imported>Troubled asset: /* Beispiele nicht-analytischer Funktionen */ Absatz

2026-01-05T16:56:11Z

Beispiele nicht-analytischer Funktionen: Absatz

Neue Seite

Als '''analytisch''' bezeichnet man in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die lokal durch eine [[Grenzwert (Folge)|konvergente]] [[Potenzreihe]] gegeben ist. Aufgrund der Unterschiede zwischen [[Reelle Zahl|reeller]] und [[Komplexe Zahl|komplexer]] [[Analysis]] spricht man zur Verdeutlichung oft auch explizit von ''reell-analytischen'' oder ''komplex-analytischen'' Funktionen. Im Komplexen sind die Eigenschaften ''analytisch'' und ''[[Holomorphie|holomorph]]'' äquivalent. Ist eine Funktion in der gesamten komplexen Ebene definiert und analytisch, nennt man sie ''[[Ganze Funktion|ganz]]''.

== Definition ==
Es sei <math>\mathbb K=\mathbb R</math> oder <math>\mathbb K=\mathbb C</math> und <math>D\subseteq\mathbb K</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]]. Eine Funktion <math>f\colon D\to\mathbb K</math> heißt ''analytisch im Punkt <math>x_0\in D,</math>'' wenn es eine [[Potenzreihe]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>
gibt, die auf einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>x_0</math> gegen <math>f(x)</math> konvergiert. Ist <math>f</math> in jedem Punkt von <math>D</math> analytisch, so heißt <math>f</math> ''analytisch''.

== Eigenschaften ==
* Eine analytische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Die Umkehrung gilt nicht, siehe Beispiele unten.

* Die lokale Potenzreihendarstellung einer analytischen Funktion <math>f</math> ist ihre [[Taylorreihe]]. Es gilt also
::<math>a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>.

* Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten (sofern der Nenner keine Nullstellen hat) und Verkettungen analytischer Funktionen sind analytisch.

* Ist <math>D</math> [[zusammenhängend]] und besitzt die Menge der Nullstellen einer analytischen Funktion <math>f\colon D\to\mathbb K</math> einen [[Häufungspunkt]] in <math>D</math>, so ist <math>f</math> die [[Nullfunktion]]. Sind entsprechend <math>f,g\colon D\to\mathbb K</math> zwei Funktionen, die auf einer Menge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in <math>D</math> besitzt, z. B. auf einer offenen Teilmenge, so sind sie identisch.

== Reelle Funktionen ==
=== Beispiele analytischer Funktionen ===
Viele gängige Funktionen der reellen Analysis wie beispielsweise [[Polynomfunktion]]en, [[Exponentialfunktion|Exponential-]] und [[Logarithmusfunktion]]en, [[trigonometrische Funktion]]en und [[Rationale Funktion|rationale]] Ausdrücke in diesen Funktionen sind analytisch. Die Menge aller auf einer offenen Menge <math>D</math> reell-analytischen Funktionen wird mit <math>C^\omega(D)</math> bezeichnet.

==== Exponentialfunktion ====
Eine bekannte analytische Funktion ist die Exponentialfunktion
:<math>
\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \dotsb
</math>,
die auf ganz <math>\R</math> konvergiert.

==== Trigonometrische Funktion ====
Auch die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] [[Sinus und Kosinus|Sinus, Kosinus]], [[Tangens und Kotangens|Tangens, Kotangens]] und ihre [[Arkusfunktion]]en sind analytisch. Jedoch zeigt das Beispiel des [[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]]
:<math>
\arctan(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \dotsb
</math>,
dass eine auf ganz <math>\R</math> analytische Funktion eine Reihenentwicklung mit endlichem [[Konvergenzradius]] haben kann.

==== Spezielle Funktionen ====
Viele [[spezielle Funktion]]en wie beispielsweise die [[Gammafunktion|eulersche Gammafunktion]], die [[eulersche Betafunktion]] oder die [[riemannsche Zeta-Funktion]] sind ebenfalls analytisch.

=== Beispiele nicht-analytischer Funktionen ===
[[Datei:GraphExpMinus1OverX2.png|miniatur|400px|rechts|Der Graph der Funktion <math>f</math> fällt in der Nähe von 0 sehr schnell gegen 0. Schon der Wert <math>f(0{,}4)\approx 0{,}0019\ldots</math> lässt sich in der Graphik nicht mehr von 0 unterscheiden.]]
Die folgenden Beispiele nicht-analytischer Funktionen zählen zu den [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]]: Sie sind auf ihrem [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] beliebig oft differenzierbar, aber an einzelnen Punkten existiert keine Potenzreihenentwicklung.

Die Funktion
:<math>f(x)=\begin{cases}\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) & \mathrm{f\ddot ur}\ x\neq 0, \\ 0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x=0\end{cases}</math>
ist an allen Stellen <math>x \in \mathbb{R}</math>, also auch an der Stelle <math>0</math>, beliebig oft differenzierbar. Aus <math>f^{(n)}\left(0\right) = 0</math> für alle <math>n</math> folgt die [[Taylor-Reihe]] von <math>f</math>,
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n = 0</math>,
die nur im Punkt <math>x = 0</math> selbst, aber in keiner Umgebung von <math>0</math> mit <math>f\left(x\right)</math> übereinstimmt. Somit ist <math>f</math> im Punkt <math>0</math> nicht analytisch und daher insgesamt nicht analytisch, da sie nicht in jedem Punkt des Definitionsbereichs analytisch ist.

Auch die Funktion
:<math>g(x) = \begin{cases}\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) & \mathrm{f\ddot ur}\ x> 0, \\ 0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x\leq 0\end{cases}</math>
ist zwar beliebig oft differenzierbar – alle [[Rechtsseitiger Grenzwert|rechtsseitigen Ableitungen]] im Nullpunkt sind genauso gleich <math>0</math> wie [[trivial]]erweise alle linksseitigen –, aber aus den gleichen Gründen wie vorstehend nicht überall analytisch und daher insgesamt nicht analytisch.

Es gibt eine wichtige Klasse nicht-analytischer Funktionen, die Funktionen mit ''kompaktem Träger''. Der [[Träger (Mathematik)|Träger]] einer Funktion ist der [[Abschluss (Topologie)|Abschluss]] der Menge der Punkte, an denen eine Funktion nicht verschwindet:
:<math>\overline{\{x\mid f(x)\not=0\}}</math>.
Ist der Träger [[Kompakter Raum|kompakt]], so spricht man von einer Funktion mit kompaktem Träger (oder von einer [[Testfunktion]]). Diese Funktionen spielen in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] eine große Rolle. Für Funktionen, die auf ganz <math>\mathbb R</math> definiert sind, ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Zahl <math>C>0</math> gibt, so dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x</math> mit <math>|x|>C</math> gilt. Eine Funktion mit kompaktem Träger stimmt somit für große <math>x</math> mit der Nullfunktion überein. Wäre die Funktion nun zusätzlich analytisch, so würde sie nach den obigen Eigenschaften analytischer Funktionen bereits auf ganz <math>\mathbb R</math> mit der Nullfunktion übereinstimmen. Anders ausgedrückt: Die einzige analytische Funktion mit kompaktem Träger ist die Nullfunktion.

[[Datei:GraphAnalyticWithCompactSupprt.png|miniatur|400px|rechts|An der Maximalstelle ist <math>h\left(\tfrac{1}{2}\right) = e^{-8} \approx 0.000335\ldots</math>]]
Die Funktion
:<math>h(x) = g(x)g(1-x) = \begin{cases}\exp\left(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1-x)^2}\right) & \mathrm{f\ddot ur}\ 0<x<1 \\ 0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x\leq0\ \mathrm{oder}\ x\geq1\end{cases}</math>
ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger <math>[0,1]</math>.

[[Datei:GraphIntegralExp-tOver1+X2t.png|miniatur|400px|rechts|Es ist <math>f(0)=1</math> und <math>0<f(x)\to 0</math> für <math>|x|\to\infty</math>]]
Bei den bisherigen Beispielen kann man beweisen, dass die Taylor-Reihe an jedem Punkt einen positiven Konvergenzradius hat, aber nicht überall gegen die Funktion konvergiert. Es gibt aber auch nichtanalytische Funktionen, bei denen die Taylor-Reihe Konvergenzradius Null hat, beispielsweise ist die Funktion
:<math>f(x)=\int_0^\infty\frac{\mathrm e^{-t}}{1+x^2t}\,\mathrm dt</math>
auf ganz <math>\R</math> beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in <math>x_0=0</math>
:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^kk!\cdot x^{2k} = 1-x^2+2x^4-6x^6+24x^8-\dotsb</math>
ist nur für <math>x=0</math> konvergent.
Allgemeiner kann man zeigen, dass jede beliebige [[formale Potenzreihe]] als Taylor-Reihe einer glatten Funktion vorkommt.

== Komplexe Funktionen ==
{{Hauptartikel|Holomorphe Funktion}}

In der [[Funktionentheorie]] wird gezeigt, dass eine Funktion <math>f</math> einer [[komplexe Zahl|komplexen]] Variablen, die in einer offenen Kreisscheibe <math>D</math> [[Holomorphe Funktion|komplex differenzierbar]] ist, in <math>D</math> sogar ''beliebig oft'' komplex differenzierbar ist und dass die Potenzreihe um den Mittelpunkt <math>c</math> der Kreisscheibe,

:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (z-c)^n</math>,

für jeden Punkt <math>z</math> aus <math>D</math> gegen <math>f(z)</math> konvergiert. Dies ist ein wichtiger Aspekt, unter dem Funktionen in der komplexen Ebene einfacher zu handhaben sind als Funktionen einer reellen Variablen. Tatsächlich benutzt man in der Funktionentheorie die Attribute ''analytisch'', ''holomorph'' und ''regulär'' synonym. Aus den ursprünglichen Definitionen dieser Begriffe ist ihre Äquivalenz nicht sofort erkennbar; sie wurde erst später nachgewiesen. Komplex-analytische Funktionen, die nur reelle Werte annehmen, sind konstant. Eine Folgerung aus den [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] ist, dass der [[Realteil]] einer analytischen Funktion den [[Imaginärteil]] bis auf eine Konstante bestimmt und umgekehrt.

Es gilt der folgende wichtige Zusammenhang zwischen reell-analytischen Funktionen und komplex-analytischen Funktionen:

Jede reell-analytische Funktion <math>\mathbb R\to\mathbb R</math> kann zu einer komplex-analytischen, also [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] auf einer Umgebung von <math>\mathbb R\subset\mathbb C</math> [[Analytische Fortsetzung|fortgesetzt]] werden.

Umgekehrt wird jede holomorphe Funktion zu einer reell-analytischen Funktion, wenn man sie zunächst auf <math>\mathbb R</math> einschränkt und anschließend nur den Realteil (oder nur den Imaginärteil) betrachtet. Dies ist der Grund, warum viele Eigenschaften der reell-analytischen Funktionen am einfachsten mit Hilfe der komplexen Funktionentheorie bewiesen werden.

== Mehrere Veränderliche ==
Auch bei Funktionen <math>f</math>, die von mehreren Veränderlichen <math>x_1, \dotsc, x_n</math> abhängen, kann man wie folgt eine Taylorreihenentwicklung im Punkt <math>x=(x_1, \dotsc ,x_n)</math> definieren:
:<math>
\sum_{\alpha\in \N_0^n} \frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha!}(\xi-x)^{\alpha}.
</math>
Dabei wurde von der [[Multiindex]]schreibweise Gebrauch gemacht, die Summe erstreckt sich über alle Multiindizes <math>\alpha = (\alpha_1, \dotsc, \alpha_n) \in \N_0^n</math> der Länge <math>n</math>. In Analogie zum oben besprochenen Fall einer Veränderlichen heißt eine Funktion analytisch, wenn die Taylorreihenentwicklung für jeden Punkt des Definitionsbereichs einen positiven Konvergenzradius hat und innerhalb des Konvergenzbereichs die Funktion darstellt, das heißt, dass
:<math>
f(\xi) = \sum_{\alpha\in \N_0^n} \frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha!}(\xi-x)^{\alpha}
</math>
für alle <math>\xi=(\xi_1, \dotsc, \xi_n)</math> aus einer Umgebung von <math>x=(x_1, \dotsc, x_n)</math> gilt. Im Falle komplexer Veränderlicher spricht man auch bei mehreren Veränderlichen von holomorphen Funktionen. Solche Funktionen werden durch die [[Funktionentheorie#Funktionentheorie in mehreren komplexen Variablen|Funktionentheorie in mehreren komplexen Variablen]] untersucht.

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis.'' Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
* [[Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null |suffix=-}}

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Analytische Funktion| ]]

Analytische Funktion - Versionsgeschichte

imported>Troubled asset: /* Beispiele nicht-analytischer Funktionen */ Absatz