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2021-05-16T14:17:11Z

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'''Algebraische Funktionen''' sind eine spezielle Klasse von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die insbesondere in dem [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebra]] untersucht wird. Sie sind die Lösung einer [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichung]]. Funktionen, die nicht algebraisch sind, werden '''transzendente Funktionen''' genannt.

Die Theorie der algebraischen Funktionen wurde in der Vergangenheit von den drei mathematischen Teilgebieten [[Funktionentheorie]], [[arithmetische algebraische Geometrie]] und [[algebraische Geometrie]] aus entwickelt.

== Definition ==
Eine Funktion <math>y = f(x_1, \dotsc, x_n)</math> in <math>n</math> Variablen wird algebraische Funktion genannt, falls es ein [[irreduzibles Polynom]] <math>P</math> in <math>n+1</math> Variablen und Koeffizienten in einem [[Körper (Algebra)|Körper]] gibt, so dass <math>f</math> die [[algebraische Gleichung]]
:<math>P(f(x_1, \dotsc, x_n),x_1, \dotsc, x_n) = 0</math>
löst.

Eine Funktion <math>y = f(x)</math> von einer Variablen ist also algebraisch, falls sie die Gleichung
:<math>P_n(x)y^n + \dotsb + P_1(x)y + P_0(x) = 0</math>
erfüllt, wobei <math>P_1, \dotsc, P_n</math> Polynome in der Variable <math>x</math> sind.<ref name="Naas">[[Josef Naas]], [[Hermann Ludwig Schmid]]: ''Mathematisches Wörterbuch. Mit Einbeziehung der theoretischen Physik.'' Band 1: ''A – K.'' 3. Auflage, unveränderter Nachdruck. Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1979, ISBN 3-519-02400-4.</ref>

== Eigenschaften ==
* Da in der Definition gefordert wurde, dass die Polynome irreduzibel sind, kann bewiesen werden, dass es zu jeder algebraischen Funktion <math>y = f(x_1, \dotsc, x_n)</math> bis auf eine Konstante genau ein irreduzibles Polynom <math>P</math> gibt mit <math>P(y,x_1, \dotsc, x_n) = 0</math>. Der [[Grad (Polynom)|Grad]] des Polynoms <math>P</math> in der Variablen <math>y</math> wird dann der Grad der algebraischen Funktion genannt.
* Für den Grad <math>1</math> können alle algebraischen Funktionen als [[rationale Funktion]]en und für die Grade <math>2</math>, <math>3</math> und <math>4</math> können sie alle als [[Quadratwurzel|Quadrat-]] oder [[Kubikwurzel]] einer rationalen Funktion dargestellt werden. Für Grade <math>k > 4</math> ist dies im Allgemeinen nicht möglich.
* Algebraische Funktionen einer Variablen über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\Complex</math> sind [[Meromorphe Funktion|meromorph]].

== Beispiele ==
* [[Potenzfunktion]]en <math>y = x^r</math> mit rationalem Exponenten <math>r</math>.
* [[Polynom]]-Funktionen
* Rationale Funktionen beziehungsweise [[gebrochen-rationale Funktion]]en
* [[Wurzelfunktion]]

== Transzendente Funktionen ==
Eine Funktion wird ''transzendent'' genannt, falls sie nicht algebraisch ist. Hierzu zählen zum Beispiel
* die [[Exponentialfunktion]]
* die [[Logarithmus]]funktion
* Kreis- und Hyperbelfunktionen
** [[Trigonometrische Funktion]]
** [[Hyperbelfunktion]]
** [[Arkusfunktion]]
** [[Areafunktion]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld
| id = AlgebraicFunction
| title = Algebraic Function
| author =
}}
* {{EoM
| Autor = Zhizhchenko
| Titel = Algebraic function
| Url = https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_function
| id =
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Algebraische Funktion - Versionsgeschichte

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