imported>Thalenor: Beleg

2025-11-30T16:40:17Z

Beleg

Neue Seite

In der [[Mathematik]] ist '''(Mengen-)Algebra''' ein Grundbegriff der [[Maßtheorie]]. Er beschreibt ein nichtleeres [[Mengensystem]], das [[Mengenlehre#Vereinigungsmenge|vereinigungs-]] und [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|komplement]]stabil ist.

Auch das Teilgebiet der [[Mathematik]], das vom Rechnen mit [[Menge (Mathematik)|Mengen]] handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff [[Algebra]], der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine [[Algebra über einem Körper|spezielle algebraische Struktur]] benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der [[boolesche Algebra|booleschen Algebra]], also einer anderen speziellen [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]].

== Definition ==
Ein [[Mengensystem|System]] <math>\mathcal A</math> von Teilmengen einer beliebigen Menge <math>\Omega</math> heißt eine ''Mengenalgebra'' oder ''Algebra über <math>\Omega</math>'', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
# <math>\mathcal A \neq \emptyset</math>   (<math>\mathcal A</math> ist nicht leer),
# <math>A, B\in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A</math>   (Stabilität/[[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]] bezüglich [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]]) und
# <math>A\in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A</math>   (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich [[Komplement (Mengenlehre)|Komplementbildung]] <math>A^{\mathrm c} = \Omega \setminus A</math>).<ref name="Universität-Leipzig">{{Internetquelle |autor=Wolfgang König |url=https://www.math.uni-leipzig.de/fachschaft/alt/dateien/skripte/MIT-koenig.pdf |titel=Mass- und Integrationstheorie |abruf=2025-11-16}}</ref>

== Beispiele ==
* Für jede beliebige Menge <math>\Omega</math> ist <math>\{\emptyset, \Omega\}</math> die kleinste und die [[Potenzmenge]] <math>\mathcal P(\Omega)</math> die größte mögliche Mengenalgebra.
* Jede [[σ-Algebra]] ist eine Mengenalgebra.
* Für jede Menge <math>\Omega</math> ist das Mengensystem <math>\mathcal A = \{A\subseteq\Omega\mid A\ \mathrm{endlich\ oder}\ A^{\mathsf c}\ \mathrm{endlich}\}</math> eine Mengenalgebra. Wenn <math>\Omega</math> unendlich ist, dann ist <math>\mathcal A</math> keine σ-Algebra.

== Eigenschaften ==

* Jede Mengenalgebra <math>\mathcal A</math> über <math>\Omega</math> enthält immer <math>\Omega</math> und auch die [[leere Menge]] <math>\emptyset</math>, denn <math>\mathcal A</math> enthält mindestens ein Element <math>A</math> und damit sind <math>\Omega = A \cup (\Omega \setminus A) = A \cup A^{\mathrm c} \in \mathcal A</math> sowie <math>\emptyset = \Omega \setminus \Omega = \Omega^{\mathrm c} \in \mathcal A.</math>
* Das 6-[[Tupel]] <math>(\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c})</math> mit der Mengenalgebra <math>\mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega)</math> ist eine [[boolesche Algebra]] im Sinne der [[Verbandstheorie]], wobei <math>A \cap B = (A^{\mathrm c} \cup B^{\mathrm c})^{\mathrm c} \in \mathcal A</math> für alle <math>A,B \in \mathcal A</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich [[Mengenlehre#Schnittmenge|Durchschnitt]]). Die leere Menge <math>\emptyset</math> entspricht dabei dem [[Nullelement]] und <math>\Omega</math> dem [[Einselement]].
: Ist umgekehrt <math>\mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega)</math> ein Mengensystem, so dass <math>(\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c})</math> eine boolesche Algebra ist, dann ist <math>\mathcal A</math> offensichtlich auch eine Mengenalgebra.
* Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils [[Vollständige Induktion|induktiv]], dass auch jede endliche Vereinigung und jeder endliche Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra <math>\mathcal A</math> in ihr enthalten ist, das heißt für alle <math>n \in \mathbb N</math> gilt:
: <math>A_1, \dots, A_n \in \mathcal A \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal A</math> und <math>A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal A</math>.
: Außerdem gilt <math>\textstyle \bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal A</math>.<ref name="Universität-Leipzig"></ref>

== Äquivalente Definitionen ==
Wenn <math>\mathcal A</math> ein System von Teilmengen von <math>\Omega</math> ist und wenn <math>A,B</math> Mengen sind, dann sind wegen <math>A \cap B = A \setminus (A \setminus B)</math> und <math>A \setminus B = A \setminus (A \cap B)</math> folgende zwei Aussagen [[Logische Äquivalenz|äquivalent]]:
* <math>A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A.</math>
* <math>A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cap B \in \mathcal A</math> und im Falle <math>B \subseteq A</math> auch <math>A \setminus B \in \mathcal A.</math>

Bezeichnet darüber hinaus <math>A \mathbin{\triangle} B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)</math> die [[symmetrische Differenz]] von <math>A</math> und <math>B,</math> so sind wegen <math>A \setminus B = A \cap B^{\mathrm c}</math> und <math>A \setminus B = A \mathbin{\triangle} (A \cap B)</math> sowie <math>A \cup B = (A^{\mathrm c} \cap B^{\mathrm c})^{\mathrm c}</math> äquivalent:
* <math>\mathcal A</math> ist eine Mengenalgebra.
* <math>\mathcal A</math> ist ein [[Mengenverband]] und es gilt: <math>A\in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A</math>.
* <math>(\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c})</math> ist eine boolesche Algebra.
* <math>\mathcal A</math> ist ein [[Ring (Mengensystem)|Mengenring]] und <math>\Omega \in \mathcal A</math>.
* <math>\mathcal A</math> ist ein [[Halbring (Mengensystem)|Mengenhalbring]] mit <math>\Omega \in \mathcal A</math>, und es gilt: <math>A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A</math>.
* <math>(\mathcal A, \triangle, \cap, \Omega)</math> ist ein [[Ringtheorie|unitärer Ring im Sinne der Algebra]] mit Addition <math>\triangle,</math> Multiplikation <math>\cap</math> und Eins <math>\Omega</math>.
* <math>(\mathcal A, \triangle, \cap, \Omega)</math> ist ein [[Boolesche Algebra#Boolesche Ringe|boolescher Ring]].
* <math>(\mathcal A, \triangle, \odot, \cap, \Omega)</math> mit der [[Skalarmultiplikation]] <math>\odot\colon \mathbb{F}_2 \times \mathcal A \to \mathcal A, (0, A) \mapsto \emptyset, (1, A) \mapsto A,</math> ist eine unitäre [[Algebra über einem Körper|Algebra]] im Sinne der Algebra über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] [[endlicher Körper|<math>\mathbb{F}_2</math>]].
* <math>\Omega \in \mathcal A</math> und es gilt: <math>A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A</math>.
* <math>\mathcal A \neq \emptyset</math> und es gilt: <math>A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A</math> und <math>A^{\mathrm c} \in \mathcal A</math>.
* <math>\mathcal A \neq \emptyset</math> und es gilt: <math>A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cap B \in \mathcal A</math> und <math>A^{\mathrm c} \in \mathcal A</math>.

== Operationen mit Algebren ==
=== Schnitte von Algebren ===
Schnitte von zwei Algebren <math> \mathcal A_1 </math> und <math> \mathcal A_2 </math>, also das Mengensystem
:<math> \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 = \{ A \subseteq \Omega \; | \; A \in \mathcal A_1 \text{ und } A \in \mathcal A_2 \} </math>

sind stets wieder eine Algebra. Denn ist exemplarisch <math> A \in \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 </math>, so ist
* <math> \mathcal \Omega \setminus A </math> in <math> \mathcal A_1 </math>, da <math> A </math> auch in <math> \mathcal A_1 </math> ist.
* <math> \mathcal \Omega \setminus A </math> in <math> \mathcal A_2 </math>, da <math> A </math> auch in <math> \mathcal A_2 </math> ist.

Somit ist <math> \mathcal \Omega \setminus A </math> auch in <math> \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 </math>, der Schnitt der Mengensysteme ist also komplementstabil. Die Stabilität bezüglich der anderen Mengenoperationen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von Algebren, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser Algebren ausweiten lässt. Somit gilt: Ist <math> I </math> eine beliebige [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] und sind <math> \mathcal A_i </math> Algebren, die alle auf derselben Grundmenge <math> \Omega </math> definiert sind, so ist der Schnitt aller dieser Algebren wieder eine Algebra <math> \mathcal{A}_I </math>:
:<math> A_I:=\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i </math>.<ref name="Universität-Leipzig"></ref>

=== Vereinigungen von Algebren ===
Die Vereinigung zweier Algebren <math> \mathcal A_1 </math> und <math> \mathcal A_2 </math>, also das Mengensystem
:<math> \mathcal A_1 \cup \mathcal A_2 = \{ A \subseteq \Omega \; | \; A \in \mathcal A_1 \text{ oder } A \in \mathcal A_2 \} </math>

ist im Allgemeinen keine Algebra mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden Algebren
:<math> \mathcal A_1 = \{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1\}, \{2,3\}\} </math>

sowie
:<math> \mathcal A_2 = \{\emptyset, \{1,2,3\}, \{3\}, \{1,2\}\} </math>

auf <math> \Omega= \{1,2,3\} </math>, so ist
:<math> \mathcal A_1 \cup \mathcal A_2 = \{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1\}, \{3\}\} </math>.

Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es <math> \{1\} \cup \{3\} = \{1,3\} </math> nicht enthält, und somit auch keine Algebra.<ref name="Universität-Leipzig"></ref>

=== Produkte von Algebren ===
{{Belege|Die Definition von <math>\mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2</math> ist unbelegt und unvollständig. Siehe auch Diskussion.|Dieser Abschnitt}}
Sind <math> \mathcal M_1 </math> und <math> \mathcal M_2 </math> Mengensysteme auf <math> \Omega_1 </math> und <math> \Omega_2 </math> und wird das Produkt von <math> \mathcal M_1 </math> und <math> \mathcal M_2 </math> definiert als
:<math> \mathcal M_1 \star \mathcal M_2 := \{ A \times B \subseteq \Omega_1 \times \Omega_2 \; | \; A \in \mathcal M_1, \; B \in \mathcal M_2\} </math>,

so ist das Produkt von zwei Algebren im Allgemeinen keine Algebra (auf <math> \Omega_1 \times \Omega_2 </math>) mehr, sondern lediglich ein [[Halbring (Mengensystem)|Halbring]]. Denn betrachtet man die Algebra
:<math> \mathcal A = \{ \emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\}\} </math>

über <math> \Omega= \{1,2\} </math>, so enthält das Mengensystem <math> \mathcal A \star \mathcal A </math> sowohl die Mengen
:<math>M_1= \{1,2\} \times \{1,2\}= \{ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\} </math> als auch <math>M_2= \{2\} \times \{2\}= \{(2,2)\} </math>.

Die Menge
:<math> M_1 \setminus M_2 = M_2^{\mathrm c}=\{ (1,1),(1,2),(2,1)\} </math>

ist jedoch nicht in <math> \mathcal A \star \mathcal A </math> enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus <math> \mathcal A </math> darstellen lässt. Somit ist das Produkt der Mengensysteme nicht komplementstabil, kann folglich auch keine Algebra sein.

Definiert man das Produkt von zwei Mengensystemen jedoch als
:<math> \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2:=\Biggl\{ \bigcup_{i=1}^nA_i \times B_i \, \Bigg| \, A_i \in \mathcal M_1 , B_i \in \mathcal M_2 \Biggl\} </math>,
so ist das Produkt zweier Algebren wieder eine Algebra. Sie wird unter anderem auch dazu verwendet, die [[Produkt-σ-Algebra]] zu definieren.

Zu beachten ist, dass <math>\mathcal M_1 \star \mathcal M_2</math> hier nicht das gewöhnliche [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>\mathcal M_1 \times \mathcal M_2 = \{ (A,B) \mid A \in \mathcal{M}_1, B \in \mathcal{M}_2\}</math>, sondern ein Mengensystem kartesischer Produkte <math>A\times B</math> bezeichnet.

In der Maß- und [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] wird die vom Mengensystem <math>\mathcal M_1 \star \mathcal M_2</math> [[Σ-Algebra#σ-Operator |erzeugte <math>\sigma</math>-Algebra]] <math>\sigma(\mathcal M_1 \star \mathcal M_2)</math> benötigt, die meistens mit <math>\mathcal M_1 \otimes \mathcal M_2</math> bezeichnet wird und [[Produkt-σ-Algebra]] genannt wird.<ref>{{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=Achte, erweiterte und aktualisierte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort= Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57938-1 |DOI=10.1007/978-3-662-57939-8 |Seiten=164}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Olav Kallenberg]] |Titel=Foundations of Modern Probability |Reihe=Probability Theory and Stochastic Modelling |BandReihe=99 |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2021 |ISBN=978-3-030-61870-4 |DOI=10.1007/978-3-030-61871-1 |Seiten=2}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6 |Seiten=39}}</ref>

=== Abweichende Notationen ===
Abweichend von dieser Notation wird die Produkt-σ-Algebra <math>\mathcal M_1 \otimes \mathcal M_2</math> auch mit <math>\mathcal M_1 \times \mathcal M_2</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Probability and Measure |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1995 |ISBN=0-471-00710-2 |Seiten=231}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52206-7 |DOI=10.1007/978-3-319-52207-4 |Seiten=25}}</ref><ref>{{Literatur |Herausgeber= P. H. Müller |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |TitelErg = Produktmaß |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage = 5 |ISBN=978-3-05-500608-1|Seiten=310}}</ref> Auch wird manchmal das Mengensystem <math> \mathcal M_1 \star \mathcal M_2</math> in abweichender Notation mit <math> \mathcal M_1 \times \mathcal M_2</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Fundstelle=S. 158}}</ref> In diesen beiden Fällen besteht eine Verwechselungsmöglichkeit mit dem gewöhnlichen kartesischen Produkt.

=== Spur einer Algebra ===
Die [[Spur eines Mengensystems|Spur einer Algebra]] <math> \mathcal A </math> bezüglich einer Menge <math> U </math>, also das Mengensystem
:<math> \mathcal A|_U:= \{ A \cap U \; | \; A \in \mathcal A \} </math>,

ist immer eine Algebra, unabhängig von der Wahl von <math> U </math>.

== Die erzeugte Algebra ==
Da beliebige Schnitte von Algebren wieder Algebren sind, lässt sich der [[Hüllenoperator]]
:<math> \mathcal A (\mathcal E):= \bigcap_{\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}_i\atop \mathcal{A}_i\text{ Algebra}}\mathcal{A}_i</math>

definieren. Diese Algebra ist per Definition die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste Algebra, die das Mengensystem <math> \mathcal E </math> enthält, und wird die von <math> \mathcal E </math> '''erzeugte Algebra''' genannt.<ref> Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 19. </ref>

== Beziehung zu verwandten Strukturen ==
[[Datei:LaTeX1 Kopie.png|mini|400px|Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme]]
* Die Mengenalgebren sind genau die [[Mengenring]]e, die die Grundmenge <math>\Omega</math> enthalten. Fasst man Mengenringe als [[Ringtheorie|Ring im Sinne der Algebra]] mit der symmetrischen Differenz als Addition und dem Durchschnitt als Multiplikation auf, so sind die Mengenalgebren gerade die unitären Ringe (d. h. mit Einselement) dieser Gestalt.
* Da Mengenalgebren Ringe sind, sind sie automatisch auch [[Mengenverband|Mengenverbände]] und [[Halbring (Mengensystem)|Halbringe]].
* Wenn eine Mengenalgebra sogar bezüglich der Vereinigung [[abzählbar unendlich]] vieler ihrer Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man eine [[σ-Algebra|σ-(Mengen-)Algebra]].
* Die von einer Algebra erzeugte [[monotone Klasse]] entspricht der von derselben Algebra erzeugten <math> \sigma </math>-Algebra
* Jede Algebra ist eine [[Semialgebra]] sowohl im engeren als auch im weiteren Sinn.

== Prämaße ==
Ein fundamentales Resultat ist der [[Maßerweiterungssatz von Carathéodory]], welcher sich mit [[Prämaß]]en auf Algebren und deren Fortsetzung als Maße auf σ-Algebren befasst. Sei <math>\mathcal{A}</math> eine Algebra und <math>\mu</math> ein Prämaß auf <math>\mathcal{A}</math>, dann lässt sich <math>\mu</math> auf die σ-Algebra <math>\sigma(\mathcal{A})</math> fortsetzen.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=2., überarb. |Verlag=[[De Gruyter]] |Ort=Berlin/New York |Datum=1992 |ISBN=3-11-013626-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6., korrigierte |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Ernst Henze (Mathematiker)|Ernst Henze]] |Titel=Einführung in die Maßtheorie |Auflage=2. überarb. |Verlag=[[Bibliographisches Institut]] |Ort=Mannheim/Zürich |Datum=1985 |ISBN=3-411-03102-6}}
* {{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Algebra (Mengensystem) - Versionsgeschichte

imported>Thalenor: Beleg