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2026-03-11T09:40:22Z

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Die '''analytische Geometrie''' (auch '''Vektorgeometrie''' oder '''Koordinatengeometrie''') ist ein Teilgebiet der [[Geometrie]], das [[algebra]]ische Hilfsmittel (vor allem aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt. Der Kerngedanke der analytischen Geometrie besteht darin, geometrische Gebilde wie [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] (insbesondere [[Gerade]]n) oder [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] (insbesondere [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]) als Punktmengen aufzufassen und jedem Punkt Zahlen zuzuordnen, die den Punkt eindeutig beschreiben (sogenannte ''Koordinaten''). Kurven und Flächen können dadurch oft mithilfe von [[Gleichung]]en oder [[Gleichung#Gleichungssysteme|Gleichungssystemen]] beschrieben werden. Dies ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen. Die Ergebnisse dieser Berechnungen werden dann in geometrische Aussagen „rückübersetzt“.

Demgegenüber wird Geometrie, die ihre Sätze ohne Bezug zu einem Koordinatensystem auf einer axiomatischen Grundlage begründet, als ''[[synthetische Geometrie]]'' bezeichnet.

Die Verfahren der analytischen Geometrie werden in allen [[Naturwissenschaft]]en angewendet, vor allem aber in der [[Physik]], wie zum Beispiel bei der Beschreibung von [[Planet]]enbahnen. Ursprünglich befasste sich die analytische Geometrie nur mit Fragestellungen der [[Planimetrie|ebenen]] und der [[Stereometrie|räumlichen]] ([[Euklidische Geometrie|euklidischen]]) Geometrie. Im allgemeinen Sinn jedoch beschreibt die analytische Geometrie [[Affiner Raum|affine Räume]] beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] über beliebigen [[Körper (Algebra)|Körpern]].

Die analytische Geometrie bildet die Grundlage für die meisten modernen Gebiete der Geometrie wie die [[algebraische Geometrie]], die [[Differentialgeometrie]], die diskrete Geometrie und die [[algorithmische Geometrie]].

== Das Koordinatensystem ==
{{Hauptartikel|Koordinatensystem}}
[[Datei:Cartesian-coordinate-system.svg|mini|Punkte und ihre Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene]]
Entscheidendes Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem, meist ein [[kartesisches Koordinatensystem]]. Für manche einfache Fragestellungen, etwa die Bestimmung von Geradenschnittpunkten, die Untersuchung von [[Gerade]]n auf [[Parallel (Geometrie)|Parallelität]] oder die Berechnung von [[Teilverhältnis]]sen, würde allerdings schon ein [[schiefwinkliges Koordinatensystem]] ausreichen. Unverzichtbar ist ein kartesisches Koordinatensystem, wenn [[Abstand|Abstände]] oder [[Winkel]] berechnet werden sollen.

== Vektoren ==
{{Hauptartikel|Vektor}}
Viele Rechnungen der analytischen Geometrie werden durch die Verwendung von Vektoren vereinheitlicht und vereinfacht. Obwohl die gesamte analytische Geometrie ohne Vektoren erfunden wurde und natürlich weiterhin ohne Vektoren auskommt und umgekehrt der [[Vektorraum]] als ein abstrakt-algebraisches Konstrukt ohne geometrischen Bezug definiert werden kann, erscheint die Verwendung von Vektoren in kartesischen Koordinatensystemen so natürlich, dass „Lineare Algebra und Analytische Geometrie“ in der Sekundarstufe II und im mathematisch-physikalisch-technischen Grundstudium allgemein als ein Kurs unterrichtet werden.

== Koordinaten- und Parametergleichungen ==
Kompliziertere geometrische Gebilde wie [[Gerade]]n, [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]], [[Kreis (Geometrie)|Kreise]], [[Kugel]]n werden als Punktmengen aufgefasst und durch [[Gleichung]]en beschrieben. Dabei kann es sich um Koordinatengleichungen oder um Parametergleichungen handeln.

; Implizite Koordinatengleichung
: Die Koordinatengleichung hat die Form <math>f(x, y, \dotsc)=0</math>, wobei <math>f(x, y, \dotsc)</math> ein von den Koordinaten abhängiger Rechenausdruck ist.
: Beispiel (Gerade der Zeichenebene)
: <math>2x-3y+7 = 0</math>
; Explizite Koordinatengleichung
: Eine der Koordinaten wird durch die anderen ausgedrückt.
: Beispiel (Ebene im Raum)
: <math>z = 2x-5y+3</math>
: Explizite Koordinatengleichungen haben den Nachteil, dass oft Fallunterscheidungen durchzuführen sind; so ist es beispielsweise
: in der Ebene unmöglich, eine Parallele zur <math>y</math>-Achse in der Form <math>y = mx+b</math> darzustellen.
; Parametergleichung
: Der [[Ortsvektor]] <math>\vec x = \overrightarrow{OX}</math> eines beliebigen Punktes <math>X</math> des Gebildes ist durch einen vektoriellen Rechenausdruck gegeben, der einen oder mehrere Parameter enthält.
: Beispiel (Gerade im Raum): <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\-4\\-3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix}</math>

== Analytische Geometrie der Ebene ==
=== Punkte in der Ebene ===
Jeder Punkt <math>P</math> der Ebene wird durch zwei [[Koordinaten]] beschrieben, z. B. <math>P(2 \mid -1{,}5)</math>. Die Koordinaten nennt man üblicherweise (in dieser Reihenfolge) die ''<math>x</math>-Koordinate'' (auch: [[Abszisse]]) und die ''<math>y</math>-Koordinate'' (auch: [[Ordinate]]). Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.

Die zusammengefassten Koordinaten von Punkten der Ebene bilden [[Geordnetes Paar|geordnete Paare]].

[[Datei:Cartesian coordinate.svg|300px]]

=== Geraden in der Ebene ===
; Koordinatengleichung
: <math>a x + b y =\,\! c</math>
: Man spricht auch von der ''allgemeinen Form'' der Geradengleichung.
; Parametergleichung [[Datei:ParGlGerade.svg|zentriert|700px]]
: <math>\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \vec{u}</math>
: Dabei ist <math>\overrightarrow{OA}=\vec{A}</math> der Ortsvektor eines beliebigen, aber fest gewählten Punktes der Geraden (Stützpunkt); <math>\vec{u}</math> ist ein so genannter [[Richtungsvektor]], also ein Vektor, dessen Richtung [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur Geraden ist.

=== Kurven zweiter Ordnung in der Ebene ===
Durch eine (implizite Koordinaten-)Gleichung zweiten Grades

: <math>A x^2 + B y^2 + C xy + D x + E y + F = 0</math>

ist im Allgemeinen ein [[Kegelschnitt]] gegeben. Je nach den Werten der Koeffizienten kann es sich dabei um eine [[Ellipse]] (Spezialfall: [[Kreis (Geometrie)|Kreis]]), eine [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] oder eine [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] handeln.

== Analytische Geometrie des euklidischen Raumes ==
=== Punkte im Raum ===
Jeder Punkt <math>P</math> des Raumes ist durch drei [[Koordinaten]] bestimmt, z. B. <math>P = P(4\mid-0{,}5\mid-3)</math>. Jedem Punkt <math>P</math> ordnet man seinen [[Ortsvektor]] <math>\overrightarrow{OP}</math> zu, das ist der Verbindungsvektor des [[Koordinatenursprung|Ursprungs]] des Koordinatensystems mit dem gegebenen Punkt. Seine Koordinaten entsprechen denen des Punktes <math>P</math>, werden aber als Spaltenvektor geschrieben:
: <math>\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}4\\-0{,}5\\-3\end{pmatrix}</math>
Die Koordinaten werden (in dieser Reihenfolge) als <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Koordinate oder als <math>x_1</math>-, <math>x_2</math>- und <math>x_3</math>-Koordinate bezeichnet.

Die zusammengefassten Koordinaten von Punkten bilden im räumlichen Fall [[Tupel|3-Tupel]].

=== Geraden im Raum ===
; Koordinatengleichungen
: Geraden im Raum können nicht durch eine einzige Koordinatengleichung beschrieben werden. Man kann eine Gerade aber stets als [[Mengenlehre|Durchschnitt]] (Schnittmenge) zweier [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] auffassen und Koordinatengleichungen dieser beiden Ebenen (siehe unten) verwenden, um die Gerade eindeutig festzulegen.
; Parametergleichung
: <math>\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \vec{u}</math>

Die Gleichung hat also dieselbe Form wie im zweidimensionalen Fall.

=== Ebenen im Raum ===
; Koordinatengleichung
: <math>a x + b y + c z =\,\! d</math>
: Diesen Typ der [[Ebenengleichung]] bezeichnet man als ''Normal(en)form'', da der Vektor <math>\vec n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}</math> [[Orthogonalität|senkrecht]] (normal) zur Ebene steht.
; Parametergleichung [[Datei:ParGlEbene.png|zentriert]]
: <math>\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}</math>
: <math>\overrightarrow{OA}= \vec{A}</math> ist der Ortsvektor eines beliebigen, aber fest gewählten Punktes der Ebene (Stützpunkt); <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> sind linear unabhängige [[Richtungsvektor]]en (oder ''Spannvektoren''), also Vektoren [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur Ebene, die die Ebene „aufspannen“.

=== Flächen zweiter Ordnung im Raum ===
Die allgemeine Koordinatengleichung zweiten Grades

: <math>A x^2 + B y^2 + C z^2 + D xy + E xz + F yz + G x + H y + I z + J = 0</math>

beschreibt eine [[Fläche zweiter Ordnung]]. Die wichtigsten Spezialfälle sind:

[[Ellipsoid]], [[elliptisches Paraboloid]], [[hyperbolisches Paraboloid]], [[Hyperboloid|einschaliges Hyperboloid]], [[Hyperboloid|zweischaliges Hyperboloid]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], [[elliptischer Zylinder]], [[parabolischer Zylinder]], [[hyperbolischer Zylinder]].

== Verallgemeinerung: Analytische Geometrie eines beliebigen affinen Raumes ==
Die Konzepte der analytischen Geometrie lassen sich dadurch verallgemeinern, dass man Koordinaten aus einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] sowie beliebige [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] zulässt.

Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem Körper <math>K</math> und <math>R</math> ein zu <math>V</math> gehöriger [[affiner Raum]], so lässt sich ein <math>k</math>-dimensionaler Unterraum von <math>R</math> beschreiben durch die Parametergleichung

: <math>\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \vec{v_1} + \dotsb + \lambda_k \vec{v_k}</math>.

Dabei ist <math>\overrightarrow{OA} = \vec{A}</math> der Ortsvektor eines beliebigen, aber festgewählten Punktes des Unterraumes (Stützpunkt); die Vektoren <math>\vec{v_1}, \dotsc, \vec{v_k}</math> sind [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Vektoren, also eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des [[Untervektorraum]]s von <math>V</math>, der zum betrachteten Unterraum von <math>R</math> gehört.

Für <math>k = 1</math> handelt es sich um die Gleichung einer Geraden, für <math>k = 2</math> um die Gleichung einer Ebene. Ist <math>k</math> um 1 kleiner als die Dimension von <math>R</math> bzw. <math>V</math>, so spricht man von einer [[Hyperebene]].

In Analogie zu den Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitten) der ebenen Geometrie und zu den Flächen zweiter Ordnung der räumlichen Geometrie betrachtet man im <math>n</math>-dimensionalen affinen Raum auch so genannte [[Quadratische Form|Quadriken]], das sind Hyperflächen zweiter Ordnung (mit der Dimension <math>n-1</math>), die durch Koordinatengleichungen zweiten Grades definiert sind:

: <math>\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{ij} x_i x_j + \sum_{i=1}^n B_i x_i + C = 0</math>

== Typische Aufgabenstellungen der analytischen Geometrie ==
=== Inzidenz-Überprüfung ===
Hier geht es darum festzustellen, ob ein gegebener Punkt zu einer gegebenen Punktmenge (etwa zu einer Geraden) gehört.

==== Im zweidimensionalen Raum ====
Als Beispiel soll die Gerade mit der expliziten Koordinatengleichung

: <math>y = 2 \cdot x - 3</math>

betrachtet werden.

Der Punkt <math>P(2|1)</math> liegt auf dieser Geraden, wie man durch Einsetzen der Koordinaten <math>x=2</math> und <math>y=1</math> (Punktprobe) erkennt:

: <math>1 = 2 \cdot 2 - 3</math>

Der Punkt <math>S(4|2)</math> hingegen liegt
nicht auf der Geraden. Für <math>x=4</math> und <math>y=2</math> gilt nämlich

: <math>2 \neq 2 \cdot 4 - 3</math>.

: [[Datei:Gerade als Punktmenge.PNG]]

==== Im dreidimensionalen Raum ====
Es soll geprüft werden, ob der Punkt <math>Q(-1\mid9\mid-2)</math> auf der Geraden mit folgender [[Parameterform]] liegt:

: <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}-7\\7\\-6\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}</math> .

Wird für <math>\vec{x}</math> der Ortsvektor <math>\overrightarrow{OQ}</math> von <math>Q</math> eingesetzt, so führt das zu folgenden drei Gleichungen:

: <math>\begin{matrix}
-1 & = & -7 & + & t \cdot 3 & \Rightarrow & t=2\\
9 & = & 7 & + & t \cdot 1 & \Rightarrow & t=2\\
-2 & = & -6 & + & t \cdot 2 & \Rightarrow & t=2\\
\end{matrix}</math>

Da <math>t</math> in allen drei Fällen denselben Wert hat (hier <math>2</math>), liegt <math>Q</math> auf der Geraden.

=== Bestimmung der Schnittmenge zweier Punktmengen ===
Die Bestimmung der Schnittmenge zweier Punktmengen (z. B. des Schnittpunkts zweier Geraden) läuft auf das Lösen eines [[Gleichungssystem]]s hinaus. Je nachdem, in welcher Form die beiden Punktmengen beschrieben werden, variiert das Verfahren ein wenig:

; Fall 1
: Beide Punktmengen sind durch ''Koordinatengleichungen'' gegeben.
: In diesem Fall wird die Schnittmenge durch die Gesamtheit der Koordinatengleichungen beschrieben.
; Fall 2
: Beide Punktmengen sind durch ''Parametergleichungen'' gegeben.
: Die Schnittmenge erhält man durch Gleichsetzen der rechten Seiten dieser Gleichungen.
; Fall 3
: Eine der Punktmengen ist durch eine ''Koordinatengleichung'' gegeben, die andere durch eine Parametergleichung.
: In diesem Fall setzt man die einzelnen Koordinaten der vektoriellen Parametergleichung in die Vektorgleichung ein.

==== Im zweidimensionalen Raum ====
Es soll geprüft werden, ob und wo sich die Graphen der Funktionen <math>g(x)</math> und <math>f(x)</math> schneiden. Dabei entspricht <math>g(x)=2x^2-2</math> und <math>f(x)=2x+2</math>:

[[Datei:2x^2-2 und 2x+2 Graphen.png]]

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden nun die Funktionsterme der Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt. Auf diese Weise findet man die <math>x</math>-Koordinate(n), für welche die beiden Funktionen die gleiche <math>y</math>-Koordinate haben:

: <math>\begin{align}
2x^2 - 2 & = 2 x + 2 \\
2x^2 - 2 x - 4 & = 0\\
x^2 - x - 2 & = 0\\
\end{align}</math>

Das Lösen dieser [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] führt zu den Lösungen: <math>x_1 = -1</math> und <math>x_2 = 2</math>.

Durch Einsetzung in eine der beiden anfänglichen Gleichungen ergibt das die Schnittpunkte bei: <math>S_1(-1|0)</math> und <math>S_2(2|6)</math>.

==== Im dreidimensionalen Raum ====
Es soll geprüft werden, ob und in welchem Punkt sich die beiden Geraden <math>g_1</math> und <math>g_2</math> schneiden.
Die beiden Geraden seien definiert wie folgt:

: <math>g_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}\qquad\left(s\in\mathbb{R}\right)</math>

: <math>g_2:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}-2480\\105\\1167\\\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}\qquad\left(t\in\mathbb{R}\right)</math>

Wie im zweidimensionalen Raum werden auch hier die beiden Gleichungen gleichgesetzt:

: <math>\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2480\\105\\1167\\\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}</math>

: <math>s\cdot\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix} -t\cdot\begin{pmatrix}-150\\-120\\-1\\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2500\\135\\-33\\\end{pmatrix} </math>

Die Vektorgleichung kann man in folgende 3 Gleichungen zerlegen:

: <math>\begin{array}{ccccl|l}
-100 \cdot s & - & 150 \cdot t & = & -2500 & \cdot 3/50\\
225 \cdot s & - & 120 \cdot t & = & 135 & :5\\
-3 \cdot s & - & 1 \cdot t & = & -33 & \cdot (-2)\\
\end{array}
\Leftrightarrow
\begin{array}{ccccl}
-6 \cdot s & - & 9 \cdot t & = & -150 \\
45 \cdot s & - & 24 \cdot t & = & 27 \\
6 \cdot s & + & 2 \cdot t & = & 66\\
\end{array}</math>

Addieren der ersten und letzten Gleichung liefert <math>-7\cdot t=-84</math> bzw. <math>t=12</math>. Aus der ersten Gleichung ergibt sich damit durch Einsetzen <math>-6\cdot s=-42</math>, also <math>s=7</math>. Diese Lösung erfüllt auch die zweite Gleichung, denn <math>45\cdot 7-24\cdot 12=27</math>.

Den Ortsvektor des Schnittpunktes der Geraden erhält man, indem man einen der beiden berechneten Parameter (<math>s</math>) in die entsprechende Gerade (<math>g_1</math>) einsetzt:
: <math>\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix} +7\cdot\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-680\\1545\\1179\\\end{pmatrix} \Rightarrow S\left(-680|1545|1179\right)</math>

== Geschichte ==
Bereits bei den antiken griechischen Mathematikern [[Apollonios von Perge]] und [[Archimedes|Archimedes von Syrakus]] finden sich Ansätze einer Koordinatengeometrie. Systematisch aufgebaut wurde die analytische Geometrie erstmals und unabhängig voneinander von den französischen [[Liste von Mathematikern|Mathematikern]] [[René Descartes]] (1596–1650) und [[Pierre de Fermat]] (1607–1665).<ref name=":0">{{Literatur |Autor=[[H. S. M. Coxeter]] |Titel=Introduction to Geometry |Auflage=2. |Verlag=Wiley |Datum=1969 |Seiten=108}}</ref> Besonderen Einfluss erlangte das Werk ''[[La Géométrie|La Géometrie]]'' (1637) von Descartes.<ref>{{Literatur |Autor=Andreas Filler |Titel=Elementare Lineare Algebra |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-8274-2412-9 |Seiten=49 |Abruf=}}</ref> In der Formulierung von Descartes und Fermat sind Koordinaten stets positiv oder null. [[Isaac Newton]] ließ erstmals auch negative Koordinaten zu und erweiterte somit die Koordinatenebene zu der heute bekannten Form mit vier [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]].<ref name=":0" /> Weitere wesentliche Erweiterungen sind [[Leonhard Euler]] (1707–1783) zu verdanken, der sich insbesondere mit den Kurven bzw. Flächen zweiter Ordnung befasste. Die Entwicklung der Vektorrechnung (unter anderem durch [[Hermann Graßmann]]) ermöglichte die heute übliche Vektorschreibweise.

[[David Hilbert]] hat nachgewiesen, dass die dreidimensionale analytische Geometrie vollständig äquivalent ist zu der (synthetischen) [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] in der von ihm [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|präzisierten Form]]. In praktischer Hinsicht ist sie dieser weit überlegen. In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde deshalb die Ansicht vertreten, Geometrie in der Art, wie sie seit [[Euklid]] gelehrt wurde, sei nur noch von geschichtlichem Interesse.

Das Autorenkollektiv [[Nicolas Bourbaki]] ging sogar noch einen Schritt weiter: Es verzichtete ganz auf geometrische Begriffsbildungen wie Punkt, Gerade usw. und hielt mit Behandlung der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] alles Nötige für gesagt. Dabei wird natürlich – wie stets bei Bourbaki – von den Bedürfnissen der [[Angewandte Mathematik|angewandten Mathematik]] völlig abgesehen.

Aus historischen Gründen wird im [[Schulmathematik|Schulunterricht]] heute noch ''Analytische Geometrie'' für ein Teilgebiet der Mathematik gesagt, das im wesentlichen [[Lineare Algebra]] ist und nur wenig mit den spezielleren Fragestellungen der analytischen Geometrie zu tun hat (ähnlich wie ''[[Infinitesimalrechnung]]'' statt [[Analysis]]).

== Siehe auch ==
* [[Dynamische Raumgeometrie]]
* [[Formelsammlung analytische Geometrie]]
* [[Geradengleichung]]
* [[Ebenengleichung]]
* [[Kreisgleichung]]
* [[Subtangente]]

== Literatur ==
*[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Analytische Geometrie: Eine Einführung für Studienanfänger''. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden 2001, ISBN 978-3-528-67235-5.
*[[Wilhelm Blaschke]]: ''Analytische Geometrie''. 2. Auflage. Springer, 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6.
*[[Arthur Schoenflies]], [[Max Dehn]]: ''Einführung in die analytische Geometrie'' (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen''. Band XXI). 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 1931, ISBN 978-3-662-35991-4.
*Helmut Albrecht: ''Elementare Koordinatengeometrie'' (= ''Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II''). Springer Spektrum, 2020, ISBN 978-3-662-61619-2.
*Carl B. Boyer: ''History of Analytical Geometry''. Scripta Mathematica, New York 1956.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|MathGymOS/ Analytische Geometrie|Analytische Geometrie}}
*[[Ina Kersten]]: [https://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf ''Analytische Geometrie und Lineare Algebra'']. Skript, Uni Göttingen
*Joachim Gräter: [https://www.math.uni-potsdam.de/fileadmin/user_upload/Prof-Alg-Zahl/Texte/Skripte/Analytische_Geometrie.pdf ''Analytische Geometrie'']. Skript, Uni Potsdam
*A. Filler: [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/analytische-geometrie/146 ''Analytische Geometrie''] auf spektrum.de

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4001867-2}}

[[Kategorie:Analytische Geometrie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Analytische Geometrie - Versionsgeschichte

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