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Das '''Alexander-Polynom''' ist in der [[Knotentheorie]] eine [[Invariante (Mathematik)|Invariante]] eines [[Knoten (Knüpfen)|Knotens]]. Das Polynom wurde von dem Topologen [[James Alexander (Mathematiker)|James Alexander]] 1928 entdeckt und ist das erste Knotenpolynom.<ref>[http://reuter.mit.edu/blue/papers/reuter-knot/reuter-knot.pdf Knotentheorie] (PDF; 360 kB) auf Reuter.mit.edu (Aufgerufen am 20. Mai 2012)</ref>

== Definition ==
Für den Knoten '''K''' in der 3-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] betrachtet man die unendliche zyklische Überlagerung '''X''' des Knotenkomplements. (Dieses kann man konstruieren, indem man das Knotenkomplement entlang einer [[Seifert-Fläche]] aufschneidet und abzählbar viele Kopien der so entstandenen Mannigfaltigkeit zyklisch entlang der Schnittstellen miteinander verklebt.) Die Decktransformationsgruppe dieser [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] ist zyklisch, sei <math>t</math> ihr Erzeuger. Der <math>\mathbb{Z}[t, t^{-1}]</math>-[[Modul (Mathematik)|Modul]] <math>H_1X</math> heißt ''Alexander-Modul''. Der Alexander-Modul ist [[Endliche Präsentierbarkeit (Modul)|endlich präsentiert]], jede [[Präsentationsmatrix]] heißt Alexander-Matrix. Das Alexander-Ideal in <math>\mathbb{Z}[t, t^{-1}]</math> ist das von den <math>r \times r</math>-[[Minor (Mathematik)|Minoren]] dieser Matrix erzeugte [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]], wobei <math>r</math> die Anzahl der Erzeuger der Präsentation ist. (Man kann zeigen, dass das Alexander-Ideal unabhängig von der gewählten Präsentation ist und nur vom Knoten abhängt.) Alexander bewies, dass das Alexander-Ideal ein [[Hauptideal]] ist. Das Alexander-Polynom <math>\Delta_K(t)</math> ist definiert als Erzeuger des Alexander-Ideals (und ist damit nur bis auf Multiplikation mit <math>\pm t^n</math> eindeutig festgelegt).

== Berechnung ==
[[John Horton Conway]] zeigte 1969, dass sich das Alexander-Polynom <math>\Delta</math> mit Hilfe von zwei Regeln berechnen lässt:
* <math>\Delta(O) = 1</math>
:für jede Projektion <math>O</math> des trivialen Knotens, und
* <math>\Delta(L_+) - \Delta(L_-)+(t^{-\frac{1}{2}}-t^\frac{1}{2})\Delta(L_0)=0</math>,
:wobei <math>L_{+}</math>, <math>L_{-}</math>, and <math>L_{0}</math> orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.
[[Datei:Skein (HOMFLY).svg|200px|center|Schnittpunkte]]
Dies liefert insbesondere eine Normierung des eigentlich nur bis auf Multiplikation mit <math>\pm t^n</math> bestimmten Alexander-Polynoms. Eng mit dieser Normierung zusammen hängt das '''Alexander-Conway-Polynom''' oder '''Conway-Polynom''', welches durch die Relationen
* <math>\nabla(O) = 1</math>
* <math>\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)</math>
definiert wird und mit dem wie eben normierten Alexander-Polynom über die Gleichung <math>\Delta_L(t^2) = \nabla_L(t - t^{-1})</math> zusammenhängt.

Das Alexander-Polynom lässt sich auch durch die [[Seifert-Fläche|Seifert-Matrix]] '''V''' bestimmen:<ref> {{Webarchiv|text=Über das Alexander-Polynom |url=http://www.gdv.uni-hannover.de/~reuter/knoten/node5.html |wayback=20050302185620}} auf Uni-Hannover.de (Aufgerufen am 20. Mai 2012)</ref> <math>\Delta_K(t)=\det(V-tV^*)</math>.

Das Alexander-Polynom ist symmetrisch in <math>t</math> und <math>t^{-1}</math>. Man hat <math>\Delta_K(1)=\pm 1</math>.

== Beispiele und Anwendungen ==

Der Grad des Alexander-Polynoms liefert eine untere Schranke für <math>2g</math>, wobei <math>g</math> das [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] einer beliebigen Seifert-Fläche ist. (Dies folgt unmittelbar aus der Berechnung des Alexander-Polynoms über die Seifert-Matrix, weil diese eine <math>2g \times 2g</math>-Matrix ist.)

Beispiel: Das Alexander-Polynom des [[Kleeblattknoten]]s ist <math>\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}\,</math>.
Der Kleeblattknoten besitzt eine Seifert-Fläche mit Geschlecht 1 und der Grad seines Alexander-Polynoms ist 2.

Wenn ein Knoten ein [[alternierendes Knotendiagramm]] besitzt, dann ist der Grad des Alexanderpolynoms <math>2g</math> ('''Satz von Crowell-Murasugi''').

Wenn das Knotenkomplement eine [[Faserung]] über dem [[Kreis]] mit einer Seifert-Fläche als Faser zulässt (man spricht dann von ''gefaserten Knoten''), dann ist der Grad des Alexander-Polynoms <math>\Delta_K(t)</math> exakt <math>2g</math>. Weiterhin muss <math>\Delta_K(t)</math> dann monisch sein, d. h. die Koeffizienten des höchsten und niedrigsten Terms sind 1 oder −1. Tatsächlich ist das Alexander-Polynom in diesem Fall gerade das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] für die Wirkung der [[Monodromie]] der Faserung auf der [[Singuläre Homologie|1. Homologie]] der Seifert-Fläche.

Das Alexander-Polynom eines [[Scheibenknoten]]s ist stets von der Form <math>\Delta_K(t)=P(t)P(t^{-1})</math> für ein ganzzahliges Laurent-Polynom <math>P</math> (Satz von Fox-Milnor).

== Verallgemeinerungen ==

Das [[HOMFLY-Polynom]] <math>P(a,z)</math> verallgemeinert neben anderen Knoten-Polynomen auch das Alexander-Polynom: es gilt
:<math>P(1,z)=\Delta_K(z)</math>.

Das Alexander-Polynom ist die [[Euler-Charakteristik]] einer bigraduierten Homologietheorie.<ref>Mikhail Khovanov: [http://arxiv.org/abs/math.GT/0605339 Link homology and categorification] Proceedings of the ICM 2006 Madrid</ref>

== Siehe auch ==

* [[Jones-Polynom]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Knoteninvariante]]
[[Kategorie:Polynom]]

Alexander-Polynom - Versionsgeschichte

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