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2022-08-13T21:11:36Z

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Der '''Anderson-Darling-Test''' beziehungsweise '''Anderson-Darling-Anpassungstest''' ist ein [[statistischer Test]], mit dem festgestellt werden kann, ob die [[Häufigkeitsverteilung]] der Daten einer [[Stichprobe]] von einer vorgegebenen hypothetischen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] abweicht. Die bekannteste und häufigste Anwendung dieses [[Anpassungstest]]s ist der Einsatz als Normalitätstest zur Untersuchung einer Stichprobe auf [[Normalverteilung]]. Er ist benannt nach den amerikanischen Mathematikern [[Theodore Wilbur Anderson]] und [[Donald Allan Darling]], die ihn 1952 erstmals beschrieben haben. Weitere detaillierte Untersuchungen zu diesem Test stammen von Michael A. Stephens.

== Testbeschreibung ==

Der Anderson-Darling-Test beruht auf einer Transformation der nach Größe sortierten Werte in der Stichprobe in eine [[Gleichverteilung]] anhand der [[Verteilungsfunktion]] der vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Als Prüfgröße fungiert der Abstand der transformierten Stichprobendaten zur Verteilungsfunktion der Gleichverteilung. Für eine stärkere Gewichtung der Randbereiche sowie für die Anwendung bei unbekannten [[Erwartungswert]]en und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]en sind verschiedene Korrekturen verfügbar. Von Stephens ist darüber hinaus ein Verfahren zur direkten Abschätzung des [[p-Wert]]es aus der [[Teststatistik|Testgröße]] <math>A</math> beschrieben worden. Diese wird, mit <math>F</math> als Verteilungsfunktion der vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, berechnet nach den Formeln

<math>A^2= -n - S \,,</math>

mit

<math>S=\sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{n}\left[\ln F(Y_k) + \ln\left(1-F(Y_{n+1-k})\right)\right].</math>

Die [[Hypothese (Statistik)|Nullhypothese]] des Tests ist die Annahme, dass die Häufigkeitsverteilung der Daten in der Stichprobe der vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht. Ein p-Wert kleiner als 0,05 als Ergebnis des Anderson-Darling-Tests ist demzufolge als [[Statistische Signifikanz|signifikante]] Abweichung von der vorgegebenen Verteilung zu interpretieren. Demgegenüber bedeutet ein p-Wert größer als 0,05 jedoch nicht zwangsläufig, dass die Häufigkeitsverteilung der Daten der vorgegebenen Verteilung entspricht.

Der Anderson-Darling-Test kann ab einem Stichprobenumfang von n≥8 eingesetzt werden. Seine häufigste Anwendung ist die Nutzung als Normalitätstest zum Vergleich der Verteilung einer Stichprobe mit der [[Normalverteilung]]. Die Entscheidung darüber, ob die Werte einer Stichprobe normalverteilt vorliegen, ist wesentlich für die Wahl der statistischen Tests für weitere Analysen. Während bestimmte Verfahren wie der [[t-Test]] und die [[Varianzanalyse]] normalverteilte Stichproben voraussetzen, sind bei Abweichungen von der Normalverteilung [[Nichtparametrische Statistik|nichtparametrische Tests]] wie der [[Mann-Whitney-U-Test]], der [[Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test]], der [[Kruskal-Wallis-Test]] oder der [[Friedman-Test (Statistik)|Friedman-Test]] als Alternative einzusetzen.

== Alternative Verfahren ==

Eine Alternative zum Anderson-Darling-Test für die allgemeine Anwendung als [[Anpassungsgüte|Anpassungstest]] ist der [[Kolmogorow-Smirnow-Test]], mit dem ebenfalls eine Stichprobe mit einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung verglichen werden kann. Im Vergleich zu diesem berücksichtigt der Anderson-Darling-Test bestimmte kritische Werte, wodurch er eine höhere [[Beurteilung eines binären Klassifikators#Sensitivität und Falsch-Negativ-Rate|Sensitivität]] als der Kolmogorow-Smirnow-Test aufweist. Diese kritischen Werte sind jedoch abhängig von der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung, entsprechende Tabellen liegen derzeit für die [[Normalverteilung]], die [[logarithmische Normalverteilung]], die [[Exponentialverteilung]], die [[Weibull-Verteilung]], die [[Extremwertverteilung|Typ-I-Extremwertverteilung]] und die [[logistische Verteilung]] vor. Der Kolmogorow-Smirnow-Test hat im Vergleich zum Anderson-Darling-Test den Vorteil, dass mit ihm auch ein Vergleich der Verteilung von zwei Stichproben möglich ist. Gleiches gilt für den [[Cramér-von-Mises-Test]].

Für den speziellen Einsatz als Normalitätstest gilt der Anderson-Darling-Test als eines der [[Trennschärfe eines Tests|trennschärfsten]] statistischen Verfahren. Alternativen für diese Anwendung sind der hinsichtlich der Teststärke in den meisten Fällen vergleichbare [[Shapiro-Wilk-Test]], der [[Jarque-Bera-Test]] sowie ebenfalls der Kolmogorow-Smirnow-Test, der allerdings als Test auf Normalverteilung nur eine geringe Teststärke aufweist und im Vergleich zu anderen Normalitätstests nicht empfehlenswert ist. Auch der [[Lilliefors-Test]], bei dem es sich um eine spezielle Anpassung des Kolmogorow-Smirnow-Tests für den Test auf Normalverteilung handelt, ist dem Anderson-Darling-Test hinsichtlich der Teststärke unterlegen.

== Literatur ==

* Theodore Wilbur Anderson, Donald Allan Darling: ''Asymptotic Theory of Certain „Goodness of Fit“ Criteria Based on Stochastic Processes.'' In: ''Annals of Mathematical Statistics.'' 23(2)/1952, S. 193–212, {{JSTOR|2236446}}
* Michael A. Stephens: ''EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons.'' In: ''Journal of the American Statistical Association.'' 69/1974, S. 730–737, {{DOI|10.1080/01621459.1974.10480196}} {{JSTOR|2286009}}
* Michael A. Stephens: ''Goodness of Fit, Anderson–Darling Test of.'' In: ''Encyclopedia of Statistical Sciences.'' John Wiley & Sons, 2006, {{DOI|10.1002/0471667196.ess0041.pub2}}

== Weblinks ==

* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35e.htm NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Anderson-Darling Test] (englisch)
* [https://www.sixsigmablackbelt.de/test-auf-normalverteilung-excel/ Freies Excel Template für Anderson-Darling Test] (deutsch)

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]

Anderson-Darling-Test - Versionsgeschichte

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