch |BuchID=Lc51pTHnNFwC |Seite=2}}</ref><ref name="buch-D1ycG-KznnYC-100">R. Shankar: ''Basic Training in Mathematics.'' Springer Science & Business Media, 1995, ISBN 9780306450358, S. 100. {{Google Buch |BuchID=D1ycG-KznnYC |Seite=100}}</ref>

Es wird zunächst die Annahme gemacht, dass die Lösungsfunktion eine bestimmte Form aufweist, z. B. ein [[Polynom]] oder eine [[Exponentialfunktion]] ist, und dass diese Funktion eine Anzahl an unbestimmten Parametern besitzt, die der Anzahl der Gleichungen entsprechen. Diese Funktion wird dann in die zu lösenden Gleichungen eingesetzt. Daraus ergibt sich ein System von [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichungen]] für die freien Parameter, die in der Regel deutlich leichter zu lösen ist als die ursprünglichen Gleichungen. Das Wort Ansatz bezeichnet auch spezieller die konkrete Annahme über die Lösungsfunktion als solche, also etwa <math>f(x)=A \cdot \exp(-x)+B</math>. Standardmäßig verwendete Ansätze werden entsprechend der Form ihrer Lösungsfunktion z. B. als [[Exponentialansatz]] oder [[Potenzreihenansatz]] bezeichnet.

Oft liefert das untersuchte Problem keine eindeutigen Anhaltspunkte für die Wahl eines Ansatzes. Darin liegt eine wichtige Einschränkung dieses Verfahrens. Manchmal ist ein Ansatz aber die einzig mögliche Methode, eine Gleichung zu lösen, aber auch in vielen anderen Fällen kann der Aufwand für die Lösung durch einen Ansatz deutlich verringert werden. Die Leistung des [[Mathematiker]]s oder [[Physiker]]s besteht darin, in [[Kreativität|kreativer]] Weise einen Ansatz entweder aus der Form der Gleichungen oder bei physikalischen Problemen aus den Eigenschaften des beobachteten Systems abzuleiten. Viele Probleme lassen sich dabei mit bereits gebräuchlichen Ansätzen lösen, für andere ist der Entwurf eines neuen oder die Kombination bestehender Ansätze vonnöten.

Das Ansatz-Verfahren ist insbesondere in der [[Integralrechnung]] und beim Lösen von [[Differentialgleichung]]en von Bedeutung, da es hier anders als in der [[Differentialrechnung]] keine eindeutig vorgegebenen Lösungsverfahren gibt. Lösungen durch Ansätze sind in diesem Zusammenhang grundsätzlich von anderen Standardverfahren von [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] oder [[Partielle Integration|partieller Integration]] zu unterscheiden, die das Problem durch Modifikation der Ausgangsgleichungen vereinfachen.

Das Wort Ansatz in der hier beschriebenen Form hat Einzug als [[Lehnwort]] in die [[englische Sprache]] gefunden. So findet man es häufig in den auf Englisch verfassten [[Wissenschaftliche Publikation|wissenschaftlichen Publikationen]] der [[International|internationalen]] Mathematiker- und Physikergemeinde.

== Beispiel ==
Die Differentialgleichung
:<math>x'(t) = -3 \, x(t)</math>
lässt sich offenbar durch eine Exponentialfunktion lösen, da diese durch Ableiten nach einer Variable in ihrem Argument bis auf einen Vorfaktor gleich bleibt. Daher ist folgender Ansatz aussichtsreich:
:<math>x(t) = \exp(A \, t)</math>
Einsetzen in die Gleichung ergibt
:<math>A \, x(t) = -3 \, x(t)</math>,
und da <math>x</math> entsprechend seinem Ansatz stets größer Null ist, kann diese Gleichung nur durch <math>A = -3</math> gelöst werden. Damit ist eine Lösungsfunktion gegeben durch
:<math>x(t) = \exp(-3 \, t)</math>.

Wenn zu der Differentialgleichung zusätzlich noch eine [[Anfangsbedingung]] gegeben ist, z. B. <math>x(0) = 2</math>, müssen im Ansatz zwei Parameter vorhanden sein, damit das entstehende algebraische Gleichungssystem nicht ''überbestimmt'' ist, also mehr Gleichungen als Variablen aufweist. Ein möglicher Ansatz wäre dann
:<math>x(t) = C \, \exp(A \, t)</math>.
Das Einsetzen dieses Ansatzes in die beiden Gleichungen ergibt
:<math>A \, C \, x(t) = -3 \, C \, x(t)</math>
und
:<math>C = 2</math>,
und es folgt die Lösungsfunktion
:<math>x(t) = 2\exp(-3 \, t)</math>.

== Bekannte Ansätze ==
* [[Exponentialansatz]] (Anwendungsbeispiel: [[Lineares Gleichungssystem|inhomogene]] [[Schwingungsgleichung]] in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]])
* [[Polynomialansatz]]
* [[Potenzreihe]]nansatz
* [[Potenzproduktansatz]]
* [[Separationsansatz]] (Anwendungsbeispiel: Dreidimensionaler [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)]] und [[Wasserstoffatom]] in der [[Quantenmechanik]])

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]

Ansatz (Mathematik) - Versionsgeschichte

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