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2025-02-04T22:22:45Z

Rechtschreibung

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Das '''amalgamierte (freie) Produkt''' ''von Gruppen <math>G_i</math> nach der Gruppe <math>U</math>'' oder das ''freie Produkt der Gruppen <math>G_i</math> mit der'' '''amalgamierten Untergruppe''' ''<math>U</math>'' ist eine mit dem [[Freies Produkt|freien Produkt]] von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird das freie Produkt der Gruppen <math>G_i</math> gebildet, die alle eine zur Gruppe <math>U</math> [[Isomorphismus|isomorphe]] [[Untergruppe]] enthalten. Über die [[Gruppenisomorphismus|Gruppenisomorphie]] zu <math>U</math> werden die einzelnen Elemente der verschiedenen Untergruppen miteinander identifiziert und dadurch die Untergruppen »amalgamiert« (so viel wie »verschmolzen«). Die [[Zweistellige Verknüpfung|Gruppenverknüpfung]] wird entsprechend angepasst, sodass das Ergebnis eine Gruppe ist, die dem freien Produkt der <math>G_i</math> bis auf Identifikation über <math>U</math> isomorpher Elemente entspricht.

== Definition (konstruktiv) ==
=== Voraussetzungen ===
Sei <math>I \mathrel{:=} \{ 1, 2, \ldots, n\}, n \in \N</math> eine [[Index (Mathematik)#Indexmenge|Indexmenge]] und <math>\{G_i\}_{i \in I}</math> eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]]. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine [[Untergruppe]] <math>U_i,</math> die [[isomorph]] zu einer weiteren Gruppe <math>U</math> sei. Der zugehörige [[Gruppenisomorphismus]], der diese Isomorphie vermittelt, sei mit <math>\varphi_i \colon U_i \xrightarrow{\cong} U</math> bezeichnet.

Für ein beliebiges <math>t \in \N</math> sei dann ein ''Wort über den <math>G_i</math>'' eine ''Hintereinanderschreibung''

<math>\qquad a_1 a_2\ldots a_t</math>

von Elementen aus den <math>G_i.</math> Das Wort sei entweder
* ''leer'' (für <math>t=0</math>), dann geschrieben <math>1</math> oder <math>\epsilon,</math> oder
* für jedes <math>i = 1, \ldots, t</math> gebe es ein <math>j_i \in I,</math> sodass gelte: <math>a_i \in G_{j_i}.</math> D. h. die Gruppen der Familie <math>\{G_i\}_{i \in I}</math> kommen unter den <math>a_i</math> in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft (auch wiederholt) vor.

Im Folgenden schreiben wir sowohl für das [[Leeres Wort|leere Wort]] wie auch für die neutralen Elemente <math>1_j</math> der Gruppen <math>G_j</math> ohne Unterschied <math>1.</math>

=== Äquivalenzrelation ===
Analog zum Vorgehen bei der Bildung des gewöhnlichen [[Freies Produkt|freien Produktes]] der Gruppen <math>G_i</math> betrachten wir [[Wort (Theoretische Informatik)|Wörter]] aus [[Element (Mathematik)|Elementen]] aus den <math>G_i</math> und definieren sogenannte '''elementare [[Äquivalenz (Mathematik)|Äquivalenzen]]''' (Ä1–Ä3) zwischen ihnen. Ä1 und Ä2 entstammen der Konstruktion des gewöhnlichen freien Produktes, Ä3 bewirkt die »Amalgamierung«.


{| {{Bausteindesign5}}
|-
|
: ''Vorbemerkung für Ä3:''
: Wir sagen, zwei Elemente <math>u_j \in U_j \subseteq G_j</math> und <math>u_k \in U_k \subseteq G_k</math> mit <math>j, k \in I</math> seien einander '''zugehörig''', falls sie vermittels der Isomorphismen <math>\varphi_j</math> und <math>\varphi_k</math> zwischen <math>U_j,</math> <math>U_k</math> und <math>U</math> demselben <math>u \in U</math> entsprechen; d. h. falls <math>\varphi_k(u_k) = u = \varphi_j(u_j)</math> gilt.
|}

; (Ä1)
: »Neutrale Elemente können weggelassen werden.«
: Falls <math>a_i = 1,</math> dann sei <math>a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}a_i} a_{i+1} \ldots a_t</math> ''(elementar) äquivalent'' zu <math>a_1 \ldots \overset{{\color{RawSienna}a_i}\!\!\!\!\diagup}{\overset{\uparrow}{a_{i-1} a_{i+1}}} \ldots a_t.</math>
; (Ä2)
: »Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden.«
: Falls <math>a_i</math> und <math>a_{i+1}</math> aus derselben Gruppe <math>G_j</math> sind und <math>a_i a_{i+1} = a^*</math> in <math>G_j</math> gilt, dann sei <math>a_1 \ldots {\color{RawSienna}a_i a_{i+1}} \ldots a_t</math> ''(elementar) äquivalent'' zu <math>a_1 \ldots {\color{RawSienna}a^*} \ldots a_t.</math>
; (Ä3)
: »Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden.«
: Falls <math>a_i = u_j \in U_j \subseteq G_j</math> und <math>b_i = u_k \in U_k \subseteq G_k</math> mit <math>j, k \in I</math> und die Elemente <math>u_j</math> und <math>u_k</math> einander zugehörig sind, dann sei <math>a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}a_i} a_{i+1} \ldots a_t</math> ''(elementar) äquivalent'' zu <math>a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}b_i} a_{i+1} \ldots a_t.</math>

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen erklären wir '''wortweise Äquivalenz'''.

<math>G</math> sei die Menge aller Wörter über den <math>G_i.</math> Zwei Wörter <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>G</math> seien ''(wortweise) äquivalent'', falls es eine Folge

<math>\qquad x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_m</math>

von Wörtern aus <math>G</math> mit <math>m \in \N,</math> <math>x_1 \mathrel{=} x</math> und <math>x_m \mathrel{=} y</math> gibt, in welcher je zwei aufeinanderfolgende Glieder [[Elementare Äquivalenz|elementar äquivalent]] sind. Wir schreiben dann: <math>x \sim y.</math>

Die wortweise Äquivalenz entspricht der [[Transitive Hülle (Relation)|transitiven Hülle]] bzw. der [[Reflexiv-transitive Hülle|reflexiv-transitiven Hülle]] der elementaren Äquivalenz.

=== Gruppen-Verknüpfung ===
Für <math>x\in G</math> sei

<math>\qquad [x] = \{y\in G\mid y\sim x\}</math>

die Menge aller zu <math>x</math> äquivalenten Wörter in <math>G.</math> <math>[x]</math> heißt ''[[Äquivalenzklasse]] von <math>x.</math>'' Mit <math>G/{\sim}</math> (sprich: „Ge nach Tilde“) bezeichnen wir die Menge aller möglichen Äquivalenzklassen von Elementen <math>x\in G,</math> sie heißt ''[[Quotientenmenge]] von <math>G</math> nach der [[Äquivalenzrelation]] <math>\sim.</math>''

Auf der Menge <math>G</math> ist durch die Hintereinanderschreibung von Wörtern <math>x = a_1\ldots a_t</math> und <math>y =b_1\ldots b_s</math> eine Verknüpfung

<math>\qquad xy \mathrel{=} a_1\ldots a_t b_1\ldots b_s</math>

gegeben. Wir übertragen diese Verknüpfung in natürlicher Weise auf <math>G/{\sim},</math> indem wir definieren:

<math>\qquad [x]\ast[y] \mathrel{:=} [xy].</math>

D. h. das Produkt der Äquivalenzklassen wird definiert als die Äquivalenzklasse des Produktes <math>xy</math> der beiden [[Repräsentant (Mathematik)|Repräsentanten]] <math>x</math> und <math>y.</math> Dieses Produkt wird auch das ''kanonische<ref name="fn_kanonisch">»kanonisch« bedeutet so viel wie, dass das Produkt im ''Kanon der Mathematik,'' d. h. z. B. in der Leit-Literatur der Mathematik gewöhnlich so definiert wird und in diesem Sinne als musterhafte, verbindliche und / oder verlässliche Konvention gelten kann. Der Begriff entstammt dem Kirchenrecht und seiner Bezeichnung als ''[[kanonisches Recht]].''</ref> Produkt auf <math>G/{\sim}</math>'' genannt.

=== Amalgamiertes Produkt ===
Die Quotientenmenge <math>G/{\sim}</math> bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe <math>\left(G/{\sim},\ast\right),</math> sie heißt das '''amalgamierte Produkt der Gruppen <math>G_i</math>''' oder das '''freie Produkt der Gruppen <math>G_i</math> mit der amalgamierten Untergruppe <math>U.</math>'''

Man spricht vom ''nichttrivialen amalgamierten Produkt'' zweier Gruppen <math>G_1</math> und <math>G_2,</math> wenn <math>U\not= G_1</math> und <math>U\not= G_2.</math> (Beleg?)

== Eigenschaften ==

Das amalgamierte Produkt von zwei Gruppen <math>G_1</math> und <math>G_2</math> mit einer gemeinsamen Untergruppe <math>U</math> ist ein Beispiel für ein [[Pushout]].

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe <math>\{1\}</math><ref name="fn_iso_e">Die Untergruppen <math>\{1\}</math> sind trivialerweise alle isomorph zu jeder beliebigen Gruppe der [[Gruppenordnung]] 1. Man wähle eine beliebige Gruppe <math>U=\{1\}</math> als Amalgamierungsgruppe.</ref> seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|amalgamieren}}

== Literatur ==
* Hall, Marshall: ''The theory of groups.'' Macmillan, New York, 1959.

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[en:Free product#Generalization: Free product with Amalgamation]]

Amalgamiertes Produkt - Versionsgeschichte

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