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2023-11-26T20:22:17Z

Eigenschaften: Begriff "isomorph" beim ersten Vorkommen auf Artikel Gruppenisomorphismus verlinkt

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Die '''alternierende Gruppe vom Grad <math>n</math>''' besteht aus allen [[Gerade Permutation|geraden Permutationen]] einer <math>n</math>-elementigen Menge. Die Verknüpfung der Gruppe ist die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] (Hintereinanderausführung) der [[Permutation]]en. Meist wird einfach von der alternierenden Gruppe <math>A_n</math> gesprochen.

Die alternierenden Gruppen sind Untergruppen der entsprechenden [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppen]] <math>S_n</math>. Eine besondere Bedeutung kommt der alternierenden Gruppe <math>A_5</math> zu. Dass sie der einzige nicht-triviale [[Normalteiler]] von <math>S_5</math> ist, ist ein wichtiger Bestandteil des Beweises des [[Satz von Abel-Ruffini|Satzes von Abel-Ruffini]]. Dieser Satz aus dem beginnenden 19. Jahrhundert besagt, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades nicht durch [[Radikal (Mathematik)|Wurzelausdrücke]] lösbar sind.

== Eigenschaften ==

Die alternierenden Gruppen sind nur für <math>n \geq 2</math> definiert.

Die alternierende Gruppe <math>A_n</math> besteht aus <math>\tfrac{1}{2}n!</math> Elementen. Nur die Gruppen <math>A_2</math> und <math>A_3</math> sind [[Abelsche Gruppe|abelsch]]. Die alternierende Gruppe <math>A_n</math> ist die [[Kommutatorgruppe]] der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math>.

Bis auf <math>A_2</math> und <math>A_4</math> sind alle alternierenden Gruppen [[Endliche einfache Gruppe|einfach]]. <math>A_5</math> ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist [[Gruppenisomorphismus|isomorph]] zur Drehgruppe des [[Ikosaeder]]s (siehe [[Ikosaedergruppe]]).

=== Erzeugendensystem ===

Die alternierende Gruppe <math>A_n</math> wird von den [[Zyklische Permutation|3-Zykeln]] der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> [[Erzeugendensystem|erzeugt]].

Jeder 3-Zykel <math>(a~b~c)</math> ist eine gerade Permutation, da er sich als Produkt von zwei Transpositionen
:<math>(a~b) \circ (b~c) = (a~b~c)</math>
schreiben lässt, und deshalb ein Element der alternierenden Gruppe.
Des Weiteren ist jede gerade Permutation ein Produkt von 3-Zykeln, da Paare aus zwei Transpositionen Produkte von 3-Zykeln sind. Im Einzelnen gilt
* <math>(a~b) \circ (a~b) = \mathrm{id} = (a~b~c) \circ (c~b~a)</math>, wenn beide Transpositionen gleich sind.
* <math>(a~b) \circ (a~c) = (a~c~b)</math>, wenn beide Transpositionen ein gemeinsames Element besitzen.
* <math>(a~b) \circ (c~d) = (a~c~b) \circ (a~c~d)</math>, wenn beide Transpositionen kein gemeinsames Element besitzen.

=== Einbettbarkeiten ===
Als Untergruppe kann die alternierende Gruppe <math>A_n</math> trivialerweise in die symmetrische Gruppe <math>S_n</math> eingebettet werden.

Aber auch umgekehrt kann <math>S_n</math> unter Anhängen der Transposition <math>\bigl((n\!\!+\!\!1) ~ (n\!\!+\!\!2)\bigr)</math> an jede ungerade Permutation in die alternierende Gruppe <math>A_{n+2}</math> eingebettet werden.

== Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen ==

Von einem [[Fehlstand]] oder einer Inversion spricht man, wenn zwei „Stellen“ einer [[Permutation]] in „falscher“ Reihenfolge stehen.
Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihre Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt.

Beispiel: Die Permutation in [[Symmetrische Gruppe|Tupelschreibweise]] <math>(3, 1, 2)</math> besitzt die [[Fehlstand|Inversionen]] „3 vor 1“ und „3 vor 2“ (abzulesen an der [[Permutation#Zweizeilenform|Zweizeilenform]]) und damit die Inversionszahl <math>2</math>.

Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist; von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.

Oft definiert man auch das [[Vorzeichen (Permutation)|Signum]] <math>\operatorname{sgn}\colon \text{S}_n\rightarrow \{+1,-1\}</math> wie folgt:
: <math>\operatorname{sgn}(p) = +1</math>, falls die Permutation <math>p</math> gerade ist, und
: <math>\operatorname{sgn}(p) = -1</math>, falls <math>p</math> ungerade ist.

Das Signum ist ein [[Gruppenhomomorphismus]], es gilt also:
: <math>\operatorname{sgn}(ps) = \operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(s)</math>
für die Permutationen <math>p</math> und <math>s</math>.

== Gruppeneigenschaften ==

Als [[Kern (Algebra)|Kern]] des Signums ist <math>A_n</math> automatisch ein [[Normalteiler]] von <math>S_n</math>.
Man kann auch die [[Untergruppe]]neigenschaften leicht nachrechnen:

Für die Menge der geraden Permutationen gilt:
* Die [[identische Permutation]] <math>\mathrm{id}</math> ist Element dieser Menge.
* Die Menge ist bezüglich [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] abgeschlossen, d. h., wenn <math>p_1</math> und <math>p_2</math> gerade Permutationen sind, sind auch <math>p_1\circ p_2</math> und <math>p_1^{-1}</math> gerade; eine Beweisskizze folgt weiter unten.

Mit diesen Voraussetzungen „erbt“ <math>A_n</math> direkt von <math>S_n</math> alle notwendigen Gruppeneigenschaften:
* Für alle geraden Permutationen <math>p_1, p_2, p_3\in A_n</math> gilt: <math>p_1\circ\left(p_2\circ p_3\right)=\left(p_1\circ p_2\right)\circ p_3</math>
* Für alle geraden Permutationen <math>p_1</math> gilt: <math>p_1 \circ \mathrm{id} = \mathrm{id} \circ p_1 = p_1</math>
* Für alle geraden Permutationen <math>p_1\in A_n</math> gilt: Es gibt ein gerades <math>p_1^{-1}\in A_n</math> mit <math>p_1\circ p_1^{-1}=p_1^{-1}\circ p_1= \mathrm{id}</math>.

Die Gruppe <math>A_5</math> stellt hierbei eine Besonderheit dar, da sie die kleinste einfache nicht-abelsche Gruppe ist.

== Abgeschlossenheit ==

=== Transpositionen {{Anker|Transpositionen}} ===

Als ''Transposition'' bezeichnet man eine Permutation, bei der genau zwei verschiedene Stellen miteinander vertauscht werden, z. B. <math>(5~3)</math>, bei der 3 und 5 vertauscht werden.

Allgemein gilt für alle <math>n</math>-stelligen Permutationen <math>p_1</math> und <math>p_2</math>:
<math>p_2</math> lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus <math>p_1</math> erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutation <math>p_2</math>:
<math>p_2</math> lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation <math>\mathrm{id}</math> erzeugen.

[[Datei:040219_alt_gr1.png|thumb|200px|right|Im Bild ist dargestellt, wie die Permutation in Tupelschreibweise <math>(2~5~3~1~4)</math> aus <math>(1~2~3~4~5)</math> mit 5 Transpositionen erzeugt wird.]]

Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit, so könnte man im Bild rechts beispielsweise die Transpositionen <math>b</math> und <math>c</math> wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben.
Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sich paarweise aufhebender Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, … erhöhen.
Allerdings ist es nicht möglich, <math>(2~5~3~1~4)</math> mit einer ''geraden'' Anzahl von Transpositionen aus <math>(1~2~3~4~5)</math> zu erzeugen.

=== Transpositionen und Inversionszahl ===

Durch eine ''einzelne'' Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl ''immer'' um eine ''ungerade'' Zahl, d. h., aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.

Bei einer Transposition, die aus
:<math>\left(\dotsc,x,\dotsc,y_i,\dotsc, z,\dotsc\right)</math> die neue Permutation
:<math>\left(\dotsc,z,\dotsc,y_i,\dotsc, x,\dotsc\right)</math> erzeugt,
setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:
* Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von <math>x</math> und <math>z</math> ergibt, diese ist +1, falls <math>x<z</math>, ansonsten −1.
* Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von <math>x, y_i</math> und <math>z</math> ergibt.
** Falls <math>y_i</math> größtes oder kleinstes Element von <math>x, y_i, z</math> ist, beträgt die Änderung 0.
** Falls <math>y_i</math> mittleres Element von <math>x, y_i, z</math> ist, beträgt die Änderung +2 oder −2.
Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.

[[File:Permutation-sign.svg|miniatur|200px|Umwandlung zwischen geraden und ungeraden Permutationen durch Transpositionen]]
Die weiter oben getroffene Aussage lässt sich verallgemeinern:
* Durch eine ''ungerade'' Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl ''immer'' um eine ''ungerade'' Zahl, d. h., aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.
* Durch eine ''gerade'' Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl ''immer'' um eine ''gerade'' Zahl, d. h., aus einer geraden Permutation wird erneut eine gerade Permutation und aus einer ungeraden Permutation wird erneut eine ungerade Permutation.

=== Transpositionen und Abgeschlossenheit ===

Da id eine gerade Permutation ist, gilt:
* Alle geraden Permutationen lassen sich nur durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.
* Alle ungeraden Permutationen lassen sich nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.

Wenn <math>p</math> und <math>q</math> gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen <math>p_n</math> und <math>q_n</math>, so dass sich <math>p</math> und <math>q</math> als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:
* <math>p = t_{p_1} \circ\dotsb\circ t_{p_n}</math>
* <math>q = t_{q_1} \circ\dotsb\circ t_{q_n}</math>
Damit gilt <math>p\circ q=t_{p_1} \circ\dotsb\circ t_{p_n}\circ t_{q_1} \circ\dotsb\circ t_{q_n}</math>, somit ist auch die Verkettung <math>p\circ q</math> gerade.

Analog kann man herleiten:
Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation. Damit führt die Annahme, eine Permutation <math>p</math> sei gerade und <math>p^{-1}</math> sei ungerade, wegen <math>p\circ p^{-1}=\mathrm{id}</math> zum Widerspruch.

== Präsentation der Gruppe ''A<sub>n</sub>'' ==

Eine [[Präsentation einer Gruppe|Präsentation durch Erzeugende und Relationen]] sieht so aus:
Die Gruppe <math>A_n</math> wird für <math>n\ge 3</math> durch
:Erzeugende <math>x_1,\dotsc, x_{n-2}</math> und
:Relationen
:<math>x_1^3=x_i^2=e</math>   für   <math>2\le i \le n-2</math>
:<math>(x_ix_{i+1})^3=e</math>   für   <math>2\le i \le n-3</math>
:<math>(x_ix_j)^2 = e</math>   für   <math>1\le i \le n-4, i+1<j</math>
definiert.<ref>B. Huppert: ''Endliche Gruppen I'', Springer-Verlag (1967), Kapitel I, Satz 6.14</ref>
Das heißt, dass jede Gruppe, die <math>n-2</math> Elemente <math>x_1,\dotsc, x_{n-2}</math> enthält, die untereinander die oben genannten Gleichungen erfüllen und insgesamt die Gruppe erzeugen, bereits zur alternierenden Gruppe <math>A_n</math> isomorph ist.

Das kann man etwa verwenden, um zu zeigen, dass <math>A_8</math> isomorph zur Gruppe <math>\mathrm{GL}_4(2)</math> der invertierbaren <math>4\times4</math>-Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen ist. Das folgt aus der nachzurechnenden Tatsache, dass
:<math>x_1 = \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&0&0&1 \\ 1&1&0&0 \\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}
\quad \quad
x_2 = \begin{pmatrix} 0&1&0&1 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 1&0&1&0 \end{pmatrix}
\quad \quad
x_3 = \begin{pmatrix} 0&1&1&1 \\ 0&1&0&1 \\ 1&1&0&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}
</math>

:<math>x_4 = \begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&1 \end{pmatrix}
\quad \quad
x_5 = \begin{pmatrix} 0&0&1&0 \\ 0&1&0&1 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}
\quad \quad
x_6 = \begin{pmatrix} 0&1&1&1 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 1&1&1&0 \end{pmatrix}
</math>
die Gruppe erzeugen und obige Relationen erfüllen.<ref>B. Huppert: ''Endliche Gruppen I'', Springer-Verlag (1967), Kapitel II, Satz 2.5</ref>

== Siehe auch ==

* [[A4 (Gruppe)|alternierende Gruppe vom Grad 4]]
* [[A5 (Gruppe)|alternierende Gruppe vom Grad 5]]

== Literatur ==

* Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 108–109

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]
[[Kategorie:Permutationstheorie]]

Alternierende Gruppe - Versionsgeschichte

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