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2021-09-12T12:07:25Z

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'''Algebraische Hüllensysteme''' sind ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Universelle Algebra|universellen Algebra]]. Ein [[Hüllensystem]] heißt algebraisch, wenn es sich als Menge der Universen aller Unterstrukturen einer [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] ergibt.

== Zusammenhang zwischen Hüllensystem und Hüllenoperator ==
Für ein [[Hüllensystem]] <math>\mathcal {H} \subseteq \mathcal {P}(S) </math> über einer [[Grundmenge]] <math>S</math> ist der zugehörige Hüllenoperator <math>C_{\mathcal {H}}</math> auf <math>\mathcal {P}(S) </math> gegeben durch:
:<math>C_{\mathcal {H}}(A) = \bigcap \{ H \in \mathcal {H} | H \supseteq A \} </math> (<math> A \subseteq S </math>).

Der Hüllenoperator ordnet also einer Teilmenge von S die kleinste Obermenge aus dem Hüllensystem zu.

== Charakterisierung über Endlichkeitsbedingung ==
Die Algebraizität eines Hüllensystems lässt sich wie folgt ohne Rückgriff auf algebraische Strukturen charakterisieren: Das Hüllensystem <math>\mathcal {H}</math> und der Hüllenoperator <math>C_{\mathcal {H}}</math> werden algebraisch genannt, wenn folgende ''Endlichkeitsbedingung'' erfüllt ist:
: ''Ist <math> A \subseteq S </math> und <math> x \in C_{\mathcal {H}}(A) </math>, so existiert schon eine [[Endliche Menge|endliche Teilmenge]] <math> F \subseteq A </math> derart, dass <math> x \in C_{\mathcal {H}}(F) </math>.''

Das bedeutet:
: ''Es ist stets ''
: ''<math>C_{\mathcal {H}}(A) = \bigcup \{ C_{\mathcal {H}}(F) : F \subseteq A \land |F| < \infty \} </math> (<math> A \subseteq S </math>).''

In der Logik wird diese Eigenschaft [[Kompaktheit (Logik)|Kompaktheit]] genannt.

Diese Eigenschaft gilt für jedes Hüllensystem, das durch die Unterstrukturen einer algebraischen Struktur gegeben ist, denn ein Element <math>x</math> der Struktur liegt gerade dann im [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugnis]] einer Teilmenge der Struktur, wenn es einen [[Term]] bestehend aus den (nach Voraussetzung endlichstelligen) [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungen]] der Struktur und Elementen der Teilmenge gibt, dessen Wert <math>x</math> ist, und ein Term kann nur endlich viele solche Elemente verwenden. Umgekehrt lässt sich zu einem Hüllensystem mit der obigen Eigenschaft eine entsprechende algebraische Struktur definieren, indem man für jedes <math>A\subseteq S</math> und <math>x</math> und <math>F=\left\{f_1,\ldots, f_n\right\}</math> wie oben eine Verknüpfung <math>v\colon S^n\mapsto S</math> definiert durch <math>v(f_1,\ldots,f_n)=x</math> und für andere Tupel <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> (was für <math>n=0</math> nicht auftritt) zum Beispiel <math>v(x_1,\ldots,x_n)=x_1</math> setzt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Bjarni Jónsson (Mathematiker)|Bjarni Jónsson]] |Titel=Topics in Universal Algebra |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=1972 |ISBN=3-540-05722-6 |Seiten=91}}</ref>

== Charakterisierung über Induktivität ==
Eine Menge von Mengen <math>\mathcal{T}</math> heißt ''induktiv'', wenn für jede nichtleere bezüglich der Inklusionsrelation aufsteigend [[linear geordnet]]e Teilmenge <math>\mathcal{K}\subseteq\mathcal{T}</math> die [[Vereinigungsmenge]] <math>\textstyle \bigcup\mathcal{K}</math> wiederum zu <math>\mathcal{T}</math> gehört. Dies ist äquivalent dazu, dass die Vereinigung jeder nichtleeren bezüglich der Inklusionsrelation [[Gerichtete Menge|gerichteten Teilmenge]] von <math>\mathcal{T}</math> wiederum zu <math>\mathcal{T}</math> gehört.<ref>Ihringer: S. 37.</ref><ref>Ihringer spricht in seiner Darstellung nicht von ''algebraischen Hüllensystemen'', sondern stellt sie allein auf den Begriff der Induktivität ab.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Stanley Burris, H. P. Sankappanavar |Titel=A Course in Universal Algebra |Datum=1981 |Seiten=24 |Online=[http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra.pdf math.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=1600}}</ref> Die Rückrichtung folgt [[a fortiori]], die Hinrichtung ergibt sich per [[Transfinite Induktion|transfiniter Induktion]] über alle Kardinalzahlen: Als Induktionsanfang betrachte man eine endliche gerichtete Menge, diese hat ein Maximum, womit die Aussage trivial ist. Sei nun also <math>\mathcal{K}\subseteq\mathcal{T}</math> eine gerichtete Teilmenge mit unendlicher [[Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] <math>\kappa</math>. <math>\mathcal{K}</math> lässt sich als Vereinigung einer aufsteigenden Kette von Teilmengen kleinerer Kardinalität darstellen.<ref>{{Literatur |Autor=Schmidt |Titel=Math. Nachr |Band=7 |Datum=1952 |Seiten=174}}</ref> Hierfür wähle eine [[Wohlordnung|Nummerierung]] <math>f\colon\kappa\to\mathcal{K}</math>, dann ist <math>\mathcal{K}</math> Vereinigung der [[Bildmenge|Bilder]] <math>f(\alpha)</math> für jede [[Ordinalzahl]] <math>\alpha<\kappa</math>. Da für unendliche Mengen die Menge aller endlichen Teilmengen dieselbe Kardinalität wie die Menge selbst besitzt und sich somit jedes <math>f(\alpha)</math> zu einer gerichteten Teilmenge ergänzen lässt, ohne die Kardinalität <math>\kappa</math> zu überschreiten, lässt sich <math>\mathcal{K}</math> sogar als Vereinigung einer aufsteigenden Kette von ''gerichteten'' Teilmengen kleinerer Kardinalität. Für diese sei nun per Induktionsvoraussetzung die Behauptung gezeigt und sie ergibt sich für alle Kardinalzahlen.<ref>{{Literatur |Autor=Günter Bruns |Titel=A lemma on directed sets and chains |Sammelwerk=Archiv der Mathematik |Band=18 |Nummer=6 |Verlag=Birkhäuser |Datum=1967 |ISSN=0003-889X |Seiten=561–563 |DOI=10.1007/BF01898858}}</ref>

=== Satz von Schmidt ===
Aus dem Vorherigen ergibt sich ein Satz von [[Jürgen Schmidt (Mathematiker)|Jürgen Schmidt]]<ref>{{Literatur |Autor=Schmidt |Titel=Math. Nachr |Band=7 |Datum=1952 |Seiten=172}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Schmidt |Titel=Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin |Datum=1953-01 |Seiten=25}}</ref><ref>Cohn: S. 45, 397.</ref><ref>Schmidt bezeichnet den Satz in den Artikeln von 1952 und 1953 als ''Hauptsatz über algebraische Hüllensysteme.'' Diese Bezeichnung wird in der heutigen Literatur zur Universellen Algebra nicht aufgegriffen. Heinrich Werner gibt in ''Einführung in die allgemeine Algebra.'' S. 32, einen Satz an, welcher im Wesentlichen dem Satz von Schmidt entspricht und dennoch nicht Jürgen Schmidt zugewiesen wird, sondern als ein Resultat von Birkhoff-Frink aus dem Jahre 1948 genannt ist.</ref> (1918–1980), welcher besagt, dass ''die Induktivität für ein Hüllensystem äquivalent zur Algebraizität ist.''

Denn die Algebraizität impliziert die Induktivität offensichtlich unmittelbar. Umgekehrt betrachte man für ein Hüllensystem <math>\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(S)</math> und ein <math>A\subseteq S</math> die gerichtete Menge <math>\left\{ C_{\mathcal{H}}(F) \mid F \subseteq A \land |F| < \infty \right\}</math> (sie ist gerichtet, da <math>C_{\mathcal{H}}(F)\cup C_{\mathcal{H}}(G) = C_{\mathcal{H}}(F\cup G)</math>). Sie besteht aus Elementen des Hüllensystems, somit ist auch ihre Vereinigung <math>U</math> Element des Hüllensystems, somit ist <math>U=C_{\mathcal{H}}(A)</math> und die Algebraizität gezeigt. Man beachte, dass der Beweis letzterer Implikation aufgrund obiger Verwendung gewisser Sätze über unendliche Mengen auf dem [[Auswahlaxiom]] basiert.

== Beispiele ==
An zwei einfachen Beispielen kann man den vom Satz formulierten Zusammenhang zwischen Algebraizität und Induktivität nachprüfen.

Ein mögliches Hüllensystem ist die ganze Potenzmenge, <math>\mathcal{H} = \mathcal{P}(S)</math>. In diesem Fall ist der Hüllenoperator die Identität. Da jede Teilmenge von <math>S</math> die Vereinigung ihrer endlichen Teilmengen ist, sind der Hüllenoperator und das Hüllensystem algebraisch. Tatsächlich ist das Hüllensystem in diesem Fall auch induktiv.

Ein anderes Hüllensystem besteht aus der als unendlich angenommenen Menge <math>S</math> und allen endlichen Teilmengen, <math>\mathcal{H} = \{S\}\cup\{A: A \subseteq S \land |A| < \infty\}</math>. Endliche Teilmengen werden in diesem Fall vom Hüllenoperator auf sich selbst abgebildet, unendliche Teilmengen dagegen auf ganz <math>S</math>. Für eine unendliche echte Teilmenge von <math>S</math> ist die Endlichkeitsbedingung daher nicht erfüllt, das Hüllensystem somit nicht algebraisch. Tatsächlich ist es auch nicht induktiv, eine aufsteigende Kette endlicher Mengen, die nicht ganz <math>S</math> ausschöpft, ist hierfür ein Gegenbeispiel.

== Literatur ==
'''Originalarbeiten'''
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Schmidt
|Titel=Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie
|Sammelwerk=[[Mathematische Nachrichten|Math. Nachr]]
|Band=7
|Datum=1952
|Seiten=165–182
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schmidt%2C%20J%C3%BCrgen&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=63&mx-pid=47628 MR0047628]}}
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Schmidt
|Titel=Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. In: Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin
|Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1953-01
|Seiten=21–48
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=IID&s1=242461&vfpref=html&r=60&mx-pid=69802 MR0069802]}}

'''Monographien'''
* {{Literatur
|Autor=[[Paul Cohn (Mathematiker)|Paul Moritz Cohn]]
|Titel=Universal Algebra
|Reihe=Mathematics and Its Applications
|BandReihe=6
|Auflage=Überarbeitete
|Verlag=D. Reidel Publishing
|Ort=Dordrecht, Boston
|Datum=1981
|ISBN=90-277-1213-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas Ihringer|Th. Ihringer]]
|Titel=Allgemeine Algebra
|Reihe=Teubner Studienbuch
|Verlag=Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1988
|ISBN=3-519-02083-1}}
* {{Literatur
|Autor=Heinrich Werner
|Titel=Einführung in die allgemeine Algebra
|Reihe=BI-Hochschultaschenbuch
|BandReihe=120
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim / Wien / Zürich
|Datum=1978
|ISBN=3-411-00120-8}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Universelle Algebra]]

Algebraisches Hüllensystem - Versionsgeschichte

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