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2025-05-10T12:27:28Z

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[[Datei:Ankreise.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.9|Dreieck mit Ankreisen (rot)]]
Die drei '''Ankreise''' (rot) gehören mit dem [[Umkreis]] und dem [[Inkreis]] zu den [[Kreise am Dreieck|besonderen Kreisen]] eines [[Dreieck]]s, die schon in der [[Antike]] von griechischen Mathematikern untersucht wurden.<ref group="A">So behandelte [[Apollonios von Perge]] in seinem Werk ''Über Berührungen'' das Problem, einen Kreis zu konstruieren, der drei Geraden berührt (siehe [[Apollonisches Problem]]).</ref>

Die Ankreise sind definiert als [[Kreis (Geometrie)|Kreise]], die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten [[Berührung (Mathematik)|berührt]] werden. Jedes Dreieck besitzt drei Ankreise. Die '''Ankreismittelpunkte''' liegen jeweils auf der [[Winkelhalbierende]]n eines [[Innenwinkel]]s und auf den Winkelhalbierenden der beiden [[Außenwinkel]], die nicht zu dem Innenwinkel gehören.<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid, Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Geometrie |Auflage=5. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-50322-5 |Seiten=23}}</ref>

== Radien ==
Der [[Radius]] desjenigen Ankreises, der die Seite <math>a</math> (<math>[BC]</math>) im Inneren berührt, ergibt sich als
:<math>\rho_a = \frac{A}{s-a}</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Wolf P. Barth |url=https://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf#page=45&zoom=80,-140,41 |titel=Geometrie |titelerg=1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius) |werk=Universität Magdeburg |hrsg=Mathematisches Institut der Universität Erlangen |datum=2004-08-10 |seiten=46 |format=PDF |abruf=2019-09-01}}</ref>

Dabei steht <math>A</math> für den [[Flächeninhalt]] und <math>s</math> für den halben Umfang des Dreiecks: <math>s = \tfrac{1}{2}(a+b+c)</math>.

Analog berechnen sich die Radien <math>\rho_b</math> und <math>\rho_c</math> der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem [[Satz des Heron]] durch die Seitenlängen aus, so erhält man

: <math>\rho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}</math>.

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

: <math>\rho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}}</math> und <math>\rho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}</math>.

== Berührpunktabstände ==
[[Datei:01 Dreieck-Ankreise-Berührpunktabstände.svg|mini|hochkant=1.3|Dreieck, Berührpunktabstände der Ankreise, gleichfarbige Abstände haben gleiche Längen]]
Bezeichnung
* <math>c_a</math> ist der [[Abstand]] von <math>C</math> zum [[Berührung (Mathematik)|Berührpunkt]] des Ankreises mit der Seite <math>a</math> bzw. mit der Verlängerung der Seite <math>b.</math>
* <math>b_a</math> ist der Abstand von <math>B</math> zum Berührpunkt des Ankreises mit der Seite <math>a</math> bzw. mit der Verlängerung der Seite <math>c.</math><ref name="Barth">{{Internetquelle |autor=Wolf P. Barth |url=https://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf#page=45&zoom=80,-142,761 |titel=Geometrie |titelerg=1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz) |werk=Universität Magdeburg |hrsg=Mathematisches Institut der Universität Erlangen |datum=2004-08-10 |seiten=45 |format=PDF |abruf=2019-08-31}}</ref>

Der Index <math>a</math> steht dafür, dass derjenige Ankreis betrachtet wird, der die Seite <math>a</math> im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

Es gilt:
: <math>c_a = a_c = s - b=\tfrac 12(a-b+c),</math>
: <math>c_b = b_c = s - a=\tfrac 12(-a+b+c),</math>
: <math>a_b = b_a = s - c=\tfrac 12(a+b-c).</math>

Dabei ist <math>s</math> der halbe Umfang des Dreiecks.

''Nachweis:'' Die tangentiale Distanz von <math>C</math> zum Ankreis mit Mittelpunkt <math>I_a</math> liefert die Gleichheit der grünen Abschnitte bei <math>C</math> und entsprechend die blauen bei <math>B</math>. Die tangentiale Distanz von <math>A</math> zu demselben Kreis liefert dann die Gleichung <math>b+c_a=c+b_a</math>. Mit <math>c_a+b_a=a</math> folgt schließlich <math>2c_a=a-b+c=2(s-b)</math>. Analog ergeben sich die anderen Gleichungen.

== Mittelpunkte ==
Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende [[baryzentrische Koordinaten]], wobei <math>\displaystyle I_a</math> den Mittelpunkt des Ankreises der Seite <math>a</math> repräsentiert:
* <math>\displaystyle I_a = (-a:b:c)</math>
* <math>\displaystyle I_b = (a:-b:c)</math>
* <math>\displaystyle I_c = (a:b:-c)</math>

== Konstruktion der Ankreismittelpunkte ==
[[Datei:01 Dreieck-Ankreise.svg|mini|hochkant=1.3|Dreieck, Konstruktion der Ankreismittelpunkte]]
Aus der Einleitung kann man Folgendes schließen: Die drei Ankreismittelpunkte können auch allein mittels Halbierungen von drei Außenwinkeln gefunden werden, die als [[Winkel|Winkelschenkel]] jeweils eine Seite sowie eine Verlängerung einer benachbarten Seite aufweisen.

Es beginnt mit den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks <math>ABC</math> über dessen Eckpunkte hinaus. Danach folgt z. B. die Winkelhalbierende <math>w_1</math> des Außenwinkels am [[Winkel|Scheitel]] <math>C</math> mit den Winkelschenkeln Seite <math>a</math> und Verlängerung der Seite <math>b</math> ab <math>C.</math> Die Winkelhalbierende <math>w_2</math> des Außenwinkels am Scheitel <math>B</math> mit den Winkelschenkeln Seite <math>a</math> und Verlängerung der Seite <math>c</math> ab <math>B</math> schließt sich an und liefert dabei, als Schnittpunkt mit <math>w_1</math>, den ersten Ankreismittelpunkt <math>I_a.</math> Sind alle drei Ankreismittelpunkte gesucht, ist abschließend noch die Winkelhalbierende <math>w_3</math> des Außenwinkels am Scheitel <math>A</math> mit den Winkelschenkeln Seite <math>c</math> und Verlängerung der Seite <math>b</math> ab <math>A</math> erforderlich. Damit ergeben sich, als Schnittpunkte mit den bereits vorhandenen Winkelhalbierenden <math>w_1</math> und <math>w_2,</math> auch noch die beiden Ankreismittelpunkte <math>I_b</math> und <math>I_c.</math>

== Weitere Eigenschaften ==
* Die Ankreismittelpunkte <math>I_a, I_b</math> und <math>I_c</math> des Dreiecks <math>ABC</math> bilden ein Dreieck, dessen [[Höhenschnittpunkt]] <math>H</math> der Inkreismittelpunkt des Dreiecks <math>ABC</math> ist.
* Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die [[Verbindungsgerade]]n in einem Punkt, dem [[Nagel-Punkt]] <math>N</math>.
[[Datei:01 Dreieck-Ankreise-Inkreis.svg|mini|links|hochkant=1.2|Höhenschnittpunkt <math>H</math> des Dreiecks <math>I_a\; I_b\; I_c</math> ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks <math>A B C</math> und <math>N</math> dessen Nagel-Punkt]]
{{Absatz}}

== Literatur ==
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]], S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie.'' Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie''. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=Excircles |title=Excircles}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]

Ankreis - Versionsgeschichte

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