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2025-03-19T16:32:31Z

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Als '''Anfangswertproblem''' (abgekürzt '''AWP'''), manchmal auch '''Anfangswertaufgabe''' (abgekürzt AWA) oder '''Cauchy-Problem''' genannt, bezeichnet man in der [[Analysis]] eine wichtige Klasse von Differentialgleichungsproblemen. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines vorgegebenen [[Anfangsbedingung|Anfangswertes]].

In diesem Artikel wird das Anfangswertproblem zunächst für [[gewöhnliche Differentialgleichung]]en und später auch für [[partielle Differentialgleichung]]en erklärt.

== Gewöhnliche Differentialgleichungen ==
=== Anfangswertproblem 1. Ordnung ===
Ein Anfangswertproblem erster Ordnung ist ein [[Gleichung #Gleichungssysteme|Gleichungssystem]], das aus einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

:<math>y'(t) = f(t, y(t))</math>

und einer zusätzlichen Anfangsbedingung

:<math>y(t_0) = y_0</math>

besteht, mit
* dem ''Anfangswert'' <math>y_0</math> und
* einem Zeitpunkt <math>t_0\in\mathbb{R}</math>.

Eine konkrete [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>y</math> ist eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn sie beide Gleichungen erfüllt.

Gesucht ist also eine Funktion <math>y</math>, die die Bedingungen der Differentialgleichung und des Anfangswertes erfüllt. Ist die Funktion <math>f</math> stetig, so ist dies nach dem [[Fundamentalsatz der Analysis|Hauptsatz der Integralrechnung]] genau dann der Fall, wenn
: <math>y(t) = y_0 + \int^{t}_{t_0} f(s,y(s))\,ds</math>
für alle <math>t</math> im Definitionsintervall gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Rannacher, Rolf |Titel=Numerik 1. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag= |Ort=Heidelberg |Datum=2017 |Seiten=13 |ISBN=}}</ref>

=== Anfangswertproblem ''k''-ter Ordnung ===
Gegeben seien <math>k\in\N</math> und eine Funktion <math>f\colon D\rightarrow\R^n</math>. Ihr [[Definitionsbereich]] <math>D</math> sei hierbei eine [[Teilmenge]] von <math>I \times \R^{n\times k}</math>, worin <math>I \subset \mathbb{R}</math> ein [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] bezeichnet, welches <math>t_0</math> umfasst. Dann heißt

:<math>\begin{cases}
y^{(k)} & = f(t, y(t), y'(t), \dotsc, y^{(k - 1)}(t))\\
y^{(i)}(t_0) & = y_i \qquad \mathrm{mit} \; i = 0, \dotsc, k - 1
\end{cases}</math>

ein Anfangswertproblem <math>k</math>-ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem <math>k</math>-ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das [[Riemann-Problem]], bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine [[Unstetigkeitsstelle]].

Anfangswertprobleme treten z. B. in den [[Naturwissenschaft]]en auf, wenn ein [[mathematisches Modell]] für natürliche Prozesse gesucht wird.

=== Lösbarkeit ===
Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) [[Existenzsatz von Peano]] und der [[Satz von Picard-Lindelöf|Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf]]. Ein Hilfsmittel ist die [[grönwallsche Ungleichung]].

=== Beispiel ===
Das Anfangswertproblem

:<math>y'(t) = 2 \cdot \sgn(y(t))\cdot\sqrt{|y(t)|}\ ,\ y(0) = 0\ ,</math>

welches zu

:<math>f(t,x) := 2 \cdot \sgn(x)\cdot\sqrt{|x|}</math>

korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung

:<math>y(t) \equiv 0</math>

auch noch für jedes <math>c \geq 0</math> die Lösungen

:<math>y(t) = \left\{\begin{array}{ll}0\ ,&\text{falls}\ t < c\ ,\\(t-c)^2\ ,&\text{falls}\ t \geq c\ ,\\\end{array}\right.</math>

sowie

:<math>y(t) = \left\{\begin{array}{ll}0\ ,&\text{falls}\ t < c\ ,\\-(t-c)^2\ ,&\text{falls}\ t \geq c\ .\\\end{array}\right.</math>

Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an <math>f</math>) nachzuweisen. Dies kann beispielsweise über den [[Satz von Picard-Lindelöf]] geschehen, dessen Voraussetzungen in diesem Beispiel jedoch nicht erfüllt werden.

=== Numerische Lösungsmethoden ===
Zur [[Numerische Mathematik|numerischen Lösung]] von Anfangswertproblemen werden [[Einschrittverfahren|Einschritt-]] oder [[Mehrschrittverfahren]] eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer [[Diskretisierung]] approximiert.

<math>\to</math> Siehe Berechnungsbeispiel Anfangswertproblem in [[Differenzengleichung (Differenzenverfahren)]]

== Partielle Differentialgleichungen ==
Verallgemeinert man das Cauchy-Problem auf mehrere Veränderliche, etwa <math>n</math> Veränderliche <math>x_1,\dotsc, x_n</math>, so erhält man [[partielle Differentialgleichung]]en. Im Folgenden stehe <math>\alpha \in \N_0^n</math> für einen [[Multiindex]] der Länge <math>n</math>. Beachte, dass es genau <math>\tbinom{n+k-1}{k}</math> Multiindizes mit <math>|\alpha| := \alpha_1+\dotsb +\alpha_n \le k</math> gibt. Es sei weiter eine Funktion <math>F</math> in <math>n+ \tbinom{n+k-1}{k}</math> Variablen gegeben. Beim allgemeinen Cauchy-Problem sucht man nach Funktionen <math>u</math>, die von <math>n</math> Variablen <math>x_1,\dotsc, x_n</math> abhängen und die Gleichung
: (1) <math>F(x,(\partial^\alpha u(x))_{|\alpha|\le k)}) \,=\,0 </math>
erfüllen. Beachte, dass die [[Stelligkeit]] von <math>F</math> gerade so gewählt wurde, dass man <math>x=(x_1,\dotsc, x_n)</math> und alle partiellen Ableitungen <math>\partial^\alpha u(x)</math> einsetzen kann. Darüber hinaus fordert man, dass die gesuchten Funktionen den im Folgenden beschriebenen sogenannten Anfangs- bzw. Randbedingungen genügen. Zu deren Formulierung sei <math>S</math> eine [[Hyperfläche]] der Klasse [[Funktionenraum|C<sup>k</sup>]] mit [[Normalenvektor|Normalenfeld]] <math>\nu</math>. Mit <math>\partial_\nu^j</math> seien die [[Normalenableitung]]en bezeichnet. Sind dann <math>\varphi_0,\dotsc, \varphi_{k-1}</math> vorgegebene auf <math>S</math> definierte Funktionen, so fordert man beim allgemeinen Cauchy-Problem, dass die Funktionen <math>u</math> zusätzlich die Bedingungen
: (2) <math>u=\varphi_0,\, \partial_\nu u = \varphi_1,\,\dotsc,\,\partial_\nu^{k-1} u = \varphi_{k-1}</math> auf <math>S</math>
erfüllen. Die Funktionen <math>\varphi_j</math> heißen die Cauchy-Daten des Problems, jede Funktion <math>u</math>, die beide Bedingungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.

Durch eine geeignete [[Koordinatentransformation]] kann man sich auf den Fall <math>S=\{x=(x_1,\dotsc, x_n);\, x_n=0\}</math> zurückziehen. Dann spielt die letzte Variable eine Sonderrolle, denn die Anfangsbedingungen sind dort gegeben, wo diese Variable 0 ist. Da diese Variable in vielen Anwendungen als Zeit interpretiert wird, benennt man sie gern in <math>t</math> (lateinisch tempus = Zeit) um, die Anfangsbedingungen beschreiben dann die Verhältnisse zum Zeitpunkt <math>t=0</math>. Die Variablen sind also <math>x_1,\dotsc,x_{n-1},t</math>. Da die betrachtete [[Hyperebene]] durch die Bedingung <math>t=0</math> gegeben ist, wird die Normalenableitung einfach zur Ableitung nach <math>t</math>. Schreibt man abkürzend <math>x=(x_1,\dotsc, x_{n-1})</math> und <math>\alpha = (\alpha_1,\dotsc, \alpha_{n-1})</math>, so lautet das Cauchy-Problem nun
: (1') <math> F(x,t,(\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,t))_{|\alpha|+j\le k)}) \,=\,0 </math>
: (2') <math> u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x),\,\dotsc,\,\partial_t^{k-1} u(x,0) = \varphi_{k-1}(x)</math>.
Ein typisches Beispiel ist etwa die dreidimensionale [[Wellengleichung]]
: <math>\partial_t^2 u - c^2\cdot\Delta u = f</math>
: <math>u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x)</math>,
wobei <math>c</math> eine Konstante, <math>f</math> eine vorgegebene Funktion und <math>\Delta = \partial_{x_1}^2+\partial_{x_2}^2+ \partial_{x_3}^2</math> der [[Laplace-Operator]] seien.

Ist <math>u</math> eine Lösung, was gleichzeitig ausreichende Differenzierbarkeit implizieren soll, so sind alle Ableitungen <math>\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,0)</math> mit <math>|\alpha|+j\le k, j<k</math> bereits durch die Cauchy-Daten vorgegeben, denn es ist <math>\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,0) = \partial_x^\alpha \varphi_j</math>. Lediglich die Ableitung <math>\partial_t^k u</math> ist nicht durch (2') festgelegt, hier kann also nur (1') eine Bedingung stellen. Damit (1') tatsächlich eine nicht-triviale Bedingung und damit das Cauchy-Problem nicht von vornherein [[Korrekt gestelltes Problem|schlecht gestellt]] ist, wird man fordern, dass man die Gleichung (1') nach <math>\partial_t^k u</math> auflösen kann. Das Cauchy-Problem hat dann die Form
: (1") <math>\partial_t^k u(x,t) = G(x,t,(\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,t))_{|\alpha|+j\le k, j<k}) </math>
: (2") <math> u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x),\,\dotsc,\,\partial_t^{k-1} u(x,0) = \varphi_{k-1}(x)</math>,
wobei <math>G</math> eine geeignete Funktion der Stelligkeit <math>n-1 + \tbinom{n+k-1}{k}</math> sei.
In der zuletzt gegebenen Formulierung haben alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung <math>\le k</math>, und die <math>k</math>-te Ableitung nach <math>t</math> tritt tatsächlich auf, denn dies ist gerade die linke Seite von (1") und sie kommt nicht auf der rechten Seite von (1") vor. Man nennt <math>k</math> daher auch die Ordnung des Cauchy-Problems.
Das obige Beispiel der dreidimensionalen Wellengleichung ist offenbar leicht in diese Form zu bringen,
: <math>\partial_t^2 u = f + c^2\cdot\Delta u</math>
: <math>f u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x)</math>
es liegt daher ein Cauchy-Problem der Ordnung 2 vor.

Sind alle Cauchy-Daten analytisch, so sichert der [[Satz von Cauchy-Kowalewskaja]] eindeutige Lösungen des Cauchy-Problems.

== Bestimmung der Integrationskonstante ==
In der Schulmathematik wird die Bestimmung der Integrationskonstante eines [[Unbestimmtes Integral|unbestimmten Integrals]] für einen gegebenen Punkt als Anfangswertproblem bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Anton Bigalke, Norbert Köhler |Titel=Mathematik. Gymnasiale Oberstufe Berlin Grundkurs ma-2. |Auflage= |Verlag=Cornelsen Verlag/Volk und Wissen Verlag |Ort=Berlin |Datum=2011 |ISBN=978-3-06-040002-7 |Seiten=27}}</ref>

'''Beispiel'''

Gesucht ist die Stammfunktion <math>F_C</math> der [[Gebrochenrationale Funktion|gebrochenrationalen Funktion]] <math>f</math> gegeben durch
:<math>f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}</math>,
die durch den Punkt <math>P(4|5)</math> geht.

Zunächst faktorisieren wir den Nenner:
:<math>f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}</math>.

Nun können wir [[Integration durch Substitution|substituieren]]:
:<math>\int u^{-2} \cdot 1\,\mathrm du = -u^{-1} = -\frac{1}{x-1} + C</math>.

Als nächstes müssen wir die x-Koordinate des Punktes einsetzen und den Term mit dem y-Wert gleichsetzen

:<math>-\frac{1}{4-1} + C = 5 \quad \Leftrightarrow \quad C = \frac{16}{3}</math>.

Die gesuchte Stammfunktion lautet demnach:
:<math>F_C(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{16}{3}</math>.

== Abstraktes Cauchy-Problem ==
Seien <math>X</math> ein [[Banachraum]] und <math>A\colon D(A) \subset X \rightarrow X</math> ein [[Linearer Operator|linearer]] oder nichtlinearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem <math>T>0</math>, <math>u_0 \in X</math> und <math>f\colon (0, T) \rightarrow X</math> eine differenzierbare Funktion <math>u\colon [0,T)\rightarrow X</math> mit <math>u(t) \in D(A)</math> für alle <math>T>t>0</math> existiert, die das Anfangswertproblem
:<math>\begin{matrix} u'(t)+A(u(t))&=&f(t), & \quad T>t>0\\ u(0)&=&u_0& \end{matrix}</math>
erfüllt, bezeichnet man als ''abstraktes Cauchy-Problem''. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der [[Stark stetige Halbgruppe|stark stetigen Halbgruppen]] bzw. der [[Analytische Halbgruppe|analytischen Halbgruppen]].
Zu den verschiedenen Anfangsbedingungen und Operatoren gibt es verschiedene Arten des Lösungsbegriffes, im linearen [[Distribution (Mathematik)|distributionelle]] Lösungen, im nichtlinearen die integrale Lösung. Mit klassisch differenzierbaren, beziehungsweise fast überall differenzierbaren Lösungen beschäftigt sich die nachgelagerte Regularitätstheorie.

== Literatur ==
* Wolfgang Walter: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung.'' 7. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2.
* Isao Miyadera, Choong Yun Cho: ''Nonlinear Semigroups.'' American Mathemat. Soc., Providence, RI 1992, ISBN 0-8218-4565-9.
* Amnon Pazy: ''Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.'' Springer-Verlag, New York 1983, ISBN 0-387-90845-5.
* Gerald B. Folland: ''Introduction to Partial Differential Equations.'' Princeton University Press, 1976, ISBN 0-691-08177-8. (insbesondere Kapitel 1.C. für das allgemeine Cauchy-Problem).
*[[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1: Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme''. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston, 2017, ISBN 978-3-11-050036-3.
*[[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]] und Masoud Saravi: ''A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods.'' Springer India, New Delhi et al., 2014. ISBN 978-81-322-1834-0.

== Weblinks ==
* Gert Lube: [https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1735 ''Anfangswertaufgaben.''] (Skript, [[Georg-August-Universität Göttingen|Universität Göttingen]])
* Clemens Brand: [http://institute.unileoben.ac.at/amat/lehrbetrieb/num/vl-skript/skripts05/node85.html ''Illustrationen zu einem einfachen Anfangswertproblem.''] (Skript, [[Montanuniversität Leoben|Uni Leoben]])
* [http://taramath.de/tools/ode ''taramath Online-Tool''] zur Lösung von Anfangswertproblemen.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]

Anfangswertproblem - Versionsgeschichte

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