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Als '''algebraische''' oder '''symbolische Integration''' oder '''Quadratur''' bezeichnet man in der [[Mathematik]] die Berechnung von [[Integralrechnung|Integralen]] durch exakte [[Term#Algebraische Umformungen|Termumformungen]], im Gegensatz zur approximativen [[Numerische Quadratur|numerischen Quadratur]].

Die algebraische Integration gehört zu den wichtigsten Anwendungsfällen von [[Computeralgebrasystem]]en. Diesen Programmen werden Funktionen zur Bestimmung einer [[Stammfunktion]] implementiert. Die wichtigsten Regeln sind hier die [[Substitutionsregel]] und die [[partielle Integration]]. Jedoch gelangt man bei diesen Techniken auch schnell an die Grenzen ihrer Einsetzbarkeit. So besitzt die Funktion <math>\textstyle \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)</math> keine geschlossene Darstellung ihrer Stammfunktion. Für diese Fälle gibt es auch die Techniken der [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]] und des [[Residuensatz]]es, welche auch von modernen Computeralgebrasystemen beherrscht werden. Außerdem verwenden Computeralgebrasysteme sogenannte Fehler-Funktionen, bspw. die [[Fehlerfunktion|Gaußsche Fehlerfunktion]], zur Bildung von Stammfunktionen, welche keine geschlossene Darstellung haben.<ref>Wolfram: [http://mathworld.wolfram.com/Erf.html Erf]; abgerufen am 27. April 2010</ref>

Es existiert ein Verfahren, genannt [[Robert Risch (Mathematiker)|Risch-Algorithmus]], welches für viele Klassen von Integranden entscheiden kann, ob ein Integral existiert, und dieses dann bestimmt. Derartige [[Algorithmus|Algorithmen]] werden immer noch weiterentwickelt, denn der Risch-Algorithmus ist auf unbestimmte Integrale beschränkt. Die weit überwiegende Mehrzahl der für Physiker, theoretische Chemiker und Ingenieure interessanten Integrale sind jedoch bestimmte Integrale, oft mit Bezug zur [[Laplace-Transformation]], [[Fourier-Transformation]] oder [[Mellin-Transformation]]. Eine Alternative zum Risch-Algorithmus verwendet eine Kombination aus Computeralgebrasystem und [[Mustererkennung]] sowie die Kenntnisse über spezielle Funktionen, insbesondere die unvollständige Gamma-Funktion<ref>K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore und T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165, {{DOI|10.1007/BF01810298}}</ref>. Obwohl dieser Weg eher [[Heuristik|heuristisch]] als algorithmisch ist, stellt er doch eine effektive Methode zur Berechnung bestimmter Integrale dar, insbesondere solcher die in der Praxis des Ingenieurwesens auftreten. Diese Methode wurde erstmals von den Entwicklern des Computeralgebrasystems [[Maple (Software)|Maple]]<ref>K.O. Geddes and T.C. Scott, ''Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms'', Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (held at MIT June 12, 1989), edited by E. Kaltofen and S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192–201. siehe http://portal.acm.org/citation.cfm?id=93094</ref> implementiert, und später von Systemen wie [[Mathematica]], [[MuPAD]] und anderen übernommen.

== Beispiel ==
Mit Hilfe der Polynomfunktion <math>x^2</math> wird ein einfaches Beispiel gegeben. So ist
:<math>\int x^2\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} + C</math>
das symbolische Resultat für das unbestimmte Integral, wobei <math>C</math> eine Integrationskonstante ist. Für das bestimmte Integral
:<math>\int_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{2}{3} = 0{,}6666\ldots</math>
ist der symbolische Wert <math>\tfrac{2}{3}</math> und der numerische ist 0,6666…. Dabei ist die Anzahl der Nachkommastellen unendlich.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Algebraische Integration - Versionsgeschichte

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