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'''Analytische Mengen''' werden in den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Maßtheorie]] und der [[Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] betrachtet, es handelt sich um spezielle Teilmengen [[Polnischer Raum|polnischer Räume]]. Sie sind allgemeiner als [[Borelmenge]]n, haben aber noch gewisse Messbarkeitseigenschaften.

== Definition ==

Eine Teilmenge <math>A</math> eines polnischen Raums <math>X</math> heißt analytisch, falls es einen polnischen Raum <math>Z</math> und eine stetige Abbildung <math>f\colon Z\rightarrow X</math> gibt mit <math>f(Z)=A</math>. Kurz: Analytische Mengen sind stetige Bilder polnischer Räume.<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 8.2.</ref>

Auch die leere Menge soll analytisch sein. Daher muss man entweder die leere Menge als polnischen Raum zulassen oder die leere Menge explizit hinzunehmen.

== Eigenschaften ==

* [[Abzählbarkeit|Abzählbare]] Vereinigungen und abzählbare Durchschnitte analytischer Mengen sind wieder analytisch.

* Komplemente analytischer Mengen sind im Allgemeinen nicht wieder analytisch.

* In einem polnischen Raum ist jede Borelmenge analytisch, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

* Analytische Mengen haben die [[Baire-Eigenschaft]].

* Jede analytische Menge ist [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]].

== Projektionen von Borelmengen ==
Analytische Mengen lassen sich wie folgt als Projektionen von Borelmengen charakterisieren. Für zwei Mengen <math>X</math> und <math>Z</math> sei <math>\pi_2\colon Z\times X\rightarrow X</math> die Projektion auf die zweite Komponente. Für eine Teilmenge <math>A\subset X</math> eines polnischen Raums sind dann folgende Aussagen äquivalent:
# <math>A</math> ist analytisch.
# Es gibt einen polnischen Raum <math>Z</math> und eine abgeschlossene Menge <math>C\subset Z\times X</math> mit <math>A=\pi_2(C)</math>.
# Es gibt einen polnischen Raum <math>Z</math> und eine Borel-Menge <math>B\subset Z\times X</math> mit <math>A=\pi_2(B)</math>.
Zum Beweis genügt es den Fall zu betrachten, dass <math>A\subset X</math> nicht leer ist.
Ist <math>A</math> analytisch, so ist definitionsgemäß <math>A=f(Z)</math> für eine stetige Funktion <math>f\colon Z\rightarrow X</math> auf einem polnischen Raum <math>Z</math>. Dann ist der Graph <math>G(f)\subset Z\times X</math> abgeschlossen und <math>\pi_2(G(f)) = f(Z) = A</math>, womit der Schluss von 1. nach 2. gezeigt wäre. Da abgeschlossene Mengen Borelmengen sind, folgt 3. aus 2. Liegt schließlich 3. vor, so gibt es einen polnischen Raum <math>Y</math> und eine stetige Abbildung <math>f\colon Y\rightarrow Z\times X</math> mit <math>B=f(Y)</math>, denn Borelmengen sind analytisch. Dann ist <math>A=(\pi_2\circ f)(Y)</math> stetiges Bild eines polnischen Raums und daher analytisch.

== Trennungssatz für analytische Mengen ==

Der folgende Trennungssatz für analytische Mengen geht auf [[Nikolai Nikolajewitsch Lusin|N. N. Lusin]] zurück<ref>[[Kazimierz Kuratowski]]: ''Topology.'' Band 1. New edition, revised and augmented. Academic Press, New York u. a. 1966, ISBN 0-1242-9201-1, S. 485.</ref>:
* Es seien <math>X</math> ein polnischer Raum und <math>A_1,\,A_2\subset X</math> zwei disjunkte analytische Mengen. Dann gibt es zwei disjunkte Borelmengen <math>B_1,\,B_2\subset X</math> mit <math>A_1\subset B_1</math> und <math>A_2\subset B_2</math>.<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 8.3.1.</ref>

Folgerung: Eine analytische Menge <math>A\subset X</math> ist genau dann eine Borelmenge, wenn auch das Komplement <math>X\setminus A</math> analytisch ist.

Zum Beweis der Folgerung sei zunächst <math>A</math> Borelmenge. Dann ist auch <math>X\setminus A</math> Borelmenge und daher analytisch. Ist umgekehrt <math>X\setminus A</math> analytisch, so wende obigen Trennungssatz auf <math>A_1=A</math> und <math>A_2=X\setminus A</math> an. Wegen der Disjunktheit muss dann <math>A_1=B_1</math> sein, das heißt <math>A</math> ist eine Borelmenge.

== Der Baire-Raum ==

Ein spezieller polnischer Raum ist der [[Baire-Raum (speziell)|Baire-Raum]] <math>\mathcal{N}:=\N^\infty</math> mit der [[Produkttopologie]]. <math>\mathcal{N}</math> ist der Raum aller Folgen <math>\vec{n}=(n_k)_k</math> natürlicher Zahlen, die Topologie wird zum Beispiel von der durch
<math>d(\vec{n},\vec{m}) := 2^{-n(\vec{n},\vec{m})}</math>
definierten vollständigen Metrik erzeugt, wobei <math>n(\vec{n},\vec{m})</math> der kleinste Index ist, an dem sich die beiden Folgen unterscheiden. Man kann zeigen, dass jeder (nicht-leere) polnische Raum ein stetiges Bild von <math>\mathcal{N}</math> ist. Aus der Definition der analytischen Menge ergibt sich daher unmittelbar:
* Eine nicht-leere Teilmenge <math>A</math> eines polnischen Raums <math>X</math> ist genau dann analytisch, wenn es eine stetige Abbildung <math>f\colon\mathcal{N}\rightarrow X</math> mit <math>f(\mathcal{N})=A</math> gibt.

Mittels des Raumes <math>\mathcal{N}</math> kann man alle analytischen Mengen eines polnischen Raums als Projektion einer festen analytischen Menge erhalten. Es gilt folgender Satz:<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 8.2.16.</ref>
* Sei <math>X</math> ein polnischer Raum. Dann gibt es eine analytische Teilmenge <math>A\subset \mathcal{N}\times X</math>, so dass
:<math>\{x\in X \vert (\vec{n},x)\in A\} \quad \text{für } \vec{n}\in \mathcal{N}</math>
genau die analytischen Mengen von <math>X</math> durchläuft.

Wendet man diesen Satz auf <math>X=\mathcal{N}</math> an, so kann man zeigen, dass
<math>\{\vec{n} \vert (\vec{n},\vec{n})\in A\}</math> eine analytische Menge in <math>\mathcal{N}</math> ist, die keine Borelmenge ist.

Im Falle des Baire-Raums lässt sich jede analytische Menge bereits als Projektion einer abgeschlossenen Menge im <math>\mathcal{N}^2</math> darstellen, im Falle der reellen Zahlen und des [[Cantor-Raum|Cantor-Raums]] <math>\mathcal{C}</math> reichen Projektionen abzählbarer Schnitte offener Mengen im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathcal{C}^2</math>.<ref>[[Donald A. Martin]], ''Descriptive Set Theory: Projektive Sets.'' In: [[Jon Barwise]] (Hrsg.): ''Handbook of Mathematical Logic'' (= ''Studies in Logic and the Foundations of Mathematics.'' Bd. 90). North-Holland, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2285-X, S. 783–815, hier S. 790, {{doi|10.1016/S0049-237X(08)71121-2}}.</ref>

== Universelle Messbarkeit ==

Eine Teilmenge <math>T</math> eines [[Messraum (Mathematik)|Messraums]] <math>(X,\mathcal{X})</math> heißt ''universell messbar'', wenn es zu jedem endlichen [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\mu</math> auf <math>(X,\mathcal{X})</math> Mengen <math>B_1,\,B_2\in \mathcal{X}</math> gibt mit <math>B_1\subset T \subset B_2</math> und <math>\mu(B_2\setminus B_1) = 0</math>. Jede Menge aus <math>\mathcal{X}</math> ist universell messbar, denn in diesem Fall kann man <math>B_1 = T = B_2</math> wählen.
Offenbar bildet die Menge aller universell messbaren Mengen eine [[σ-Algebra]], die nach dem gerade Gesagten die σ-Algebra <math>\mathcal{X}</math> umfasst.

Polnische Räume sind in natürlicher Weise Messräume, indem man sie mit der σ-Algebra der Borelmengen versieht, und bezüglich dieses Messraums ist universelle Messbarkeit in polnischen Räumen zu verstehen. Dann gilt:<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Korollar 8.4.3</ref>

* Jede analytische Menge eines polnischen Raums ist universell messbar.

Insbesondere ist also jede analytische Menge [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]]. Da es analytische Mengen gibt, die keine Borelmengen sind, ist die σ-Algebra der universell messbaren Mengen im Allgemeinen echt größer als die σ-Algebra der Borelmengen.

== Schnitte ==
Ist <math>f\colon X\rightarrow Y</math> eine surjektive Abbildung, so nennt man eine Abbildung <math>g\colon Y\rightarrow X</math> einen Schnitt von <math>f</math>, falls <math>f\circ g = \mathrm{id}_Y</math>. Die Existenz einer solchen Abbildung folgt leicht aus dem [[Auswahlaxiom]], indem man mittels Surjektivität zu jedem <math>y\in Y</math> ein [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] <math>x_y \in f^{-1}(\{y\})</math> wählt und <math>g(y) = x_y</math> setzt. Sind <math>X</math> und <math>Y</math> Messräume und ist <math>f</math> messbar, so stellt sich die Frage, ob man einen messbaren Schnitt <math>g</math> finden kann.

Zur Untersuchung dieser Frage nennen wir einen Messraum <math>(Y,\mathcal{Y})</math> ''abzählbar separiert'', falls es eine Folge <math>(E_n)_n</math> von Mengen aus <math>\mathcal{Y}</math> gibt, so dass zu je zwei verschiedenen Punkten aus <math>Y</math> stets ein <math>E_n</math> gefunden werden kann, das genau einen der beiden Punkte enthält.
Man nennt <math>(Y,\mathcal{Y})</math> einen ''analytischen Borelraum'', falls er als Messraum isomorph zu einem Messraum <math>(A,\mathcal{A})</math> ist, wobei <math>A</math> eine analytische Teilmenge eines polnischen Raums <math>X</math> und <math>\mathcal{A}</math> die σ-Algebra der Durchschnitte der Borelmengen von <math>X</math> mit <math>A</math> ist. Mit diesen Begriffen gilt folgender Satz:<ref>[[William Arveson]]: ''Invitation to C*-algebras'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 39). Springer, New York NY u. a. 1976, ISBN 0-387-90176-0, Theorem 3.4.3. </ref>
* Es seien <math>(X,\mathcal{X})</math> ein analytischer Borelraum, <math>(Y,\mathcal{Y})</math> ein abzählbar separierter Messraum und <math>f\colon X\rightarrow Y</math> eine messbare Abbildung. Dann gibt es einen <math>\mathcal{U}</math>-<math>\mathcal{X}</math>-messbaren Schnitt von <math>f</math>, wobei <math>\mathcal{U}</math> die σ-Algebra der bezüglich <math>(Y,\mathcal{Y})</math> universell messbaren Mengen sei.

Derartige Sätze spielen eine entscheidende Rolle in der Struktur- und [[Darstellungstheorie]] von [[Postliminale C*-Algebra|Typ-I-C*-Algebren]], wie im unten angegebenen Lehrbuch von [[William Arveson|W. Arveson]] ausgeführt wird<ref>William Arveson: ''Invitation to C*-algebras'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 39). Springer, New York NY u. a. 1976, ISBN 0-387-90176-0, Kapitel 4</ref>, oder in der Disintegration von [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]], wie sie etwa in<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and their Automorphism Groups'' (= ''L.M.S. Monographs.'' Bd. 14). Academic Press Inc., London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Kapitel 4.</ref> zu finden ist.

== Historische Bemerkung ==
[[Henri Lebesgue|H. Lebesgue]] war in einer Veröffentlichung aus dem Jahre 1905 fälschlicherweise der Meinung, gezeigt zu haben, dass die Projektion einer Borelmenge der Ebene <math>\R^2</math> auf die <math>x</math>-Achse wieder eine Borelmenge sei. [[Michail Jakowlewitsch Suslin|M. J. Suslin]] hatte 1917 den darin enthaltenen Fehler aufgedeckt, die analytischen Mengen eingeführt und gezeigt, dass es analytische Mengen gibt, die keine Borelmengen sind.<ref>Richard M. Dudley: ''Real Analysis and Probability'' (= ''Cambridge Studies in Advanced Mathematics.'' Bd. 74). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-00754-2, S. 500.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Projektive Hierarchie]] – die analytischen (und koanalytischen) Mengen bilden die erste Stufe der projektiven Hierarchie.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]]

Analytische Menge - Versionsgeschichte

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