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2024-03-21T01:36:18Z

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Eine '''alternierende Matrix''' ist in der [[Mathematik]] eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die [[schiefsymmetrisch]] ist und deren [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonaleinträge]] alle gleich [[Nullelement|null]] sind. In einem [[Körper (Algebra)|Körper]] mit [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] ungleich zwei folgt die zweite Bedingung aus der ersten, weshalb alternierende Matrizen häufig mit schiefsymmetrischen Matrizen gleichgesetzt werden. Alternierende Matrizen werden in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] zur Charakterisierung [[Alternierende Bilinearform|alternierender Bilinearformen]] verwendet. Die [[Determinante]] einer alternierenden Matrix gerader Größe kann mit Hilfe ihrer [[Pfaffsche Determinante|pfaffschen Determinante]] angegeben werden.

== Definition ==

Eine [[quadratische Matrix]] <math>A \in K^{n \times n}</math> mit Einträgen aus einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> heißt ''alternierend'', wenn

: <math>a_{ij} = {-a_{ji}}</math>

für <math>i,j = 1, \ldots , n</math> und

: <math>a_{ii} = 0</math>

für <math>i = 1, \ldots , n</math> gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Erich Lamprecht |Titel=Lineare Algebra 2 |Verlag=Springer |Datum=2013 |Seiten=77}}</ref> Eine alternierende Matrix ist demnach eine [[schiefsymmetrische Matrix]], deren [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonaleinträge]] alle gleich null sind. Ist die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] des Körpers ungleich zwei, dann folgt die zweite Bedingung aus der ersten, in einem Körper mit Charakteristik zwei gilt dies jedoch nicht.<ref>{{Literatur |Autor=Günter Scheja, Uwe Storch |Titel=Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra |Band=2. Band |Verlag=Vieweg |Datum=1988 |Seiten=365}}</ref>

== Beispiele ==

In den folgenden Beispielen sei <math>K = {\mathbb F}_2</math> der [[Endlicher Körper|endliche Körper]] der [[Restklasse]]n modulo <math>2</math>, wobei <math>0</math> die Restklasse der [[Gerade Zahl|geraden Zahlen]], und <math>1</math> die Restklasse der [[Ungerade Zahl|ungeraden Zahlen]] repräsentiere. In diesem Körper gilt <math>1+1=0</math>, er hat also die Charakteristik <math>2</math>. Die beiden alternierenden Matrizen der Größe <math>2 \times 2</math> mit Einträgen aus diesem Körper sind

: <math>\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>

und die insgesamt acht alternierenden Matrizen der Größe <math>3 \times 3</math> sind

:<math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>.

In diesem Körper sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die [[Symmetrische Matrix|symmetrischen Matrizen]], die auch Einsen auf der Diagonale aufweisen dürfen.

== Eigenschaften ==
=== Bilinearformen ===

Die [[Bilinearform]] <math>B_A(x,y) = x^T A y</math> zu einer alternierenden Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> ist [[Alternierende Bilinearform|alternierend]], das heißt,

: <math>B_A(x,x) = 0</math>

für alle <math>x \in K^n</math>. Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum <math>V</math> die [[Darstellungsmatrix]]

: <math>A_B = (B( b_i, b_j ))</math>

einer alternierenden Bilinearform <math>B \colon V \times V \to K</math> bezüglich einer beliebigen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>\{ b_1, \ldots , b_n \}</math> stets eine alternierende Matrix.<ref name="hogben">{{Literatur |Hrsg=Leslie Hogben |Titel=Handbook of Linear Algebra |Verlag=CRC Press |Datum=2006 |Seiten=12-5}}</ref>

=== Rang ===

Der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] <math>r</math> einer alternierenden Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> ist stets gerade. Weiter existiert eine reguläre Matrix <math>P \in K^{n \times n}</math>, sodass nach [[Kongruenz (Matrix)|Kongruenztransformation]]

: <math>P^T A P = \begin{pmatrix} 0 & I & 0 \\ -I & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in K^{n \times n}</math>

gilt, wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] der Größe <math>\tfrac{r}{2} \times \tfrac{r}{2}</math> ist.<ref name="hogben" /> Eine alternative Normaldarstellung ist

: <math>P^T A P = \begin{pmatrix} T & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & T & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in K^{n \times n}</math>

mit genau <math>\tfrac{r}{2}</math> Blöcken der Form <math>T = \tbinom{~\,0 ~~ 1}{-1 ~~ 0}</math>.<ref name="hogben" />

=== Determinante ===

Ist <math>n</math> gerade, dann kann die [[Determinante]] einer alternierenden Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> mit Hilfe der [[Pfaffsche Determinante|pfaffschen Determinante]] <math>\operatorname{Pf}(A)</math> durch

: <math>\det A = \operatorname{Pf}(A)^2</math>

angegeben werden.<ref>{{Literatur |Autor=Günter Scheja, Uwe Storch |Titel=Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra |Band=2 |Verlag=Vieweg |Datum=1988 |Seiten=391}}</ref> Ist <math>n</math> ungerade, dann gilt stets

: <math>\det A = 0</math>.

Für weitere Eigenschaften alternierender Matrizen siehe [[Schiefsymmetrische Matrix#Eigenschaften]].

== Siehe auch ==
* [[Alternierende Multilinearform]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Hrsg=Leslie Hogben
|Titel=Handbook of Linear Algebra
|Verlag=CRC Press
|Datum=2006
|ISBN=978-1-4200-1057-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Erich Lamprecht]]
|Titel=Lineare Algebra
|Band=2
|Verlag=Springer
|Datum=2013
|ISBN=978-3-0348-7680-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Günter Scheja]], [[Uwe Storch]]
|Titel=Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluss der linearen Algebra
|Band=2
|Verlag=Vieweg
|Datum=1988
|ISBN=978-3-322-80092-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]

Alternierende Matrix - Versionsgeschichte

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