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2025-08-22T16:08:11Z

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Ein '''Allpassfilter''', auch nur '''Allpass''' genannt, ist ein elektrischer [[Filter (Elektrotechnik)|Filter]], das im Idealfall für alle [[Frequenz]]en einen konstanten [[Frequenzgang|Betragsfrequenzgang]] aufweist, während die [[Phasenverschiebung]] von der Frequenz abhängt. Allpässe werden unter anderem in [[Nachrichtentechnik|nachrichtentechnischen]] Systemen zur Signalentzerrung oder zur Erzeugung von [[Laufzeit (Elektrotechnik)|Laufzeiten]] bzw. [[Totzeit (Regelungstechnik)|Totzeiten]] verwendet.

== Allgemeines ==

Allpässe weisen für alle Frequenzen die gleiche Amplitude auf; die Phasenverschiebung ist jedoch frequenzabhängig.
Diese Eigenschaft kann zur Signalverzögerung und Phasenentzerrung verwendet werden. Es können damit frequenzabhängige Phasenverzögerungen kompensiert oder verstärkt werden.

Weiter werden Allpässe näherungsweise zur [[Hilberttransformation]] eingesetzt, um aus einem reellwertigen Signal ein [[analytisches Signal]] zu erzeugen. Bei der Hilberttransformation wird das Spektrum eines Signals in einem bestimmten Frequenzband um π/2 (90°) in der Phase gedreht. Jene Allpässe werden auch als „Hilbert-Transformator“ bezeichnet und werden, da sie in analogen elektrischen Schaltungen nur mit größerem Aufwand zu realisieren sind, bevorzugt im Bereich der [[digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] eingesetzt.

Allpässe können als [[passives Filter]], als [[Analogfilter|analoges aktives Filter]], als Oberflächenfilter oder im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung als zeitdiskrete [[Digitalfilter]] realisiert werden. Elektrische Leitungen selbst stellen einen Allpass dar, denn sie verzögern Signale um einen Betrag, der sich aus Länge, Kapazitäts- und Induktivitätsbelag ergibt.

Allgemein weisen Allpässe folgende Beziehungen auf:
* Ein Allpass der Ordnung ''n'' hat ''n''-Phasendrehungen entlang der Frequenzachse.
* Ein nicht [[Minimalphasensystem|minimalphasiges]] System kann in ein minimalphasiges Teilsystem und in einen Allpass aufgeteilt werden.

=== Pol- und Nullstellen ===

Die [[Übertragungsfunktion]] kontinuierlicher Allpässe, wie sie in Form analoger Schaltungen realisiert werden, haben in Paaren auftretende Null- und Polstellen im [[Pol-Nullstellen-Diagramm]], die symmetrisch zur vertikalen jω-Achse in der [[Laplace-Transformation|s-Ebene]] liegen. Dabei liegen alle Nullstellen auf der rechten Halbebene, was den nicht minimalphasigen Phasengang bewirkt. Beispielsweise ist in der s-Ebene der Pol bei −2+2j mit der Nullstelle 2+2j gepaart.

Bei zeitdiskreten Allpässen, angewendet im Bereich der digitalen Signalverarbeitung, liegen nach Anwendung der [[z-Transformation]] alle Pole innerhalb und alle Nullstellen außerhalb des [[Einheitskreis]]es in der komplexen [[z-Transformation|z-Ebene]]. Die Pol- und Nullstellen treten dabei paarweise gespiegelt am Einheitskreis auf. Ein Pol innerhalb des Kreises hat eine Nullstelle außerhalb zur Folge. Beispielsweise ist in der z-Ebene der Pol bei 1/2 mit der Nullstelle bei 2 gepaart.

Im Spezialfall reellwertiger Koeffizienten sind Pol- und Nullstellen entweder rein reell, oder paarweise komplex konjugiert. Für diskrete reelle Allpässe heißt das also: Ist <math> z_{0\nu}</math> eine Nullstelle, dann ist <math> z^*_{0\nu}</math> auch eine Nullstelle. Ist <math> z_{\infty\nu}</math> eine Polstelle, dann ist <math> \frac{1}{z^*_{\infty\nu}}</math> eine Nullstelle.

=== Übertragungsfunktion ===

Die Übertragungsfunktion ''H''1(''s'') eines zeitkontinuierlichen Allpasses 1. Ordnung bzw. ''H''2(''s'') eines Allpasses 2. Ordnung ist:

:<math>H_1 \left(s\right) = \frac{1-\frac{s}{\omega_0}}{1+\frac{s}{\omega_0}}, \qquad H_2 \left(s\right) = \frac{1-\frac{2\xi}{\omega_0}\cdot s+\frac{s^2}{{\omega_0}^2}}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}\cdot s+\frac{s^2}{{\omega_0}^2}}</math>

Höhere Ordnungen entstehen, indem weitere Paare von Pol-Nullstellen zur Übertragungsfunktion hinzugefügt werden. Ein Allpass n-ter Ordnung ist gegeben durch:

:<math>H_n \left(s\right) = \frac{\prod_{i=1}^n \left(1 - a_i s + b_i s^2 \right)}{\prod_{i=1}^n \left(1 + a_i s + b_i s^2 \right)} = e ^{j\varphi}</math>

mit den allgemeinen Koeffizienten ''a''i und ''b''i. Die im zweiten Ausdruck auftretende [[Phasenverschiebung]] φ ist eine Funktion der [[Kreisfrequenz]] ω mit ''s'' = j·ω mit folgendem Bezug:

:<math>\varphi \left( \omega \right) = -2 \sum_{i=1}^n \operatorname{arctan} \frac{a_i \omega}{1 - b_i \omega^2}</math>

Da der Frequenzgang idealerweise konstant ist, ergibt die Festlegung einer 3-dB-Grenzfrequenz im Betragsfrequenzgang keinen Sinn. Allpässe werden über die [[Gruppenlaufzeit]] ''T''gr als Funktion der Kreisfrequenz ω charakterisiert. Als Grenzfrequenz wird dabei üblicherweise das Absinken der Gruppenlaufzeit auf das <math>1/\sqrt{2}</math> im Bezug zu dem Grenzwert der Gruppenlaufzeit bei der Frequenz 0 Hz festgelegt.

== Arten ==
=== Aktive analoge Implementierung ===
In untenstehender Abbildung ist unter anderem ein aktiver, analoger Allpass 1. Ordnung mit einem [[Operationsverstärker]] dargestellt. Seine Übertragungsfunktion (s = σ + j·ω) ist gegeben als:

:<math>H(s) = \frac{ sRC - 1 }{ sRC + 1 }</math>

mit einem Pol bei −1/RC und einer Nullstelle bei 1/RC. Der Phasengang als Funktion der [[Kreisfrequenz]] ω mit σ = 0 weist bei dieser Schaltung folgenden Verlauf auf:

:<math>\angle H(j \omega) = \pi - 2 \arctan(\omega RC)</math>

Die Schaltung eines Allpasses 2. Ordnung stellt eine mögliche Realisierungsform mit einem Operationsverstärker dar und weist als Unterschied ein geändertes Rückkopplungsnetzwerk auf.

<gallery caption="Aktive analoge Allpässe">
Datei:Allpass DIN.svg|Filter 1. Ordnung
Datei:All pass filter 2nd order.PNG|Filter 2. Ordnung
</gallery>

Ein Vorteil der Realisierung mittels Operationsverstärkern besteht darin, dass in der Schaltung keine [[Spule (Elektrotechnik)|Spulen]] eingesetzt werden.

=== Passive analoge Implementierung ===
Passive Allpassfilter können auf verschiedene Arten realisiert werden. Beispielsweise kann die Realisierung in einer Gitterform (engl. ''Lattice'') erfolgen oder als eine T-Schaltung. Der passive T-Allpass wurde unter anderem bei [[Festnetz]]anschlüssen zur Kompensation von Phasenverzerrungen zwischen Vermittlungsstelle und Endteilnehmeranschluss eingesetzt.

<gallery caption="Passive analoge Allpässe">
Datei:Lattice All-pass Phase Correction Filter.svg|Lattice-Schaltung bzw. [[Boucherot-Brücke]] Filter 2. Ordnung
Datei:Bridged-T delay equaliser.svg|T-Schaltung Filter 2. Ordnung
</gallery>

=== Zeitdiskrete Implementierung ===

Die diskrete Übertragungsfunktion ''H''(''z'') für einen Allpassfilter 1. Ordnung mit einer [[komplex konjugiert]]en Pol-Nullstelle bei ''a'' weist folgende Form auf:

:<math>H(z) = \frac{z^{-1}-a^*}{1-az^{-1}}</math>

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor = T. Deliyannis, Yichuang Sun, J. K. Fidler
|Titel = Continuous-Time Active Filter Design
|Verlag = CRC Press | Jahr = 1999 | Auflage = 1. | ISBN = 0-84932573-0 }}
* {{Literatur
|Autor = [[Karl-Dirk Kammeyer]], Kristian Kroschel
|Titel = Digitale Signalverarbeitung
|Verlag = Teubner | Jahr = 2006 | Auflage = 6. | ISBN = 3-8351-0072-6
|Online =
{{Google Buch
| BuchID = WIC4rhqJY-wC
}}
}}

== Weblinks ==

* [https://web.archive.org/web/20161116055758/http://www.filter-solutions.com/active.htg/allpass.gif Beispiel von Allpässen]

[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]

Allpassfilter - Versionsgeschichte

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