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Die '''algebraische Geometrie''' ist ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]], das die [[abstrakte Algebra]], insbesondere das Studium von kommutativen [[Ring (Algebra)|Ringen]], mit der [[Geometrie]] verknüpft.
Sie lässt sich kurz als das Studium der [[Nullstelle]]ngebilde [[Algebraische Gleichung|algebraischer Gleichungen]] beschreiben.

== Geometrische Strukturen als Menge von Nullstellen ==
[[Datei:Slanted_circle.png|thumb|200px|rechts|Sphäre und der „gekippte“ Kreis]]
In der algebraischen Geometrie werden geometrische Strukturen als Menge von Nullstellen einer Menge von [[Polynom]]en definiert. Zum Beispiel lässt sich die zweidimensionale [[Sphäre (Mathematik)|Einheitssphäre]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^3</math> als die Menge aller Punkte <math>(x,y,z)</math> definieren, für die gilt:
: <math>x^2+y^2+z^2-1=0</math>.
Ein „gekippter“ Kreis im <math>\R^3</math> kann definiert werden als die Menge aller Punkte <math>(x,y,z)</math>, die folgende zwei Polynombedingungen erfüllen:
: <math>x^2+y^2+z^2-1=0,</math>
: <math>x+y+z=0.</math>

== Affine Varietäten ==
{{Hauptartikel|Algebraische Varietät}}
Ist allgemein <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]] und <math>S</math> eine Menge von Polynomen in <math>n</math> Variablen mit Koeffizienten in <math>K</math>, dann ist die Nullstellenmenge <math>V(S)</math> definiert als diejenige [[Teilmenge]] von <math>K^n</math>, die aus den gemeinsamen Nullstellen der Polynome in <math>S</math> besteht. Eine solche [[Nullstellenmenge]] wird als ''affine Varietät'' bezeichnet. Die affinen Varietäten definieren eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] auf <math>K^n</math>, die so genannte [[Zariski-Topologie]]. Als eine Konsequenz des [[Hilbertscher Basissatz|Hilbertschen Basissatzes]] kann jede Varietät durch nur endlich viele Polynomgleichungen definiert werden. Eine Varietät heißt [[Irreduzibler topologischer Raum|irreduzibel]], wenn sie nicht die Vereinigung zweier echter abgeschlossener Teilmengen ist. Es stellt sich heraus, dass eine Varietät genau dann irreduzibel ist, wenn die Polynome, die sie definieren, ein [[Primideal]] des Polynomrings erzeugen. Die Korrespondenz zwischen Varietäten und Idealen ist ein zentrales Thema der algebraischen Geometrie. Man kann geradezu ein Wörterbuch zwischen geometrischen Begriffen, wie Varietät, irreduzibel usw., und algebraischen Begriffen, wie Ideal, Primideal usw., angeben.

Zu jeder Varietät <math>V</math> kann man einen kommutativen Ring assoziieren, den so genannten ''Koordinatenring''. Er besteht aus allen Polynomfunktionen, die auf der Varietät definiert sind. Die Primideale dieses Rings stehen in Korrespondenz zu den irreduziblen Untervarietäten von <math>V</math>; wenn <math>K</math> [[algebraisch abgeschlossen]] ist, was üblicherweise angenommen wird, dann entsprechen die Punkte von <math>V</math> den maximalen Idealen des Koordinatenrings ([[Hilbertscher Nullstellensatz]]).

== Projektiver Raum ==
Statt im affinen Raum <math>K^n</math> zu arbeiten, geht man typischerweise zum [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] über. Der Hauptvorteil besteht dabei darin, dass sich die Anzahl der Schnittpunkte zweier Varietäten dann leicht mit Hilfe des [[Satz von Bézout|Satzes von Bézout]] bestimmen lässt.

In der modernen Sicht wird die Korrespondenz zwischen Varietäten und ihren Koordinatenringen umgekehrt: Man geht von einem beliebigen kommutativen Ring aus und definiert eine dazugehörende Varietät mithilfe ihrer Primideale. Aus den Primidealen wird zunächst ein [[topologischer Raum]] konstruiert, das [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] des Rings. In der allgemeinsten Formulierung führt dies zu [[Alexander Grothendieck]]s [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]].

Eine wichtige Klasse von Varietäten sind die [[Abelsche Varietät|abelschen Varietäten]]. Dies sind [[projektive Varietät]]en, deren Punkte eine [[abelsche Gruppe]] bilden.
Die typischen Beispiele hierfür sind [[elliptische Kurve]]n, die eine wichtige Rolle im Beweis vom [[Großer fermatscher Satz|Großen Fermatschen Satz]] spielen. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet ist die [[Kryptographie]] mit elliptischen Kurven.

== Algorithmische Berechnungen ==
Während in der algebraischen Geometrie lange Zeit vor allem abstrakte Aussagen über die Struktur von Varietäten getroffen worden sind, wurden jüngst algorithmische Techniken entwickelt, die das effiziente Rechnen mit Polynomidealen erlauben. Das wichtigste Hilfsmittel sind die [[Gröbnerbasis|Gröbnerbasen]], die in den meisten heutigen [[Computeralgebrasystem]]en implementiert sind.

== Geschichtlicher Überblick ==
Die algebraische Geometrie wurde in weiten Teilen von den italienischen Geometern des frühen zwanzigsten Jahrhundert entwickelt. Ihre Arbeit war tiefgreifend, stand aber nicht auf einer ausreichend strengen Basis. Die [[kommutative Algebra]] (als das Studium kommutativer Ringe und ihrer Ideale) wurde von
[[David Hilbert]], [[Emmy Noether]] und anderen ebenfalls zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts entwickelt. Dabei hatten sie bereits die geometrischen Anwendungen im Sinn. In den 1930ern und 1940ern stellte [[André Weil]] fest, dass die algebraische Geometrie auf eine strenge Basis gestellt werden musste, und entwickelte eine entsprechende Theorie. In den 1950ern und 1960ern überarbeiteten [[Jean-Pierre Serre]] und speziell [[Alexander Grothendieck]] diese Grundlagen unter der Verwendung von [[Garbe (Mathematik)|Garben]] und später unter der Verwendung der [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]]. Heute gibt es viele recht unterschiedliche Teilgebiete der algebraischen Geometrie, auf der einen Seite die abstrakte Theorie in der Nachfolge von Grothendieck, auf der anderen Seite Gebiete, in denen [[Kombinatorik]] und [[Diskrete Mathematik]] zum Einsatz kommen, wie etwa die [[torische Geometrie]] oder die [[tropische Geometrie]].

== Beispiele affiner Varietäten ==
* [[Kegelschnitt]]
** [[Kreis (Geometrie)|Kreis]]
** [[Ellipse]]
** [[Parabel (Mathematik)|Parabel]]
** [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]
* Nullstellenmengen von Polynomen dritter Ordnung
** [[Kartesisches Blatt]]
** [[Zissoide]]
** [[Strophoide]]
* Nullstellenmengen von Polynomen vierter Ordnung
** [[Konchoide]]
** [[Pascalsche Schnecke]]

== Literatur ==
* Jürgen Böhm: ''Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie.'' Springer Spektrum, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-59481-0.
* Karl-Heinz Fieseler, Ludger Kaup: ''Algebraische Geometrie. Grundlagen.'' [[Heldermann Verlag]], Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3.
* [[Alexander Grothendieck]]: ''Eléments de géométrie algébrique.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1971, ISBN 0-387-05113-9.
* [[Robin Hartshorne]]: ''Algebraic Geometry.'' Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9.
* [[Klaus Hulek]]: ''Elementare Algebraische Geometrie.'' Vieweg/Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9
* [[Ernst Kunz (Mathematiker)|Ernst Kunz]]: ''Einführung in die algebraische Geometrie.'' Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.
* [[Igor Shafarevich]]: ''Basic algebraic geometry.'' Springer-Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-540-54812-2.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Algebraic geometry|Algebraische Geometrie|video=0}}
{{Wikiversity|Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück_2017-2018)|Eine Vorlesung über algebraische Kurven}}
* [http://www.algebraicsurface.net/ Septik mit 99 Doppelpunkten] (englisch)
* [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2987 Dieudonne ''The historical development of algebraic geometry'', American Mathematical Monthly 1982]
* [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2964 Abhyankar ''Historical Ramblings in Algebraic Geometry and Related Algebra'', American Mathematical Monthly 1976]

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Algebraische Geometrie - Versionsgeschichte

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