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Die '''Allklasse''' bezeichnet die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]], die alle Elemente einer mathematischen Theorie enthält; in der [[Mengenlehre]] ist das die Klasse aller Mengen. Die Allklasse wird heute präzise definiert durch eine beliebige Eigenschaft, die alle Elemente erfüllen, das heißt, über eine [[Tautologie (Logik)|Tautologie]], also etwa als die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] <math>\{x\mid x=x\}</math> oder auch
<math>\{x\mid\top\}</math>, <math>\{x\mid\bot\rightarrow\bot\}</math>.

Die Allklasse wurde schon von [[Georg Cantor]] als „System aller denkbaren Klassen“ gebildet. Er zeigte 1899 mit einem [[indirekter Beweis|indirekten Beweis]], dass die Allklasse keine [[Menge (Mathematik)|Menge]] ist: Wäre nämlich die Allklasse eine Menge, dann wäre die [[Potenzmenge]] der Allklasse eine Teilmenge der Allklasse und damit keine mächtigere Menge, wie es der [[Satz von Cantor]] verlangt.<ref>Brief von Cantor an Dedekind vom 31. August 1899, in: Georg Cantor: ''Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor–Dedekind.'' Herausgegeben von [[Ernst Zermelo]]. Nebst einem Lebenslauf Cantors von [[Adolf Fraenkel]]. Springer, Berlin 1932, S. 448.</ref> Dieser Widerspruch ist die zweite [[Cantorsche Antinomie]], die zeigt, dass es keine ''Allmenge'' oder Menge aller Mengen gibt, sondern dass diese Mengenbildung der [[naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]] widersprüchlich ist. Die Allklasse ist daher ein sehr einfaches Beispiel einer [[Klasse (Mengenlehre)|echten Klasse]].

Die Allklasse ist zu unterscheiden von der Russellschen Klasse, die bei der Einstufung als Menge die [[Russellsche Antinomie]] erzeugt. Im Rahmen üblicher Mengenlehren kann die Allklasse ebenfalls keine Menge sein, da dann aufgrund des [[Aussonderungsaxiom]]s die Russellsche Klasse ebenfalls eine Menge wäre. Da die meisten gängigen axiomatischen Mengenlehren das Aussonderungsaxiom oder ein Äquivalent beinhalten, ist in ihnen die Allklasse keine Menge, genauer gibt es keine Allmenge, das heißt
:<math>\exists A \forall B\quad B\in A</math>
ist in ihnen widerlegbar. Ebenfalls aufbauend auf dem Aussonderungsaxiom führt die [[Cantorsche Antinomie]] zum selben Ergebnis. Manche Mengenlehren erlauben allerdings den Umgang mit echten Klassen und damit auch der Allklasse als von den Mengen separaten Objekten (''siehe auch [[Klassenlogik]]'').

Nimmt man das [[Fundierungsaxiom]] an, wie es in der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] und der [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] geschieht, so ist die Allklasse gleich der Russellschen Klasse.

== Literatur ==
* [[Arnold Oberschelp]]: ''Allgemeine Mengenlehre.'' BI-Wiss.-Verl., Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Allklasse - Versionsgeschichte

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