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2025-08-11T15:30:00Z

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'''Alexandrov-Räume''' sind [[Metrischer Raum|metrische Räume]], die in der [[Differentialgeometrie]] und in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] von wesentlicher Bedeutung sind.
Ein Alexandrov-Raum ist ein vollständiger [[Längenraum]] mit unterer Krümmungschranke und endlicher [[Hausdorff-Dimension]]. Sie sind nach [[Alexander Danilowitsch Alexandrow]] benannt.

== Definition ==
Ein metrischer Raum <math>X</math> heißt Längenraum, falls der Abstand je zweier Punkte in <math>X</math> gegeben ist durch das [[Infimum]] der Längen aller (stetigen) Kurven, die diese Punkte miteinander verbinden. Eine kürzeste [[Geodätische]] <math>\overline{xy}</math> zwischen zwei Punkten <math>x,y\in X </math> ist eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve von <math>x</math> nach <math>y</math>, deren Länge mit dem Abstand <math>|xy|</math> dieser Punkte übereinstimmt.

Ein Dreieck <math>x,y,z</math> in einem Längenraum <math>X</math> wird bestimmt durch drei Punkte <math>x,y,z\in X</math> und drei kürzeste Geodätische <math>\overline{xy},\overline{xz},\overline{yz}</math>. Bezeichnet für eine gegebene reelle Zahl <math>\kappa</math> das Symbol <math>S_\kappa</math> die zweidimensionale Fläche konstanter [[Krümmung]] <math>\kappa</math>, so versteht man unter einem <math>(\kappa -)</math> Vergleichsdreieck für ein Dreieck <math>xyz\in X</math> ein Dreieck
<math>\tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}</math> in <math>S_\kappa</math>, dessen Seitenlängen mit den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks <math>xyz</math> übereinstimmen. Vergleichsdreiecke existieren und sind für <math>\kappa\le 0</math> oder für <math>\kappa>0</math> und

<math>
|xy|+|yz|+|xz|<\frac{2\pi}{\sqrt{\kappa}}
</math>

bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Ein Längenraum <math>X</math> heißt Raum mit unterer Krümmungsschranke <math>\kappa</math>, oder kurz Raum mit <math>K\geq \kappa</math>, falls jeder Punkt <math>x\in X</math> eine Umgebung <math>U_x</math> besitzt, so dass für je vier Punkte <math>a,b,c,d\in U_x</math> die Vergleichswinkel von <math> a </math> in den entsprechenden Vergleichsdreiecken in <math>S_\kappa</math> die folgende [[Ungleichung]] erfüllen:

<math>
\tilde{\measuredangle}bac+\tilde{\measuredangle}cad+\tilde{\measuredangle}dab\le 2\pi
</math>

Ist der Längenraum <math>X</math> eine eindimensionale Mannigfaltigkeit und <math>\kappa>0</math>, so verlangt man aus Konsistenzgründen zusätzlich, dass in diesem Fall der Durchmesser den Wert <math>\frac{\pi}{\sqrt{\kappa}}</math> nicht überschreitet. Es gilt dann in Verallgemeinerung der Sätze von Toponogov und [[Satz von Bonnet-Myers|Bonnet-Myers]]:

Der Durchmesser eines vollständigen Raumes mit <math>K\geq \kappa>0</math> beträgt höchstens <math>\frac{\pi}{\sqrt{\kappa}}</math>.

Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um, erhält man die Definition eines Raumes mit oberer Krümmungsschranke <math>K\le \kappa</math>.
Ist <math> X</math> ein Raum mit <math>K\leq\kappa</math> und vollständig, so gilt die obige Ungleichung global, also für beliebige (verschiedene) Punkte <math>a,b,c,d\in X</math>.

Für [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakte]] Räume stimmt die oben gegebene Definition von <math>K\leq\kappa</math> mit der üblichen Abstandsvergleichsdefinition überein, nach der ein lokalkompakter Längenraum <math> X</math> ein Raum mit unterer Krümmungsschranke <math>\kappa</math> ist, falls jeder Punkt <math>x\in X</math> eine Umgebung <math>U_x</math> besitzt, so dass für jedes Dreieck <math> xyz</math> in <math>U_x</math> und je zwei Punkte <math>y_0\in\overline{xy},z_0\in\overline{xz}</math> die Abstandsgleichung

<math>
|y_0z_0|\leq |\tilde{y_0}\tilde{z_0}|
</math>

erfüllt ist, wobei <math>\tilde{y_0}</math> und <math>\tilde{z_0}</math> den Punkten <math>y_0</math> und <math>z_0</math> entsprechende Punkte im zum Dreieck <math>xyz</math> korrespondierenden <math>\kappa</math>-Vergleichsdreieck bezeichnen.

Erste Beispiele von Räumen mit <math>K\leq\kappa</math> sind gegeben durch [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]]en mit Schnittkrümmung <math> Sec\leq \kappa</math> sowie Quotienten von Räumen mit <math>K\leq\kappa</math> im allgemeinen metrische und/oder topologische Singularitäten auf (?).

Oftmals bezeichnet man Räume mit einer unteren Krümmungsschranke <math>K\leq \kappa</math> synonym auch als Alexandrov-Räume.

(Definition zitiert aus<ref>Wilderich Tuschmann: ''Endlichkeitssätze und positive Krümmung'' Habilitationsschrift Max-Planck-Institut für Mathematik, Leipzig 2000, S. 18–19.</ref>, s. auch Weblink)

== Besonderes ==
Jeder Punkt eines Alexandrov-Raumes besitzt eine offene Umgebung, welche zum [[Tangentialkegel]] dieses Punktes [[Homöomorphismus|homöomorph]] ist. Ferner gilt: Ein
Alexandrov-Raum besitzt eine [[Stratifikation (Mathematik)|Stratifikation]] in topologische Mannigfaltigkeiten. Die Strata der Dimension <math>l</math> bestehen aus den Punkten, deren Tangentialkegel
homöomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum <math>\mathbb{R}^k</math> einer Dimension <math>k\le l</math>.

== Literatur ==
* Jonathan Alze: {{Webarchiv |url= http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~jonathan/diplom/hdc_hyperref.pdf |wayback= 20070610184735|text=Hyperbolische Dehnchirurgie}}, Diplomarbeit 2002, mathematik.uni-muenchen.de
* Martin Weilandt: ''Isospectral Alexandrov Spaces.'' ([https://arxiv.org/abs/1103.2568 online])

== Weblinks ==
* https://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-0900.pdf.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Metrischer Raum]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Alexandrov-Raum - Versionsgeschichte

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