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2025-05-13T12:20:47Z

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Die [[Mathematik|mathematischen]] Begriffe '''algebraisches''' und '''transzendentes Element''' treten in der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] auf und verallgemeinern das Konzept von [[Algebraische Zahl|algebraischen]] und [[Transzendente Zahl|transzendenten Zahlen]].

== Definition ==

Sei <math>L/K</math> eine [[Körpererweiterung]], <math>a\in L</math> ein Element.
Dann heißt <math>a</math> ''algebraisch'' über <math>K</math>, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in <math>K</math> gibt, das <math>a</math> als [[Nullstelle]] hat.

Ein Element aus <math>L</math>, das nicht algebraisch über <math>K</math> ist, heißt ''transzendent'' über <math>K</math>.<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra II.'' Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.2.10.</ref>

== Beispiele ==

* Eine komplexe Zahl ist genau dann eine algebraische Zahl, wenn sie ein algebraisches Element in der Körpererweiterung <math>\Complex/\Q</math> ist.
* Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über <math>\Q</math>, denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms <math>X^2-2</math>, dessen Koeffizienten rational sind.
* Die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> und die [[Eulersche Zahl]] <math>e</math> sind transzendent über <math>\Q</math>. Sie sind aber algebraisch über <math>\R</math>, weil sie als reelle Zahlen definiert sind. Allgemeiner gilt:
* Jedes Element <math>a</math> des Körpers <math>K</math> ist algebraisch über <math>K</math>, denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms <math>X-a</math>.
* Jede [[komplexe Zahl]], die sich durch rationale Zahlen, die [[Grundrechenart]]en ([[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]]) sowie durch [[Wurzelziehen]] (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über <math>\Q</math>.
* Aus der [[Galoistheorie]] folgt aber, dass es umgekehrt über <math>\Q</math> algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den [[Satz von Abel-Ruffini]].
* Über dem Körper <math>\Q_p</math> der [[p-adische Zahlen|p-adischen Zahlen]] ist <math>e</math> (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für <math>p > 2</math> ist <math>e^p</math> und für <math>p = 2</math> ist <math>e^4</math> in <math>\Q_p</math> enthalten.
* Bildet man zu einem beliebigen Körper <math>K</math> den Körper der [[Formale Potenzreihe#Formale Laurent-Reihe|formalen Laurentreihen]] <math>K((X))</math>, so ist die formale Variable <math>X</math> ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

== Eigenschaften ==

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element <math>a</math> aus <math>L</math> (einem Oberkörper von <math>K</math>):<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra II.'' Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.3.3 und Satz 6.3.4.</ref>
* <math>a</math> ist algebraisch über <math>K</math>.
* Die Körpererweiterung <math>K(a)/K</math> hat endlichen [[Körpererweiterung#Erweiterungsgrad|Grad]], d. h., <math>K(a)</math> ist als <math>K</math>-Vektorraum endlichdimensional.
* <math>K(a)=K[a]</math>
Dabei ist <math>K[a]</math> die [[Ringadjunktion]] von <math>a</math> an <math>K</math>, die aus allen Elementen von <math>L</math> besteht, die sich als <math>g(a)</math> mit einem Polynom <math>g</math> über <math>K</math> schreiben lassen. <math>K(a)</math> ist dessen [[Quotientenkörper]] in <math>L</math> und besteht aus allen Elementen von <math>L</math>, die sich als <math>g(a)/h(a)</math> mit Polynomen <math>g</math> und <math>h</math> über <math>K</math> (<math>h(a)</math> ungleich dem Nullpolynom) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über <math>K</math> algebraischen Elementen wieder algebraisch über <math>K</math> sind. Die Menge aller über <math>K</math> algebraischen Elemente von <math>L</math> bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung <math>L/K</math>, den sogenannten ''algebraischen Abschluss in <math>L</math>.'' Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschluss]] von <math>K</math>.

== Minimalpolynom ==
{{Hauptartikel|Minimalpolynom (Körpertheorie)}}

Ist <math>a</math> algebraisch über <math>K</math>, dann gibt es genau ein normiertes Polynom aus <math>K[X]</math> mit kleinstem [[Grad (Polynom)|Grad]] <math>n \in \N</math> und Nullstelle <math>a</math>, dieses heißt „das [[Minimalpolynom]] von <math>a</math> über <math>K</math>“. Man bezeichnet <math>a</math> auch als algebraisches Element vom Grad <math>n</math> bezüglich <math>K</math>. <math>K(a)</math> hat als Vektorraum über <math>K</math> die Dimension <math>n</math>, eine mögliche Basis ist <math>\{1, a, a^2, \dotsc, a^{n-1}\}</math>. Also ist der Erweiterungsgrad von <math>K(a)/K</math> ebenfalls gleich <math>n</math>.<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra II.'' Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 6.3.</ref>

== Beispiel ==
<math>a = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> ist ein algebraisches Element vom Grad 4 über <math>\Q</math>, denn aus
: <math>a^2 = 5 + 2\sqrt{6}</math>
: <math>a^3 = 11\sqrt{2} + 9 \sqrt{3}</math>
: <math>a^4 = 49 + 20\sqrt{6}</math>
ergibt sich das Minimalpolynom
: <math>X^4 - 10X^2 + 1</math>,
also ein Polynom 4. Grades. Damit ist <math>\{1, a, a^2, a^3\}</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\Q\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)</math> als [[Vektorraum]] über <math>\Q</math>. Eine andere mögliche Basis ist <math>\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}</math>, d. h.,
:<math>\Q\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right) = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} \mid a,b,c,d \in \Q\}</math>
und <math>\Q\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)/\Q</math> ist eine Körpererweiterung vom Grad 4.

== Verallgemeinerung ==

In [[Ring (Algebra)#Unter- und Oberring|Ringerweiterungen]] kann der Begriff des [[Ganzes Element|ganzen Elementes]] definiert werden. Fasst man eine Körpererweiterung als Ringerweiterung auf, so ist ein Element dort genau dann ganz, wenn es ein algebraisches Element der Körpererweiterung ist.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Körpertheorie]]

Algebraisches Element - Versionsgeschichte

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