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[[Datei:Msd anomalous diffusion.svg|mini|Mittlere quadratische Verschiebung <math>\langle r^2(\tau)\rangle</math> für normale, Super- und Subdiffusion]]

'''Anomale Diffusion''' ist in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] eine besondere Art des Transportprozesses [[Diffusion]] bzw. der [[Brownsche Molekularbewegung|brownschen Molekularbewegung]], die in vielen komplexen (z. B. [[Viskoelastizität|viskoelastischen]]) Medien auftritt. Sie lässt sich nicht durch das gewöhnliche ([[Ficksches Diffusionsgesetz|Fick’sche]]) Diffusionsgesetz beschreiben. Im Unterschied zu normaler Diffusion wächst die [[mittlere quadratische Verschiebung]] <math>\langle r^2(\tau)\rangle</math> eines anomal diffundierenden Teilchens, also der Raum, den das Teilchen in der Zeit <math>\tau</math> durchwandert, nicht proportional zu <math>\tau</math>, sondern folgt typischerweise einem Potenzgesetz <math>\langle r^2(\tau)\rangle\propto\tau^\alpha</math> mit Anomalieparameter α. Anomale Diffusion beschreibt Zufallsbewegungen mit lang-reichweitigen Korrelationen, für die der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] der Statistik nicht mehr gilt. Solche Transportprozesse treten zum Beispiel in [[Zelle (Biologie)|Zellen]] oder beim Reiseverhalten von Menschen auf.

== Definition und Eigenschaften ==
=== Definition ===
Übliche Diffusionsprozesse lassen sich makroskopisch durch die Fick’sche Diffusionsgleichung beschreiben. Mikroskopisch geht diese Beschreibung in eine [[Brown’sche Molekularbewegung]] ([[Wiener-Prozess]]) über, mit der mittleren quadratischen Verschiebung:
:<math>\langle \Delta r^2(\tau)\rangle_\text{normale Diffusion}=2n\cdot D\cdot\tau</math>
Der Faktor <math>n</math> gibt die Zahl der Raumdimensionen an und der Parameter ''D'' ist der [[Diffusionskoeffizient]].

Anomale Diffusion zeichnet sich dagegen durch folgende Abhängigkeit aus:<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3">{{cite journal |author=Ralf Metzler, Joseph Klafter |year=2000 |month=12 |title=The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach |journal=Physics Reports |volume=339 |issue=1 |pages=1–77 |doi=10.1016/S0370-1573(00)00070-3 |url=http://www.tau.ac.il/~klafter1/258.pdf |language=en}}</ref>
:<math>\langle \Delta r^2(\tau)\rangle_\text{anomale Diffusion}=2n\cdot K_\alpha\cdot\tau^\alpha,\quad \alpha>0</math>
Hier ist <math>K_{\alpha}</math> ein verallgemeinerter Diffusionskoeffizient und <math>\alpha</math> der Anomalieparameter. Die Einheit dieses verallgemeinerten Diffusionskoeffizienten ist <math>[K_{\alpha}]=m^2 / s^{\alpha}</math>, hängt also vom Anomalieparameter ab. Man unterscheidet zwei Regime, die auch in der Abbildung ganz oben dargestellt sind:
* ''Subdiffusion (<math>0<\alpha<1</math>):'' Diese Art der verlangsamten diffusiven Bewegung kann etwa im Inneren von [[Zelle (Biologie)|Zellen]] und bei Random Walks auf fraktalen Strukturen beobachtet werden.
* Der Spezialfall <math>\alpha=1</math> beschreibt die gewöhnliche ''normale Diffusion''.
* ''Superdiffusion (<math>\alpha>1</math>):'' Diese beschleunigte Diffusion tritt z. B. bei [[Lévy-Flug|Lévy-Flügen]] auf, oder etwa bei der Bewegung von Geldscheinen bzw. Reisebewegung von Menschen.
* Der Spezialfall <math>\alpha=2</math> wird ''ballistische Diffusion'' (englisch {{lang|en|''ballistic diffusion''}}) genannt.<ref name="DOI10.1103/PhysRevE.81.030105">{{cite journal |author=Valery Ilyin, Itamar Procaccia, Anatoly Zagorodny |year=2010 |month=03 |title=Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: Exact results |journal=Physical Review E |volume=81 |issue=3 |doi=10.1103/PhysRevE.81.030105 |url=http://www.icmp.lviv.ua/journal/zbirnyk.62/23001/art23001.pdf |language=en}}</ref> Dies entspricht einem Fall, wo zusätzlich zur Diffusionsbewegung auch eine Drift vorliegt.

=== Anomale Diffusion als makroskopischer Effekt ===
Anomale Diffusion an sich ist zunächst ein makroskopischer Effekt. Wie die verschiedenen obigen Beispiele schon zeigen, ist das Herleiten der mikroskopischen Ursache der anomalen Diffusion nicht einfach möglich.

=== Zeitabhängiger Diffusionskoeffizient und Gedächtnis ===
Die mittlere quadratische Verschiebung lässt sich formal auch durch einen zeitabhängigen Diffusionskoeffizienten <math>D_{\alpha}(\tau)</math> ausdrücken:<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" />
:<math>\langle \Delta r^2(\tau)\rangle_\text{anomale Diffusion}=2n\cdot D_\alpha(\tau)\cdot\tau \quad \text{mit} \quad D_\alpha(\tau)=K_\alpha\cdot\tau^{\alpha-1}</math>
Der Diffusionskoeffizient ist also nicht mehr zeitlich konstant, das Verhalten (die "Diffusionsgeschwindigkeit") eines Teilchens hängt also davon ab, wie lange es sich schon bewegt (für Subdiffusion wird es z. B. immer langsamer, je länger es sich bewegt). Dies bedeutet, dass quasi ein Gedächtnis im System vorhanden ist, das die aktuelle Bewegung von der Vorgeschichte abhängig macht. Ein detaillierteres mathematisches Modell hierfür wird weiter unten im Abschnitt [[#Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung|Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung]] beschrieben.

== Auftreten anomaler Diffusion ==
Anomale Diffusionsphänomene treten in verschiedenen Systemen auf. Hier sollen einige Beispiele zusammengefasst werden, die teilweise im restlichen Artikel näher erläutert werden:
* Superdiffusion mit <math>\alpha >1</math>:
** im theoretischen Random-Walk-Modell des Lévy-Fluges<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" />
** bei der Bewegung von Geldscheinen bzw. Reisebewegung von Menschen.<ref name="DOI10.1109/MPRV.2008.77">{{cite journal |author=Dirk Brockmann, Fabian Theis |year=2008 |month=10 |title=Money Circulation, Trackable Items, and the Emergence of Universal Human Mobility Patterns |journal=IEEE Pervasive Computing |volume=7 |issue=4 |pages=28–35 |doi=10.1109/MPRV.2008.77 |url=http://rocs.northwestern.edu/publications/index_assets/brockmann2008pervasive.pdf |language=en}}</ref><ref name="DOI10.1140/epjst/e2008-00640-0">{{cite journal |author=D. Brockmann |year=2008 |month=04 |title=Anomalous diffusion and the structure of human transportation networks |journal=The European Physical Journal Special Topics |volume=157 |issue=1 |pages=173–189 |doi=10.1140/epjst/e2008-00640-0 |url=http://rocs.northwestern.edu/research/index_assets/brockmann2008epjst.pdf |language=en}}</ref> Reisende Menschen verbleiben z. B. typischerweise einige Zeit in einer Stadt und bewegen sich dort auf kleiner räumlicher Skala. Mit einer gewissen (niedrigen, aber nicht verschwindenden) Wahrscheinlichkeit unternehmen sie dann eine Reise in eine entfernte Stadt, was zu einem großen Sprung führt. Lévy-Flüge sind ein theoretisches Modell für solches Verhalten.
** Bewegung einzelner Zellen in [[Zellaggregat]]en<ref name="DOI10.1016/S0378-4371(01)00009-7">{{cite journal |author=Arpita Upadhyaya, Jean-Paul Rieu, James A. Glazier, Yasuji Sawada |year=2001 |month=4 |title=Anomalous diffusion and non-Gaussian velocity distribution of Hydra cells in cellular aggregates |journal=Physica A: Statistical Mechanics and its Applications |volume=293 |issue=3–4 |pages=549–558 |doi=10.1016/S0378-4371(01)00009-7 |language=en}}</ref>

* Subdiffusion mit <math>0<\alpha<1</math>:
** Im Inneren von [[Zelle (Biologie)|Zellen]] beobachtet man Subdiffusion bei der Bewegung von Makromolekülen durch das [[Cytoplasma]]. Eine Ursache hierfür kann das sog. ''{{lang|en|molecular crowding}}'' sein, also das Vorhandensein vieler (dicht gepackter) [[Makromolekül]]e und [[Organelle]]n im Zytoplasma<ref name="Weiss2004">{{Literatur |Autor=Matthias Weiss, Markus Elsner, Fredrik Kartberg, Tommy Nilsson |Titel=Anomalous Subdiffusion Is a Measure for Cytoplasmic Crowding in Living Cells |Sammelwerk=Biophysical Journal |Band=87 |Nummer=5 |Datum=2004-11 |Seiten=3518–3524 |DOI=10.1529/biophysj.104.044263 |Sprache=en}}</ref>
** Auf [[Zellmembran|Membranen]] von Zellen wird ebenfalls anomale Diffusion beobachtet.<ref name="DOI10.1016/S0006-3495(97)78139-6">{{cite journal |author=G.J. Schuetz, H. Schindler, T. Schmidt |year=1997 |month=8 |title=Single-molecule microscopy on model membranes reveals anomalous diffusion |journal=Biophysical Journal |volume=73 |issue=2 |pages=1073–1080 |doi=10.1016/S0006-3495(97)78139-6 |language=en}}</ref><ref name="DOI10.1529/biophysj.105.067959">{{Literatur |Autor=Laure Wawrezinieck, Herve Rigneault, Didier Marguet, Pierre-Francois Lenne |Titel=Fluorescence Correlation Spectroscopy Diffusion Laws to Probe the Submicron Cell Membrane Organization |Sammelwerk=Biophysical Journal |Band=89 |Nummer=6 |Datum=2005-12 |Seiten=4029–4042 |DOI=10.1529/biophysj.105.067959 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Diego Krapf |Titel=Mechanisms Underlying Anomalous Diffusion in the Plasma Membrane |Sammelwerk=Current Topics in Membranes |Band=75 |Verlag=Elsevier |Datum=2015 |ISBN=978-0-12-803295-4 |Seiten=167–207 |DOI=10.1016/bs.ctm.2015.03.002 |Online=[https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1063582315000034 Online] |Abruf=2019-11-08 |Sprache=en}}</ref> Die Zellmembran ist hier ein komplexes System aus vielen verschiedenen Bausteinen (siehe z. B. [[Flüssig-Mosaik-Modell]]).
** Random Walks auf fraktalen Strukturen, wie etwa [[Perkolationstheorie|Perkolationsklustern]]<ref name="Havlin2002">{{Literatur |Autor=Shlomo Havlin, Daniel Ben-Avraham |Titel=Diffusion in disordered media |Sammelwerk=Advances in Physics |Band=51 |Nummer=1 |Datum=2002 |Seiten=187–292 |DOI=10.1080/00018730110116353 |Sprache=en}}</ref><ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.50.77">{{cite journal |author=Yuval Gefen, Amnon Aharony, Shlomo Alexander |year=1983 |month=1 |title=Anomalous Diffusion on Percolating Clusters |journal=Physical Review Letters |volume=50 |issue=1 |pages=77–80 |doi=10.1103/PhysRevLett.50.77 |language=en}}</ref>. Dies kann auch experimentell durch [[Kernspinresonanz|NMR]]-[[Diffusivität]]smessungen in porösen Systemen gezeigt werden.<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" />
** Diffusion in Polymernetzwerken<ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.92.178101">{{cite journal |author=I. Wong, M. Gardel, D. Reichman, Eric Weeks, M. Valentine, A. Bausch, D. Weitz |year=2004 |month=4 |title=Anomalous Diffusion Probes Microstructure Dynamics of Entangled F-Actin Networks |journal=Physical Review Letters |volume=92 |issue=17 |doi=10.1103/PhysRevLett.92.178101 |language=en}}</ref>
** Die Monomerbewegung von langen Polymeren wie [[DNA]] zeigt auf begrenzten Zeitskalen ebenfalls die Charakteristik anomaler Diffusion, hier ausgelöst durch die eingeschränkte interne Bewegung des Polymers (siehe z. B. das einfache [[Rouse-Modell]] für die Polymerdynamik).<ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.92.048303">{{Literatur |Autor=Roman Shusterman, Sergey Alon, Tatyana Gavrinyov, Oleg Krichevsky |Titel=Monomer Dynamics in Double- and Single-Stranded DNA Polymers |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=92 |Nummer=4 |Datum=2004-01 |DOI=10.1103/PhysRevLett.92.048303 |Sprache=en}}</ref>
** Ladungsträgertransport in amorphen Halbleitern<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" />

== Theoretische Beschreibung durch Random Walks ==
=== Normale Diffusion ===
[[Datei:BrownianMotion.svg|mini|1000 Schritte eines normal-diffusiven (α = 1) Random-Walk]]
Wie schon erwähnt, zeigen gewisse {{lang|en|[[Random Walk]]}}-Prozesse ein anomal diffusives Verhalten. Dabei beschreibt man das Fortschreiten der (hier im Beispiel eindimensionalen) Bewegung in diskreten Zeitschritten <math>\Delta t</math>. Der Positionssprung <math>\Delta x=x_{t}-x_{t-1}</math> von einem Zeitschritt zum nächsten ist für normale Diffusion [[Gauß-Verteilung|gauß-verteilt]]:
:<math>p(\Delta x)\propto\exp\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{\Delta x^2}{2D\cdot \Delta t}\right)</math>
Diese charakteristische Gauß-Verteilung gilt aufgrund des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] der Statistik für viele Vorgänge. Sind allerdings wie in den folgenden Beispielen seine Voraussetzungen nicht mehr erfüllt (z. B. weil die [[Varianz (Stochastik)]] <math>\sigma^2=2D\cdot \Delta t</math> der obigen Verteilung nicht mehr definiert werden kann), so kann man anomal diffusives Verhalten beobachten.

=== Lévy-Flüge ===
[[Datei:LevyFlight.svg|mini|Ein Lévy-Flug mit seiner erhöhten Wahrscheinlichkeit von langen Sprüngen zeigt Superdiffusion (α > 1). Das Bild zeigt ebenfalls 1000 Schritte und man kann deutlich die seltenen langen Sprünge erkennen.]]
Anomale Superdiffusion tritt in Random Walk-Prozessen auf, bei denen die Sprunglängenverteilung [[Heavy-tailed-Verteilung|endlastig]] ist. Hier gilt der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] nicht mehr, da die Varianz von endlastigen Verteilungen divergiert.<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" /> Ein Beispiel sind die bereits erwähnten Lévy-Flüge, bei denen selten (aber häufiger als in einer Gauß-Verteilung) sehr lange Sprünge vorkommen können. Die Sprunglängenverteilung nimmt hier mit einem Potenzgesetz ab:<ref name="MITskript">D. H. Rothman (2011): {{Webarchiv |url=http://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-086-modeling-environmental-complexity-fall-2011/lecture-notes/MIT12_086F11_anomalous.pdf |wayback=20151010040509 |text=MIT Vorlesungsskript "Anomalous Diffusion"}} (zugegriffen am 11. November 2012; PDF; 224 kB)</ref>
:<math>p(\Delta x)\propto|\Delta x|^{-(1+2/\alpha)}, \alpha>1,\ \ \ \text{für}\ \ \ \Delta x\rightarrow\infty</math>
Im Bild rechts sind einige Schritte eines solchen Prozesses gezeigt. Die seltenen großen Sprünge sind gut zu erkennen.

=== {{lang|en|Continuous time random walks}} (CTRW) ===
Ein weiterer [[Random Walk|Random-Walk]]-Prozess mit anomal diffusiver Charakteristik sind sog. ''{{lang|en|[[Continuous time random walks]]}}'' (CTRW). Dabei ist die Bewegung nicht in gleich lange Zeitschritte <math>\Delta t</math> zerteilt, sondern bei gleich bleibender Sprunglänge <math>\Delta x</math> wird die Wartezeit zwischen zwei Sprüngen aus einer Verteilung betrachtet.<ref name="MITskript" /> Man kann das auch als Diffusion auf einem Gitter mit Fallen auffassen, wobei die Fallen das diffundierende Teilchen unterschiedlich lange festhalten können.<ref>{{Literatur |Autor=A. V. Weigel, B. Simon, M. M. Tamkun, D. Krapf |Titel=Ergodic and nonergodic processes coexist in the plasma membrane as observed by single-molecule tracking |Sammelwerk=Proceedings of the National Academy of Sciences |Band=108 |Nummer=16 |Datum=2011-04-19 |Sprache=en |Seiten=6438–6443 |ISSN=0027-8424 |DOI=10.1073/pnas.1016325108 |PMID=21464280}}</ref> Ist die Wartezeitverteilung endlastig, also:
:<math>p(\Delta t)\propto\Delta t^{-(1+\alpha)}, 0<\alpha<1,\ \ \ \text{für}\ \ \ \Delta t\rightarrow\infty</math>
so führt auch dieses zu anomaler Subdiffusion mit Anomalieparameter <math>\alpha</math>.

== Kontinuierliche theoretische Modelle ==
=== Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung ===
[[Datei:Anomaloussubdiffusion.svg|mini|Normale (α=1) und subdiffusive (α=0.7) Bewegung eines Teilchens. Für eine detaillierte Beschreibung des Algorithmus zur Berechnung des Bildes siehe Ref.<ref name="DOI10.1063/1.4742909" /> Das Fortschreiten der Zeit (10000 Schritte) ist als Farbe codiert (siehe Farbbalken links oben)]]
Normal diffundierende Teilchen in einem viskosen Medium können über die [[Langevin-Gleichung]] beschrieben werden:
:<math>m\cdot\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\xi\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+F_\text{st}(t)</math>
Dabei ist ''x(t)'' der Teilchenort zur Zeit ''t'', ξ der Reibungskoeffizient und ''F''<sub>st</sub> eine stochastische Kraft mit verschwindender Korrelation <math>\langle F(t)\cdot F(t')\rangle\propto\delta(t-t')</math>, also [[Weißes Rauschen (Physik)|weißes Rauschen]]. Diese stochastische Differentialgleichung lässt sich zur [[Langevin-Gleichung|fraktionalen Langevin-Gleichung]] verallgemeinern:<ref name="DOI10.1063/1.4742909">{{Internetquelle |autor=Christian C. Fritsch, Jörg Langowski |url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.4742909 |titel=Kinetic lattice Monte Carlo simulation of viscoelastic subdiffusion |werk=aip.scitation.org |sprache=en |abruf=2019-01-29}}</ref>
:<math>m\cdot\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\xi\cdot\int\limits_{-\infty}^tK(t-t')\frac{\mathrm{d}x(t')}{\mathrm{d}t}\;\mathrm{d}t+F_\text{st}(t)</math>
Dabei ist nun <math>K(\tau)</math> ein sog. ''{{lang|en|memory kernel}}'' (deutsch etwa Gedächtnis-Faltungskern), der eine (auch langreichweitige) zeitliche Kopplung induziert. Die Bewegung des Teilchens hängt also auch von seiner Vergangenheit (Integral <math>\int_{-\infty}^t...</math>) ab, was bei normaler Brownscher Bewegung nicht der Fall war (dies entspricht einem [[Markow-Prozess|nicht-markovschen]] Random-Walk). Nimmt man nun im Speziellen wieder ein Potenzgesetz für <math>K(\tau)</math> an, also
:<math>K(\tau)\propto\tau^{-\alpha}</math>
so folgt auch aus diesem Ansatz eine anomale mittlere quadratische Verschiebung mit Anomalie α.<ref name="DOI10.1063/1.4742909" /> Mit diesem Ansatz kann man anomale Diffusion modellieren, wie sie in [[Viskoelastizität|viskoelastischen Medien]] auftritt. Alternativ kann man den stochastischen Term korrelieren lassen, etwa <math>\langle F(t)\cdot F(t')\rangle\propto\exp(-|t-t'|)</math>. Dies entspricht einer ''Diffusion mit Hindernissen'', die für Zeitskalen, in der einerseits die Hindernisgröße und andererseits der mittlere Hindernisabstand nicht verschwindet gegenüber diffundierten Distanzen, auch eine anomale Subdiffusion ist.

=== Fraktionale Diffusionsgleichung ===
Mit Hilfe der in der [[Fraktionale Infinitesimalrechnung]] definierten fraktionalen Integro-Differential-Operatoren lässt sich die oft zur Modellierung normaler Diffusionsphänomene herangezogene [[Fokker-Planck-Gleichung]] auf anomale Diffusion erweitern.<ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.82.3563">{{cite journal |author=Ralf Metzler, Eli Barkai, Joseph Klafter |year=1999 |month=5 |title=Anomalous Diffusion and Relaxation Close to Thermal Equilibrium: A Fractional Fokker-Planck Equation Approach |journal=Physical Review Letters |volume=82 |issue=18 |pages=3563–3567 |doi=10.1103/PhysRevLett.82.3563 |url=http://www.tau.ac.il/~klafter1/224.pdf |language=en}}</ref><ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" /><ref name="DOI10.1016/S0301-0104(02)00533-5">{{cite journal |author=Eli Barkai |year=2002 |month=11 |title=CTRW pathways to the fractional diffusion equation |journal=Chemical Physics |volume=284 |issue=1–2 |pages=13–27 |doi=10.1016/S0301-0104(02)00533-5 |language=en}}</ref> Diese (dann fraktionale) Differentialgleichung beschreibt die Zeitentwicklung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>W(x,t)</math> diffundierender Teilchen am Ort <math>x</math> zur Zeit <math>t</math>.
:<math>\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=K_\alpha\cdot\mathbb{D}_t^{1-\alpha}\frac{\partial^2W(x,t)}{\partial x^2}</math>
Dabei ist der Riemann-Liouville-Operator <math>\mathbb{D}_t^{1-\alpha}f(t)</math> anschaulich als die <math>\alpha</math>-te Ableitung der Funktion <math>f(t)</math> nach der Zeit definiert über die Integraldarstellung:<ref name="DOI10.1016/S0370-1573(00)00070-3" />
:<math>\mathbb{D}_t^{1-\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_0^t\frac{f(t')}{(t-t')^{1-\alpha}}\;\mathrm{d}t'</math>
Dabei ist <math>\Gamma(x)</math> die [[Gamma-Funktion]]. Die Lösung dieser fraktionalen Differentialgleichung führt wieder auf die anomale mittlere quadratische Verschiebung:
:<math>\langle r^2(\tau)\rangle=\frac{2K}{\Gamma(1+\alpha)}\cdot\tau^\alpha</math>

== Siehe auch ==
* [[Gebrochene Brownsche Bewegung]]

== Literatur ==
* {{cite journal |author=Ralf Metzler, Joseph Klafter |year=2000 |month=12 |title=The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach |journal=Physics Reports |volume=339 |issue=1 |pages=1–77 |doi=10.1016/S0370-1573(00)00070-3 |url=http://www.tau.ac.il/~klafter1/258.pdf |language=en}}
* Rainer Klages, Günter Radons, Igor M. Sokolov (Herausgeber) ''Anomalous Transport'', John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-3-527-40722-4

== Weblinks ==
* D. H. Rothman (2011): [http://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-086-modeling-environmental-complexity-fall-2011/lecture-notes/MIT12_086F11_anomalous.pdf MIT Vorlesungsskript "Anomalous Diffusion"] (zugegriffen am 11. November 2012; PDF; 224 kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4532384-7}}

[[Kategorie:Statistische Physik]]

Anomale Diffusion - Versionsgeschichte

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