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2025-05-08T20:20:03Z

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'''Anfangsobjekt''', '''Endobjekt''' und '''Nullobjekt''' sind Begriffe aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Kategorientheorie]].

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: '''initiales''' Objekt für Anfangsobjekt, '''terminales''' oder '''finales''' Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des [[Koprodukt]]s, ein Endobjekt ein spezieller Fall des [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkts]] in Kategorien.

== Definitionen ==

* Ein Objekt <math>X</math> heißt ''Anfangsobjekt'', wenn es für jedes Objekt <math>Y</math> der Kategorie genau einen [[Morphismus]] <math>X \to Y</math> gibt.
* Ein Objekt <math>X</math> heißt ''Endobjekt'', wenn es für jedes Objekt <math>Y</math> der Kategorie genau einen Morphismus <math>Y \to X</math> gibt.
* Ein Objekt heißt ''Nullobjekt'', wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

== Eigenschaften ==
* Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
* Je zwei Endobjekte sind isomorph.
* Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
* Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden [[Isomorphismus|Isomorphismen]] sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils ''eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus''.

* Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des [[Koprodukt]]s, nämlich für die leere Familie von Objekten.
* Das Endobjekt ist ein Sonderfall des [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkts]], nämlich für die leere Familie von Objekten.

== Beispiele ==
*In der Kategorie der Mengen ist die [[leere Menge]] das Anfangsobjekt und jede [[einelementige Menge]] ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
*In der Kategorie der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] oder der [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] ist die [[triviale Gruppe]] (die nur aus dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] besteht) Nullobjekt.
*In der Kategorie der nichtleeren [[Halbgruppe]]n gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
*In der Kategorie der [[Vektorraum|Vektorräume]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] (oder allgemeiner der [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]]) ist der [[Nullvektorraum]] (bzw. der [[Nullmodul]]) Nullobjekt.
*In der Kategorie der [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringe]] mit Einselement ist der Ring '''Z''' der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] Anfangsobjekt und der [[Nullring]] Endobjekt.
*In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
*In der Kategorie der [[Punktierter topologischer Raum|punktierten topologischen Räume]] sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
*Man kann jede [[partielle Ordnung]] als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von <math>x</math> nach <math>y</math> geht, wenn <math>x \le y</math> gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem [[Kleinstes Element|kleinsten Element]] der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem [[Größtes Element|größten Element]].

== Kategorien mit Nullobjekten ==
Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt <math>0</math>, so gibt es zu je zwei Objekten <math>X</math> und <math>Y</math> stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus <math>0 \colon X \to Y</math>, der die Verkettung von
:<math>X \to 0 \to Y </math>
ist. Genauer schreibt man <math>0_{X,Y}</math>, um die Abhängigkeit von <math>X</math> und <math>Y</math> auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt <math>0_{X,Y} = 0_{X',Y'}</math> nur für <math>X=X'</math> und <math>Y=Y'</math>.

Nullmorphismen <math>0 \colon X \to Y</math> in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus <math>X</math> auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von <math>Y</math> abbilden. Beispiele sind:
* In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus <math>0_{X,Y} \colon X \to Y</math> derjenige [[Homomorphismus]], der jedes Element aus <math>X</math> auf das neutrale Element von <math>e_Y\in Y</math> abbildet, das heißt <math>0_{X,Y}(x) = e_Y</math> für alle <math>x\in X</math>.
* In der Kategorie der Moduln über einem Ring <math>R</math> ist der Nullmorphismus <math>0_{X,Y} \colon X \to Y</math> diejenige <math>R</math>-lineare Abbildung, die jedes Element aus <math>X</math> auf das Nullelement von <math>0_Y\in Y</math> abbildet, das heißt <math>0_{X,Y}(x) = 0_Y</math> für alle <math>x\in X</math>.
* In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus <math>0_{X,Y} \colon X \to Y</math> diejenige Abbildung, die jedes Element aus <math>X</math> auf den ausgezeichneten Punkt <math>p_Y\in Y</math> abbildet, das heißt <math>0_{X,Y}(x) = p_Y</math> für alle <math>x\in X</math>. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des [[Kern (Algebra)|Kerns]] eines Morphismus <math>f</math>, dieser ist als [[Differenzkern]] des Paares <math>(f, 0)</math> definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem [[Koprodukt]] in das entsprechende [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkt]].

== Literatur ==
* Götz Brunner: ''Homologische Algebra.'' B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, {{Falsche ISBN|3-411-014420-2}}, Kapitel I, Absatz 3.3: ''Nullobjekte und Nullmorphismen''.

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt - Versionsgeschichte

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