imported>RPI: /* Annullator eines Moduls */

2025-09-28T13:41:00Z

Annullator eines Moduls

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Es gibt zwei Begriffsbildungen der [[Mathematik]], die mit dem Wort '''Annullator''' (oder auch '''Annihilator''') bezeichnet werden.

== Annullator im Kontext von Formen ==
Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des [[Komplementärraum#Orthogonales Komplement|orthogonalen Komplements]] auf Vektorräumen, in denen der [[Dualraum]] nicht über ein [[Skalarprodukt]] mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

=== Definition ===
Sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]], <math>V^*</math> der zugehörige Dualraum und <math>S</math> eine Teilmenge von <math>V</math>. Dann heißt
:<math>S^0=\lbrace f\in V^*\mid f(x)= 0 \text{ für alle } x \in S \rbrace \subseteq V^*</math>
der Annullator von <math>S</math>.

=== Eigenschaften des Annullators ===
*<math>S^0</math> ist ein [[Untervektorraum]] des Dualraums <math>V^*</math>. Deshalb spricht man auch vom ''Annullatorraum''.
*<math>S^0=\langle S\rangle^0</math>, wobei <math>\langle S\rangle</math> der von <math>S</math> [[Lineare Hülle|erzeugte]] Unterraum ist.
*Ist <math>S_1\subseteq S_2</math>, so ist <math>S_1^0\supseteq S_2^0</math>.
*Ist <math>V</math> endlichdimensional und <math>U</math> ein Unterraum von <math>V</math>, so gilt <math>\dim U^0 = \dim V - \dim U</math>. In diesem Fall sind <math>V</math> und der [[Bidualraum]] <math>V^{**}</math> kanonisch isomorph und es gilt <math>\left(U^0\right)^0 = U</math>, wobei <math>V</math> und <math>V^{**}</math> miteinander identifiziert worden sind.

== Annullator eines Moduls ==

Es sei <math>R</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]] und <math>M</math> ein <math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Linksmodul]]. Dann ist der Annullator von <math>M</math>

: <math>\operatorname{Ann} M = \{r\in R \mid rm = 0 \text{ für alle } m\in M\}.</math>

Man kann den Annullator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

: <math>R\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}M, r \mapsto \ell_r</math>, wobei <math>\ell_r\colon M\to M</math> die Linksmultiplikation mit <math>r</math> ist.

Der Annullator ist ein [[Ideal (Ringtheorie)|zweiseitiges Ideal]] in <math>R</math>.

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra.'' 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Algebra]]

Annihilator (Mathematik) - Versionsgeschichte

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