2001:4BB8:2C0:8984:DCDA:6402:A3AE:76CD: /* Allgemeine Lösungsmethode für algebraische Gleichungen beliebigen Grades */

2025-06-29T07:48:59Z

Allgemeine Lösungsmethode für algebraische Gleichungen beliebigen Grades

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Die Bestimmung der [[Nullstellenmenge|Nullstellen]] eines [[Polynom|Polynoms]] – ein klassisches Problem der [[Algebra]] – führt zu einer '''algebraischen Gleichung''', auch ''Polynomgleichung'' oder ''polynomiale Gleichung'' genannt. Mit ihrer Lösung beschäftigten sich Mathematiker wie [[Niccolò Tartaglia|Tartaglia]], [[Gerolamo Cardano|Cardano]], [[Lodovico Ferrari|Ferrari]], [[Paolo Ruffini (Mathematiker)|Ruffini]], [[Niels Henrik Abel|Abel]], [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] und [[Évariste Galois|Galois]].

== Definition ==
Eine ''algebraische Gleichung'' vom Grad <math>n</math> <math>(n \in \N)</math> über einem [[Ringtheorie|Ring]] oder [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist eine Gleichung
:<math>P(x) = 0</math>,
wobei <math>P</math> ein [[Polynom]] <math>n</math>-ten Grades über <math>K</math> ist, also eine Gleichung der Form
:<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_1x + a_0 = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i = 0</math>
mit [[Koeffizient]]en <math>a_i</math> aus <math>K</math> und <math>a_n \neq 0.</math><ref>Chr. Karpfinger, K. Meyberg: ''Algebra. Gruppe – Ringe – Körper.'' Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-54721-2, Kapitel 30.</ref>

== Lösung ==
*Die Nullstellen von Polynomen werden auch als ''Wurzeln des Polynoms'' bezeichnet.

*Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt [[algebraische Zahl]], bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen [[Algebraisches Element|algebraische Elemente]]. Die Lösungen liegen im Körper selbst oder einem [[Körpererweiterung|Erweiterungskörper]], der durch eine [[algebraische Erweiterung]] – nämlich die [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] aller Lösungen – aus dem ursprünglichen Körper hervorgeht.

*Jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen vom Grad <math>n</math> mit komplexen Koeffizienten hat genau <math>n</math> komplexe Lösungen – mit Vielfachheit gezählt ''([[Fundamentalsatz der Algebra]]).''

*Für die algebraischen Gleichungen über den komplexen Zahlen 2., 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln (siehe [[quadratische Gleichung]], [[kubische Gleichung]], [[quartische Gleichung]]). Die allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades sind nicht durch [[Radikal (Mathematik)|Radikale]] auflösbar ''([[Satz von Abel-Ruffini]]).'' Die Frage, welche speziellen Gleichungen 5. oder höheren Grades durch Radikale auflösbar sind, wird im Rahmen der [[Galoistheorie]] beantwortet.

== Allgemeine Lösungsmethode für algebraische Gleichungen beliebigen Grades ==
Im Jahr 2024 stellten [[N. J. Wildberger]] und [[Dean Rubine]] eine neue allgemeine Lösungsmethode für algebraische Gleichungen beliebigen Grades vor, die auf sogenannten [[Hyper-Catalan-Zahl]]en beruht. Diese Methode liefert eine [[formale Potenzreihe]]nlösung für jede Polynomgleichung in einer oder mehreren Variablen und vermeidet dabei vollständig den klassischen Lösungsansatz mittels Radikalen. Diese Potenzreihenlösung basiert auf einer algebraisch-kombinatorischen Struktur, die als „Geode“ bezeichnet wird, einer speziellen Anordnung von Hyper-Catalan-Zahlen. Diese Zahlen verallgemeinern die klassischen [[Catalan-Zahlen]], die bei der Lösung quadratischer Gleichungen auftreten, auf höhere Grade und stehen in enger Verbindung zur kombinatorischen Geometrie.<ref>N. J. Wildberger, Dean Rubine: ''A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode''. In: ''The American Mathematical Monthly'', Band 132, Nr. 5, 2025, S. 383–402, [[DOI:10.1080/00029890.2025.2460966]].</ref> Die formale Potenzreihe [[Formale Potenzreihe#In mehreren Unbestimmten|in den ''n'' − 1 Unbestimmten]] <math>a_2, a_3, a_4, \dotsc, a_n</math>
:<math>x := \sum_{m_2, m_3, m_4, \dotsc, m_n \ge 0} \frac{(2m_2 + 3m_3 + 4m_4 + \dotsb + nm_n)!}{(1 + m_2 + 2m_3 + 3m_4 + \dotsb + (n-1)m_n)! \, m_2! \, m_3! \, m_4! \dotsb m_n!} a_2^{m_2} a_3^{m_3} a_4^{m_4} \dotsb a_n^{m_n}</math>
löst die algebraische Gleichung <math>\sum_{i=0}^{n} a_ix^i = 0</math> mit <math>a_0 =1,</math> <math>a_1 = -1</math> und <math>a_n \ne 0</math>, also die Gleichung <math>n</math>-ten Grades
:<math>1 - x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + \dotsb + a_nx^n = 0.</math>

== Siehe auch ==
* [[Transzendente Zahl]]
* [[Differential-algebraische Gleichung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Chr. Karpfinger, K. Meyberg
|Titel=Algebra. Gruppe – Ringe – Körper
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin
|Datum=2017
|ISBN=978-3-662-54721-2}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematik: Algebra}}
* Universität Frankfurt: {{Toter Link |url=https://durus.gcsc.uni-frankfurt.de/~dlogashenko/dload/de_equat34.pdf |date=2025-03-20 |text=''Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades.''}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Algebraische Gleichung - Versionsgeschichte

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