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{{Begriffsklärungshinweis|Zu Leonhard Eulers alternierenden Reihen siehe [[Alternierende Reihe (Euler)]]}}

'''Alternierende Reihen''' ({{laS|alternare|de=abwechseln}}) sind [[unendliche Reihe]]n und gehören als solche in das [[Teilgebiete der Mathematik|mathematische Teilgebiet]] der [[Analysis]].

== Definition ==
Eine alternierende Reihe ({{enS|alternating series}}) ist eine unendliche Reihe, für die die [[Folge (Mathematik)|Glieder der zugehörigen Folge]] aus [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] besteht, die abwechselndes [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] haben.

Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form
:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k</math>   oder   <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k</math>

dargestellt werden kann, wobei die <math>a_k \geq 0</math> sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_k)_{k\in \N_0}</math> bzw. <math>(a_k)_{k\in \N}</math>[[Monoton fallende Folge|monoton fallend]] sein soll.<ref name="MB-FF-001">{{Literatur |Autor=Martin Barner, Friedrich Flohr |Titel=Analysis I |Auflage=5. |Datum=2000 |Seiten=145–146}}</ref><ref name="CC-AT-001">{{Literatur |Autor=Claudio Canuto, Anita Tabacco |Titel=Mathematical Analysis I |Auflage=2. |Datum=2015 |Seiten=151–152}}</ref><ref name="RC-001">{{Literatur |Autor=Richard Courant |Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band |Auflage=2. |Datum=1948 |Seiten=295–298}}</ref><ref name="GMF-001">{{Literatur |Autor=G. M. Fichtenholz |Titel=Differential- und Integralrechnung II |Auflage=6. |Datum=1974 |Seiten=315–317}}</ref><ref name="OF-001">{{Literatur |Autor=Otto Forster |Titel=Analysis 1 |Auflage=9. |Datum=2008 |Seiten=66–68}}</ref><ref name="HG-IL-001">{{Literatur |Autor=Hans Grauert, Ingo Lieb |Titel=Differential- und Integralrechnung I. (Kapitel III, Definition 3.1) |Auflage=4. |Datum=1976}}</ref>

== Darstellung von Konstanten mittels alternierender Reihen ==
Viele Konstanten in der Analysis haben aussagekräftige Reihendarstellungen und gewinnen ihr Interesse nicht zuletzt aus Darstellungen mittels alternierender Reihen. Hier gibt es einige herausragende Beispiele – wie etwa:

=== Zum natürlichen Logarithmus von 2 ===
Hier tritt eines der immer wieder genannten Standardbeispiele für alternierende Reihen auf, nämlich die ''[[alternierende harmonische Reihe]]''
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots = \ln 2</math>,

die im Gegensatz zur ([[Divergente Folge|divergenten]]!) [[harmonische Reihe]] nach dem [[Leibniz-Kriterium]]<ref group="A">Dieses Kriterium ist nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] benannt. G. M. Fichtenholz bezeichnet in seiner ''Differential- und Integralrechnung II'' – vgl. dort Fußnote auf S. 315! – eine alternierende Reihe, die den Bedingungen des leibnizschen Kriteriums genügt, als ''Reihe vom leibnizschen Typ''.</ref> [[Konvergente Folge|konvergiert]].<ref name="BSMM-001">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=10. |Datum=2016 |Seiten=477–478}}</ref><ref name="CC-AT-001" /><ref name="RC-001" /><ref name="GMF-002">{{Literatur |Autor=G. M. Fichtenholz |Titel=Differential- und Integralrechnung II |Auflage=6. |Datum=1974 |Seiten=315–316}}</ref><ref name="OF-001" />

=== Zur Eulerschen Zahl ===
Ein anderes gängiges Beispiel ist die alternierende Reihe für den [[Kehrwert]] der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]]. Man hat nämlich:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" />
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} +- \ldots = \frac{1}{e}</math>.

=== Zur Kreiszahl ===
Ein weiteres Standardbeispiel ist auch die [[Leibnizsche Reihe]], welche eine [[Reihenentwicklung]] der [[Kreiszahl]] beinhaltet:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" /><ref name="OF-001" />
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} +- \ldots = \frac{\pi}{4}</math>.

Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} +- \ldots = \frac{{\pi}^2}{12}</math><ref name="BSMM-001" />

und
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3} = 1 - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \frac{1}{9^3} +- \ldots = \frac{{\pi}^3}{32}</math>.<ref name="SRF-001">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=20}}</ref>

und
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4} = 1 - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} +- \ldots = \frac{{7 \cdot \pi}^4}{720}</math><ref name="BSMM-001" />

=== Zur Wurzel von 2 ===
Zwei Beispiele gibt es zur [[Wurzelfunktion|Wurzel]] der natürlichen Zahl <math>2</math>, die sich aus der [[Binomialreihe]] ergeben, nämlich:
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{ \binom{2k}{k} }{2^{2k} (2k-1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} +- \ldots = \sqrt{2} - 1</math>

und
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ \binom{2k}{k} }{2^{2k}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} +- \ldots = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>.<ref name="SRF-002">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=2}}</ref>

=== Zum goldenen Schnitt ===
Die [[Goldener Schnitt|goldene Zahl]] <math>\Phi</math> liefert folgendes Beispiel:<ref name="SRF-001" />
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k^2 \binom{2k}{k} } = \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{9 \cdot 20} - \frac{1}{16 \cdot 70} +- \ldots = 2 \cdot {\ln (\Phi)}^2</math>

Den engen [[Goldener Schnitt#Zusammenhang mit den Fibonacci- und Lucas-Zahlen|Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen]] <math>\left(f_n\right)_{n \in \N_0} = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, \ldots)</math> belegt auch die Gleichung
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{f_k} = 3{,}3598856662\ldots = \sqrt{5} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{{\Phi}^{2n+1} - (-1)^n} </math>.<ref name="SRF-003">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=358}}</ref>

=== Zur Apéry-Konstante ===
Die [[Apéry-Konstante]], also der [[Funktionswert]] der [[Zetafunktion|riemannschen Zetafunktion]] für das Argument <math>x = 3</math>, liefert ebenfalls Beispiele:<ref name="SRF-004">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=43}}</ref>
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k^3 \binom{2k}{k} } = \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{8 \cdot 6} + \frac{1}{27 \cdot 20} - \frac{1}{64 \cdot 70} +- \ldots = \frac{2}{5} \cdot \zeta(3) </math>

Weiterhin gilt die folgende Reihendarstellung:
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \left( (-1)^{k-1} \cdot {\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{km(k+m)} } \right) = \sum_{k,m=1}^{\infty} { \frac{(-1)^{k-1}}{km(k+m)} } = \frac{5}{8} \cdot \zeta(3)</math>.<ref group="A">Steven R. Finch nennt hier (vgl. Finch 2003, S. 43) für die Apéry-Konstante zudem die Darstellung <math>\zeta(3) = \sum_{k=2}^{\infty} {\sum_{m=1}^{k-1} \frac{1}{k^2 m} }</math>.</ref>

=== Zur catalanschen Konstante ===
Die [[catalansche Konstante]] ist sogar als alternierende Reihe definiert, und zwar als die folgende:<ref name="SRF-005">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=53}}</ref>
: <math>\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} = 1 - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} +- \ldots = G</math>

=== Zur Cahen-Konstante ===
Als weiteres Beispiel ist die [[Cahen-Konstante]]
: <math>c = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{s_k-1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1806} - \frac{1}{3263442} +- \ldots = 0{,}6434105462\ldots</math>

zu erwähnen, wobei die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>\left(s_k\right)_{k \in \N_0}</math> [[Rekursion#Rekursion in der Mathematik|per Rekursion]] definiert ist:<ref name="SRF-006">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=434–436}}</ref>

: <math>s_0 = 2</math>
: <math>s_{k+1} = {s_k}^2 - s_k + 1 \; (k \in \N_0)</math>.<ref group="A">Dies ist die nach [[James Joseph Sylvester]] benannte ''Sylvester’sche Folge''. Vgl. dazu den in der englischsprachigen Wikipedia vorliegenden [[:en:Sylvester's sequence|Artikel ''Sylvester's sequence'']] sowie {{OEIS|A000058}} !</ref>

Eng verwandt mit der Cahen’schen Konstante ist die ebenfalls durch eine alternierende Reihe gegebene Konstante
: <math>c^{'} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{s_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{43} + \frac{1}{1807} - \frac{1}{3263443} +- \ldots = 2\cdot c - 1 = 0{,}28682109258\ldots</math>.<ref group="A">Die Konstanten <math>c</math> und <math>c^{'}</math> sind Finch zufolge (vgl. Finch 2003, S. 436) beides [[transzendente Zahl]]en, während <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{s_k} = 1 </math> gilt. Fast nichts bekannt ist bislang (Stand 2003) über die Zahl <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{s_k - 1} = 1{,}6910302067\ldots </math>.</ref>

=== Zur Euler-Mascheroni-Konstante ===
Ein besonders bemerkenswertes Beispiel liefert die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma</math> durch eine Darstellung als alternierende Reihe unter Verwendung der Funktionswerte der riemannschen Zetafunktion:<ref name="SRF-004" />
: <math>\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}</math>.<ref group="A">Finch zufolge (vgl. Finch 2003, S. 43) gilt hier zudem die [[Unendliche Reihe|Reihendarstellung]] <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k) - 1}{k} = 1 - \gamma </math>.</ref>

Daneben sind weitere Darstellungen bekannt, wie etwa die ''Formel von [[Giovanni Enrico Eugenio Vacca|Vacca]]'':<ref name="SRF-00X">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=28 ff.,37,167}}</ref>
:<math> \gamma = \sum_{k=2}^\infty \frac{ (-1)^k }{k} \cdot \lfloor \frac{\ln k}{\ln 2} \rfloor = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7} + \frac{3}{8} +- \ldots\ </math>.<ref group="A">Der Bruch <math>\frac{\ln k}{\ln 2}</math> ist der [[Zweierlogarithmus]] von <math>k</math>!</ref>

=== Zu einer Primzahlkonstanten ===
Bildet man aus den Kehrwerten der [[Primzahl]]en <math>\left(p_k \right)_{k \in \N} = \left( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \right)</math> die zugehörige alternierende Reihe, so erhält man:<ref name="SRF-007">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=96}}</ref>
: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k }{p_k} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} -+ \ldots = -0{,}2696063519\ldots</math>.<ref group="A">Hier ist nach einem [[Satz von Euler (Primzahlen)|eulerschen Satz]] bekannt, dass für die Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {1} {p_k}} = \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{5} + \frac {1}{7}+ \ldots = \infty</math> gilt. Finch (vgl. Finch 2003, S. 96) verweist weiter auf die ebenfalls zugehörige Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k \cdot k} {p_k} = -\frac {1}{2} + \frac {2}{3} - \frac {3}{5} + \frac {4}{7} -+ \ldots </math>, über die bisher (Stand 2003) unbekannt ist, ob sie konvergiert oder divergiert, was 1996 von [[Paul Erdős]] als offenes Problem formuliert worden sei.</ref>

=== Zu zwei von Ramanujan behandelten Konstanten ===
Der [[Indien|indische]] [[Mathematiker]] [[Srinivasa Ramanujan]] fand zwei alternierende Reihen zur Darstellung zweier Konstanten im Zusammenhang mit der [[Gammafunktion]] <math>\Gamma</math> und der Kreiszahl <math>\pi</math>, nämlich
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ {\binom{2k}{k}}^2 }{2^{4k} }
= \frac{ {\Gamma \left( \frac{1}{4} \right) }^2 }{ \left( 2\pi \right)^{\frac{3}{2}} } </math>

und
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ {\binom{2k}{k}}^3 }{2^{6k} }
= \left( \frac{ \Gamma \left( \frac{9}{8} \right) }{ \Gamma \left( \frac{5}{4} \right) \cdot \Gamma \left( \frac{7}{8} \right) } \right)^2 </math>.<ref name="SRF-00Y">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=34}}</ref>

=== Zum Integral von x hoch x ===
Das [[Integralrechnung#Integral für kompakte Intervalle|Integral]]
:<math>\int_0^1 {x^x} \mathrm{d} x = \lim_{t \searrow 0} \int_t^1 {x^x} \mathrm{d} x = 0{,}7834305107\ldots</math>

besitzt die Darstellung
:<math>\int_0^1 {x^x} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} }{k^k} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{27} - \frac{1}{256} + \frac{1}{3125} +- \ldots </math>.<ref name="SRF-008">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=449}}</ref><ref group="A">Hier gibt Finch (vgl. Finch 2003, S. 449) für das zugehörige uneigentliche Integral <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = 1{,}2912859970\ldots</math> ebenfalls eine Reihendarstellung: <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{27} + \frac{1}{256} + \frac{1}{3125} + \ldots </math>.</ref>

== Darstellungen von Funktionen mittels alternierender Reihen ==
Wie die in der Analysis auftretenden Konstanten haben auch viele [[reelle Funktion]]en Reihendarstellungen mittels alternierender Reihen. Hierfür gibt es eine Reihe von bedeutenden Beispiele – wie etwa:

=== Zur Logarithmusfunktion ===
Das obige Beispiel zum [[Logarithmusfunktion|Logarithmus]] von <math>2</math> lässt sich verallgemeinern. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 < x \leq 1</math> die [[Reihenentwicklung]]
:<math>\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +- \ldots</math>,<ref name="BSMM-002">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=10. |Datum=2016 |Seiten=1077}}</ref><ref name="OF-002">{{Literatur |Autor=Otto Forster |Titel=Analysis 1. |Auflage=9. |Datum=2008 |Seiten=254–258}}</ref>

aus der für [[nichtnegativ]]e <math>x</math> (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man das zuvor genannte Beispiel.</ref>

=== Zur Kehrwertfunktion ===
Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle <math>x</math> mit <math>|x| < 1</math> gebildete [[geometrische Reihe]]
:<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k = 1-x + x^2 - x^3 +- \ldots = \frac{1}{1+x}</math>.

Diese bildet für den Fall <math>x \geq 0</math> eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich [[absolut konvergent]] ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.<ref name="RC-001" />

=== Zur Arkustangensfunktion ===
Das obige Beispiel zur Leibnizschen Reihe lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) [[Arkustangens]]reihe für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 \leq x \leq 1</math>. Hier gilt nämlich:<ref name="OF-003">{{Literatur |Autor=Otto Forster |Titel=Analysis 1. |Auflage=9. |Datum=2008 |Seiten=258}}</ref>
:<math>\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \ldots</math>.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man die zuvor genannte Leibnizsche Reihe.</ref>

=== Zu Sinus und Kosinus ===
Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die [[Reelle Funktion|reelle]] [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktion]]:<ref name="OF-004">{{Literatur |Autor=Otto Forster |Titel=Analysis 1. |Auflage=9. |Datum=2008 |Seiten=137–138, 253–254}}</ref><ref group="A">Diese Taylorreihen sind für sogar für alle reellen Zahlen und auch für alle [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>x</math> [[absolut konvergent]].</ref>
:<math> \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots \; (x \in \R)</math>
:<math> \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots \; (x \in \R)</math>

=== Zur riemannschen Zetafunktion und zur dirichletschen Etafunktion ===
In den Zusammenhang mit der oben genannten alternierenden harmonischen Reihe gehört als weiteres Beispiel die folgende alternierende Reihe, die eng mit der (schon erwähnten) riemannschen Zetafunktion verbunden ist und die als eines von vielen Beispielen einer [[Dirichletreihe]] gelten kann. Hier gewinnt man nämlich, wie [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in seiner ''Differential- und Integralrechnung II'' darlegt, für reelle Zahlen <math>x \in \R^{>1}</math> die Darstellung:<ref name="GMF-003">{{Literatur |Autor=G. M. Fichtenholz |Titel=Differential- und Integralrechnung II |Auflage=6. |Datum=1974 |Seiten=317}}</ref>
: <math>\eta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^x} = 1-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}-\frac{1}{4^x} +- \ldots = \left(\ 1- \frac{1}{2^{x-1}} \right) \cdot \zeta(x)</math>.

In ähnlicher Weise hat man für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>0 < x< 1</math> die Darstellung
: <math>\zeta(x) = \frac{-1}{2^{1-x} - 1} \cdot \eta(x)</math>

und dann sogar
: <math>\zeta(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n { \frac{1}{k^x} } - { \frac{n^{1-x}}{1-x} } \right)</math>.<ref name="SRF-004" /><ref group="A">Finch (vgl. Finch 2003, S. 43) folgend lässt sich daraus zum Beispiel die Reihenentwicklung <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt {k}} =
\frac{-1}{1 + \sqrt {2} } \cdot \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt {2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt {n}} - 2 \cdot \sqrt {n} \right) = \frac{1{,}4603545088\ldots}{1 + \sqrt {2} } = 0{,}6048986434\ldots</math> gewinnen.</ref>

=== Zur dirichletschen Betafunktion ===
Die oben genannten catalansche Konstante <math>G</math> gehört ebenfalls zu einem funktionalen Beispiel. Es handelt sich um die [[dirichletsche Betafunktion]], welche für reelle Zahlen <math>x \in \R^{>0}</math> als alternierende Reihe
:<math>\beta(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^x} = 1 - \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} - \frac{1}{7^x} + \frac{1}{9^x} +- \ldots</math>

dargestellt werden kann.<ref name="SRF-009">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Datum=2003 |Seiten=53}}</ref><ref group="A">Hier hat man <math>\beta(2) = G</math>.</ref>

=== Zu den Bessel-Funktionen ===
Im Zusammenhang mit der [[Besselsche Differentialgleichung|besselschen Differentialgleichung]] treten die ''[[Bessel-Funktion]]en <math>n</math>-ter Ordnung 1. Gattung'' <math>J_n</math> auf, welche für reelle Zahlen <math>x \in \R</math> stets alternierende Reihen der Form
:<math>J_n(x)
= \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \cdot \frac{ \left( \frac{x}{2} \right)^{n + 2k}}{k! \cdot \Gamma(n+k+1)} }
= \frac{x^n}{2^n \cdot \Gamma(n+1)}
\cdot
\left( 1 - \frac{x^2}{2 \cdot (2n+2)} + \frac{x^4}{2 \cdot 4 \cdot (2n+2) \cdot (2n+4)} -+ \ldots \right)
</math>

liefern.<ref name="BSMM-003">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=10. |Datum=2016 |Seiten=576}}</ref>

== Beispiel einer divergenten alternierende Reihe ==
Ein Beispiel für eine ''divergente alternierende Reihen'' ist
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)}{k}=2-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4} +- \ldots</math>,

bei dem zu beachten ist, dass die Folge <math>\left( \frac{k+1}{k} \right)_{k=1,2,3,\dots, \infty}</math> zwar monoton fallend ist, jedoch den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>1</math> hat.<ref name="JHK-001">{{Literatur |Autor=H. Jerome Keisler |Titel=Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach |Auflage=3. |Datum=2012 |Seiten=520}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Martin Barner]], [[Friedrich Flohr]]
|Titel=Analysis I
|Reihe=de Gruyter Lehrbuch
|Auflage=5., durchgesehene
|Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
|Ort=Berlin, New York
|Datum=2000
|ISBN=3-11-016778-6}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Ilja Nikolajewitsch Bronschtein|I. N. Bronstein]], [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|K. A. Semendjajew]], Gerhard Musiol, Heiner Mühlig
|Titel=Taschenbuch der Mathematik
|Auflage=10., überarbeitete
|Verlag=Europa-Lehrmittel
|Ort=Haan-Gruiten
|Datum=2016
|ISBN=978-3-8085-5790-7}}
* {{Literatur
|Autor=Claudio Canuto, Anita Tabacco
|Titel=Mathematical Analysis I
|Reihe=UNITEXT – La Matematica per il 3+2
|BandReihe=84
|Auflage=2.
|Verlag=[[Springer International Publishing|Springer International Publishing Switzerland]]
|Ort=Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London
|Datum=2015
|ISBN=978-3-319-12771-2
|DOI=10.1007/978-3-319-12772-9}}}
* {{Literatur
|Autor=[[Richard Courant]]
|Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band. Funktionen einer Veränderlichen
|TitelErg=Neudruck 1948 (der 2. Auflage von 1930)
|Auflage=2. verbesserte
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin
|Datum=1948}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]]
|Titel=Differential- und Integralrechnung II
|TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=62
|Auflage=6.
|Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1974}}
* {{Literatur
|Autor=Steven R. Finch
|Titel=Mathematical Constants
|Reihe=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|BandReihe=94
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge [u. a.]
|Datum=2003
|ISBN=0-521-81805-2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Finch%2C%20Steven%20R.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2003519 MR2003519]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Otto Forster]]
|Titel=Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen
|Reihe=Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik
|Auflage=9., überarbeitete
|Verlag=Vieweg
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2008
|ISBN=978-3-8348-0395-5}}
* {{Literatur
|Autor=[[Hans Grauert]], [[Ingo Lieb]]
|Titel=Differential- und Integralrechnung I. Funktionen einer reellen Veränderlichen
|Reihe=Heidelberger Taschenbücher
|BandReihe=26
|Auflage=4. verbesserte
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, New York
|Datum=1976
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Grauert&s5=Lieb&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=430171 MR0430171]}}}
* {{Literatur
|Autor=[[Howard Jerome Keisler|H. Jerome Keisler]]
|Titel=Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
|Auflage=3.
|Verlag=Dover Publications
|Ort=Mineola, NY
|Datum=2012
|ISBN=978-0-486-48452-5}}
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Knopp]]
|Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=2
|Auflage=5., berichtigte
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
|Datum=1964
|ISBN=3-540-03138-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Herbert Meschkowski]]
|Titel=Unendliche Reihen
|Auflage=2., verbesserte und erweiterte
|Verlag=BI Wissenschaftsverlag
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1982
|ISBN=3-411-01613-2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meschkowski%2C%20Herbert%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=671586 MR0671586]}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Alternierende Reihe - Versionsgeschichte

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