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2025-01-05T10:39:03Z

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{{Weiterleitungshinweis|Binäre Zahl|Zu ''Binärzahlen'' im Binärsystem siehe [[Dualsystem]].}}
Die '''anormal-komplexen Zahlen''' sind eine Erweiterung der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math>, die sich von der der [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] dadurch unterscheidet, dass das Produkt ihrer nicht-reellen Einheit mit sich selbst nicht gleich −1, sondern gleich +1 ist.

== Definition ==
Die anormal-komplexen Zahlen (englisch ''split-complex numbers'' oder ''hyperbolic numbers;'' zur Begründung siehe [[#Eigenschaften|weiter unten]]) bilden eine zweidimensionale [[Hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe]] [[Algebra über einem Körper|Algebra]] über dem Körper <math>\R</math> der reellen Zahlen. Wie die Algebra der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] wird diese Algebra von zwei Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit <math>i</math> der komplexen Zahlen hier mit <math>j</math> bezeichnet wird. Jede anormal-komplexe Zahl lässt sich demnach eindeutig als
:<math>z = a + b \cdot j</math>
mit <math>a, b \in \R</math> darstellen, also als [[Linearkombination]] aus 1 und <math>j</math>. Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für anormal-komplexe Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch
:<math>j^2=1,</math> also <math>(1+j)(1-j)=0,</math>
wobei natürlich <math display="inline">j\neq \pm 1</math> zu beachten ist. Außerdem ist analog zu den [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] die zu <math>z = a + b \cdot j</math> mit <math>a, b \in \R</math> ''konjugierte'' Zahl
:<math>\bar{z} := a-b\cdot j</math>
definiert.

== Eigenschaften ==
Wie alle [[hyperkomplexe Zahlen|hyperkomplexen Algebren]] erfüllen auch die anormal-komplexen Zahlen das rechts- und linksseitige [[Distributivgesetz]]. Wie die [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich <math>j:</math>
:<math>1\cdot j=j\cdot 1=j</math>
:<math>1\cdot (1\cdot j)=1\cdot j=(1\cdot 1)\cdot j=j</math>
:<math>1\cdot (j\cdot j)=1\cdot 1=1=j\cdot j=(1\cdot j)\cdot j</math>
Die anormal-komplexen Zahlen bilden also einen kommutativen [[Unitärer Ring|Ring mit Einselement]], der aber – im Unterschied zu <math>\Complex</math> – kein Körper ist, sondern ein Ring mit zwei nichttrivialen [[Ideal (Ringtheorie)|Idealen]], den reellzahligen Vielfachen von <math>1+j</math> und denen von <math>1-j</math>, anschaulich also den durch den Ursprung verlaufenden Diagonalen der Zahlenebene. [[Hauptideal]]e sind sie, da sie jeweils von einem einzigen Element erzeugt werden. Sie sind beide [[Nullteiler]], denn 0 ergibt sich als Produkt eines beliebigen Elementes des einen Ideals mit einem beliebigen Element des anderen:
:<math>a(1+j)\cdot b(1-j)=ab(1^2 - j^2) = ab(1 - 1) = ab\cdot 0</math>

Eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] oder ein [[Vektor#Länge/Betrag_eines_Vektors|Betrag]] ist für anormal-komplexe Zahlen nicht definiert, aber dennoch gibt es zwei Eigenschaften, die sich so bei der Multiplikation „weitervererben“ wie die Norm bei komplexen Zahlen oder die [[Determinante]] bei Matrizen (im Sinne von „Norm/Determinante des Produktes gleich Produkt der Normen/Determinanten der Faktoren“):

# Die Summe aus Real- und Nichtrealteil (weil sich <math>j</math> bei Multiplikation wie 1 verhält)
# Das Produkt einer Zahl <math>z</math> (wie oben) mit ihrer Konjugierten:
::<math>z \bar{z} = (a+b\cdot j)(a-b\cdot j) = a^2 - b^2 \cdot j^2 = a^2 - b^2,</math>
:was stets eine reelle Zahl ergibt. Diese ist
:# negativ für <math>|a|<|b|</math>
:# gleich Null für <math>|a|=|b|</math>
:# positiv für <math>|a|>|b|.</math>
Wie alle komplexen Zahlen desselben Betrages auf einem Kreis liegen, liegen alle anormal-komplexen Zahlen, deren Produkt mit ihrem Konjugierten einen festen Wert hat, auf einer [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]; deshalb werden sie im Englischen auch „hyperbolic numbers“ genannt.
Mithin folgen die anormal-komplexen Zahlen einer [[Minkowski-Metrik]] wie Zeit (= Realachse) und Raumrichtung (= Nichtrealachse) in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]]. Bei der Beschreibung der klassischen reellen [[Minkowski-Ebene]] spielen die anormal-komplexen Zahlen eine analoge Rolle wie die komplexen Zahlen bei der Beschreibung der klassischen reellen [[Möbiusebene]].<ref>[[Walter Benz]]: ''Vorlesungen über Geometrie der Algebren.'' Springer, 1973, ISBN 9783642886706, ''[https://books.google.de/books?id=5orLBgAAQBAJ&pg=PA45 S. 45.]''</ref>

== Isomorphie zum komponentenweisen Produkt ==
Stellt man die Elemente als Linearkombination von <math display="block">u := \frac{1+j}2 \quad\text{und}\quad \bar u = \frac{1-j}2</math> dar, entkoppeln sich die Komponenten im Produkt, denn <math display="block">u^2 = u, \quad u \bar u = \bar u u = 0, \quad \bar u^2 = \bar u</math> und damit <math display="block">(au + b \bar u)(cu+d\bar u) = acu + bd\bar u</math>Somit sind die anormal-komplexen Zahlen <math>\mathbb{R}[j] = \mathbb{R}[u]</math> isomorph zu <math>\mathbb{R \oplus R}</math> mit dem komponentenweisen Produkt.

== Siehe auch ==
* [[Duale Zahl]]

== Literatur ==
* I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: ''Hyperkomplexe Zahlen.'' B.G. Teubner, Leipzig 1978.
* [[Walter Benz]]: ''Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Geometrien von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in einheitlicher und grundlagengeometrischer Behandlung.'' Springer, 1973, ISBN 9783642886706, ''[https://books.google.de/books?id=5orLBgAAQBAJ&pg=PA43 S. 43–47.]''

== Belege ==
<references />

{{SORTIERUNG:Anormalkomplexe Zahl}}
[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Algebra]]

Anormal-komplexe Zahl - Versionsgeschichte

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